2027版53B版新高考版物理总复习随堂讲解第八章　机械振动　机械波

物理新高考适用第八章机械振动机械波目录CONTENTS第1节机械振动实验9用单摆测量重力加速度微专题14波的图像和振动图像的综合应用第2节机械波微专题15简谐运动在力学中的综合应用第1节机械振动考点1弹簧振子简谐运动1.弹簧振子模型弹簧振子

示意图

简谐运动条件(1)弹簧质量忽略不计(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内

回复力由弹簧弹力提供由弹力与重力的合力提供平衡位置弹簧原长处kx0=mg处周期T=2π

(与振幅无关)其中m为振子的质量,k为弹簧的劲度系数

能量转化弹性势能与动能相互转化,系统机械

能守恒弹性势能、重力势能与动能相互转

化,系统机械能守恒2.简谐运动的表达式(1)动力学表达式:F=-kx。(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+φ),其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动的快慢。3.简谐运动的图像图像

意义反映一个质点振动的位移随时间变化的规律(不是质点的运动轨迹)特点图线为正弦或余弦曲线蕴含信息(1)振幅A、周期T以及各时刻质点的位置、某段时间内质点的路程(2)各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向(3)某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况典例1

(人教版选必一P39,例题改编)如图1所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C

两点之间做简谐运动,以向右为正方向。小球的位移x随时间t变化的图像如图2所示。(1)(回归教材)下列判断正确的是

(

)A.t=0.8s时,小球的速度方向向右B.t=0.4s和t=1.2s时,小球的加速度相同C.小球做简谐运动的表达式为x=12sin1.25πtcmD.从t=0.4s到t=0.8s时间内,小球的速度逐渐减小··········

教考衔接··········C解析(1)由题图2可知,t=0.8s时,x-t图线切线的斜率为负,所以小球的速度方向向左,A错误。t

=0.4s时,小球位于正向最大位移处,加速度达到最大,方向向左;t=1.2s时,小球位于负向

最大位移处,加速度达到最大,方向向右,B错误。设小球做简谐运动的表达式为x=Asin

,由题图2可知A=12cm,T=1.6s,φ=0,故x=12sin1.25πt(cm),C正确。从t=0.4s到t=0.8s时间内,小球从正向最大位移处向平衡位置运动,速度逐渐增大,D错误。(2)(拓展变式)(多选)小球的位移x随时间t变化的图像如图2所示,若用v、a和F分别

表示该小球的速度、加速度及回复力,下列选项判断正确的是

(

)

A.图甲可能是F-t图像

B.图乙可能是v-t图像C.图丙可能是a-t图像

D.图丁可能是v-t图像BC解析(2)由F=-kx可知,同一时刻回复力与位移的方向相反,则题图甲不可能是F-t图像,A错

误。【关键:做简谐运动的小球位移越大,速度越小;位移越小,速度越大。位移增大时,速度与位移同向;位移减小时,速度与位移反向】t=0时刻,小球的位移为0,速度最大,0~0.4s内,小球向正方向运动且位移逐渐增大,即速度方向为正方向且逐渐减小;0.4~0.8s

内小球的位移为正方向且逐渐减小,即速度方向为负且逐渐增大【另解:由x=12sin1.25πt(cm)、v= ,可得v=15πcos1.25πt(cm/s)】,即题图乙可能是v-t图像,B正确,D错误。

由a=-

、x=12×sin1.25πt(cm),可得a=-

sin1.25πt(m/s2),则题图丙可能是a-t图像,C正确。(3)(情境变式·斜面上的简谐运动)(多选)(2025届辽宁名校联盟三模)如图所示,在倾

角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过

轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200g,小球乙的质量m乙=400g,静止时弹簧的伸长量

x1=18cm(未超出弹簧的弹性限度)。重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则

烧断甲、乙之间的轻绳后

(

)

A.弹簧的劲度系数为20N/mB.小球甲做简谐运动,其振幅为18cmC.小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量为6cmD.小球甲运动过程中的最大动能为0.144JACD解析(3)烧断轻绳之前,对甲、乙整体,根据受力平衡可得(m甲+m乙)g

sin37°=kx1,解得k=20N

/m,A正确。【关键:利用动力学特征判断研究对象是否做简谐运动】剪断轻绳后,当甲

处于平衡位置时,设弹簧的形变量为x0,则有kx0=m甲g

sin37°,解得x0=6cm;取沿斜面向下为正方向,偏离平衡位置的位移为x时,对甲有F回=-k(x+x0)+m甲gsin37°=-kx,可判断出甲

球将做简谐运动,且其振幅A=18cm-6cm=12cm,B错误。结合简谐运动的对称性可得,

弹簧的最大压缩量Δxmax=12cm-6cm=6cm,C正确。当甲位于平衡位置时,动能最大,根

据动能定理可得

k

-

k

-m甲gsin37°·(x1-x0)=Ekmax,解得小球甲运动过程中的最大动能为Ekmax=0.144J,D正确。(4)(链接高考)(2024北京,9,3分)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程

中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是

(

)

A.t=0时,弹簧弹力为0B.t=0.2s时,手机位于平衡位置上方C.从t=0至t=0.2s,手机的动能增大D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2

D解析(4)t=0时,手机加速度a=0,手机所受弹簧的弹力F等于手机的重力mg,A错误。t=0.2s时,

手机的加速度方向向上,由振动特点a与x方向相反可得手机位于平衡位置的下方,B错

误。从t=0至t=0.2s,手机由平衡位置运动至最低点,速度由最大值减为零,手机的动能减

小,C错误。设a随t变化的关系式为a=am

sin(ωt+φ),其中ω=

rad/s=2.5πrad/s,am=4m/s2,φ=0,可得a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。提分关键·归纳总结简谐运动特征动力学特征F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移的方向相反能量特征(1)振幅越大,系统能量越大(2)在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守

恒周期性特征物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间发生周

期性变化,变化周期就等于简谐运动的周期T;动能和势

能也随时间发生周期性变化,周期为

对称性特征(1)如图甲所示,相隔Δt=

T(n=0,1,2,…)的两个时刻,物体的位置关于平衡位置对称,位移、速度及加速度均

大小相等、方向相反,且动能、势能均相等(2)如图乙所示,物体来回通过相同的两点间所用的时间

相等,如tBC=tCB;物体经过关于平衡位置对称的等长的两

段距离的时间相等,如tBC=tB'C'

考点2单摆条件①摆线为不可伸缩的轻质细线;②不计空气阻力;③最大

摆角θm≤5°受力特征(1)回复力:由摆球重力沿垂直于摆线方向的分力提供,F回

=mgsinθ≈-

x=-kx,负号表示回复力方向与位移方向相反。(2)向心力:由摆线的张力和摆球重力沿摆线方向分力的

合力提供,F向=FT-mgcosθ。两点说明①当摆球在最高点时,F向=

=0,FT=mgcosθm;②当摆球在最低点时,F向=

,F向最大,FT=mg+m

。重要提示单摆是一个理想化模型,做简谐运动的周期为T=2π

,与单摆的振幅A、摆球质量m无关,式中的g为单摆所处位置的重力加速度。典例2如图所示,一小球用细线悬挂于O点,细线长为L1,O点正下方L2处有一铁钉。重

力加速度为g,不计空气阻力,小球可看作质点,将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小),

此摆的周期为

(

)

A.π

B.2π

C.2π

D.2π

A

解析根据单摆周期公式,可得T1=2π

,T2=2π

,故此摆的周期T=

T1+

T2=π

+π

,A正确。拓展变式(等效摆长与受力分析的综合考查)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg

的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5m。小铁球平衡时,A端

细线与杆垂直;当小铁球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时,可等效为悬挂点位于

小铁球重垂线与AB交点的单摆,小铁球直径远小于细线的长度,取重力加速度g=10m/s2,则

(

)BA.摆角变小,周期变大B.小铁球摆动周期约为2sC.小铁球平衡时,A端拉力为

ND.小铁球平衡时,A端拉力小于B端拉力

解析根据单摆的周期公式T=2π

可知周期与摆角大小无关,A错误。根据几何知识可得摆长l=

=1m【点拨:光滑细线穿过小铁球,可得小铁球两侧细线的拉力大小相等,两侧细线与竖直方向的夹角相等】,故周期T=2π

≈2s,B正确。当小铁球静止时,对小铁球受力分析如图所示,可得FBcos30°+FAcos30°=mg,FA=FB,解得FA=FB

=

=

N,C、D错误。

考点3受迫振动共振1.受迫振动(1)定义:系统在驱动力作用下的振动。(2)特点:受迫振动的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关。2.共振(1)现象:当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大。(2)条件:驱动力的频率等于固有频率。(3)共振曲线(如图所示)。3.简谐运动、受迫振动和共振的比较

简谐运动受迫振动共振振动周期或频率由系统本身性质决定,即固

有周期T0或固有频率f0由驱动力的周期或频率决

定,即T=T驱或f=f驱T驱=T0或f驱=f0振动能量振动系统的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ≤5°)机械工作时底座发生的振

动共振筛、声音的共鸣典例3一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图

所示,取g=π2m/s2,则

(

)

A.此单摆的固有周期约为0.5sB.此单摆的摆长约为1mC.若摆长增大,单摆的固有频率增大D.若摆长增大,共振曲线的峰值将向右移动B

解析驱动力频率为0.5Hz时发生共振,所以此单摆的固有频率为0.5Hz,固有周期

为2s,A错误;由单摆周期公式T=2π

,可得摆长约为1m,B正确;摆长变大,由单摆周期公式知固有周期变大,则固有频率变小,C错误;由以上分析可知,若摆长增大,则固有频

率变小,共振曲线的峰值会向左移动,D错误。第2节机械波考点1机械波的形成波的图像1.机械波形成条件(1)发生机械振动的波源。(2)传播的介质。2.机械波传播过程中的特点(1)各质点做简谐运动,质点不随波迁移,传播的只是振动的形式和能量。(2)各质点均做受迫振动,振动周期、频率与波源相同。(3)各质点起振方向相同,离波源越远、振动越滞后。(4)波源经过一个周期完成一次全振动,波形向前传播一个波长。3.波的图像的信息(如图所示)

(1)读取振幅A和波长λ,以及该时刻各质点的位移。(2)确定该时刻各质点加速度的方向,并能比较其大小。(3)结合波的传播方向确定各质点的振动方向,或由各质点的振动方向确定波的传播方向。4.波的图像的特点(1)质点振动nT(n=1,2,3,…)或波传播nλ(n=1,2,3,…)时,波形不变。(2)在波的传播方向上,当两质点平衡位置间的距离为nλ(n=1,2,3,…)时,它们的振动步调

总相同;当两质点平衡位置间的距离为(2n+1)

(n=0,1,2,3,…)时,它们的振动步调总相反。

内容图像

沿波的传播方向,上坡时质点向下振

动,下坡时质点向上振动

波形图上某点表示传播方向和振动

方向的箭头在图线同侧

将波形图沿传播方向进行微小平移,

再由对应x轴上某一点的两波形曲线

上的点来判定质点振动方向

5.波的传播方向与质点振动方向的互判方法典例1一列简谐横波以质点a为波源,起初质点a在坐标原点处,t=0时刻起振,当t1=0.3s

时,波恰好传到质点h处,如图所示。

(1)质点d振动周期是______,振幅是_____,简谐横波的波长是_____,波速是_______。(2)t1=0.3s时,质点a的振幅是_________,向______(选填“上”或“下”)振动。质点a的起振方向是_________(选填“竖直向上”或“竖直向下”)。下

5cm

20m/s

4m

5cm

0.2s

竖直向上

(3)t1=0.3s时,平衡位置坐标为(0.5m,0)的质点b的位移是____________,振动方向是__________(选填“竖直向上”或“竖直向下”),再经过_____________s到达波峰。(4)0~0.3s内,质点a通过的路程是__________,质点g通过的路程是________。(5)若波源振动频率变大,则波速_______,波长_______,质点b振动周期_________(均选

填“变大”“变小”或“不变”)。(6)画出0~0.3s内质点d的振动图像。变小

变小

不变

5cm

30cm

0.175

竖直向下

 cm

(7)已知质点q(未画出)的平衡位置坐标为(26m,0),质点q第一次到达波谷是什么时刻?解析(1)当t1=0.3s时,波恰好传到质点h处,传播了1.5个波长,即质点a振动了1.5个周期,质点a

的振动周期T=

=0.2s,各个振动的质点振动周期相等,故质点d的振动周期也为0.2s,由题图可知振幅A=5cm,简谐横波的波长λ=4m,波速v=

=

=20m/s。(2)质点a的振幅也为5cm,波向右传播,故根据“同侧法”可知t1=0.3s时质点a向下振

动,各个质点的起振方向均相同,t1=0.3s时,波恰好传到质点h处,故可以通过质点h来判

断,根据“同侧法”可知起振方向是竖直向上。(3)质点b的位移xb=Asin

=

cm,振动方向竖直向下,再经过t=

+

T=0.175s到达波峰。(4)0.3s=T+

T,即0~0.3s内,质点a通过的路程sa=6A=30cm,t=

T=0.25s时质点g开始振动,故质点g振动了0.05s=

T,通过的路程sg=A=5cm。(5)波速由介质决定,所以波速不变。根据v=λf可知,波长变小。质点b做受迫振动,其振

动频率与波源振动频率相同,所以频率变大,根据T=

可知,周期变小。(6)质点d在0.1s开始振动,起振方向竖直向上,其振动图像如图所示。

(7)设经t3时间质点q起振,再经过t4时间质点q第一次到达波谷,则t3=

=1.3s,t4=

T=0.15s,

t=t3+t4=1.45s。典例2

(多选)如图所示为一列沿x轴传播的简谐横波在t=0时刻的波形图,P、Q是波传

播路径上的两个质点,t=0时刻,质点P的位移为2cm,质点Q在平衡位置。从t=0时刻起,

质点Q的振动方程为y=4sin2πt(cm),下列说法正确的是

(

)

A.波沿x轴正方向传播B.波沿x轴负方向传播C.质点Q比质点P振动滞后

sD.质点P比质点Q振动滞后

sBD

解析根据质点Q的振动方程可得,t=0时刻质点Q的振动方向沿y轴正方向,根据同侧

法可得波沿x轴负方向传播,A错误,B正确。根据质点Q的振动方程可得周期T=

=1s,故波速v=

=0.4m/s;质点P的位移yP=2cm=Asin

xP=4sin

xP(cm),解得xP=

m;质点P比质点Q振动滞后时间Δt=

=

s=

s,C错误,D正确。考点2波传播的周期性和多解性问题1.造成波传播多解的主要因素(1)周期性①时间周期性:时间间隔Δt与周期T的关系不明确。②空间周期性:波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。(2)双向性①传播方向双向性:波的传播方向不确定。②振动方向双向性:质点振动方向不确定。2.解决波的多解问题的思路(1)首先找出造成多解的原因。(2)列多解性的关系式,例如时间的关系式Δt=nT+t0(n=0,1,2,…),传播距离的关系式Δx=n

λ+x0(n=0,1,2,…)。(3)根据需要应用波速v=

或v=

=λf等有关规律求解。典例3

(2025届河北石家庄名校联考)健身者在公园以固定频率上下抖动长绳的一端,

长绳呈现波浪状起伏,可近似为单向传播的简谐横波。以健身者手持长绳端为坐标原

点,t1=0和t2=0.25s时刻长绳呈现的波形图如图所示,已知横波沿x轴正方向传播,则横波

的波速可能是

(

)

A.4.2m/s

B.5m/sC.5.2m/s

D.5.4m/sD

解析

解法一

时间的周期性由波形图可得

=0.45m,解得λ=0.6m;由各质点做周期性的简谐运动可得t2-t1=0.25s=nT+

,解得T=

s(n=0,1,2,…);波传播的速度v=

=(2.4n+0.6)m/s(n=0,1,2,…);当n=2时v=5.4m/s,D正确。解法二

空间的周期性0~0.25s,波沿x轴正方向传播的距离Δx=nλ+

;由波形图可得

=0.45m,解得λ=0.6m;波传播的速度v=

=

m/s=(2.4n+0.6)m/s(n=0,1,2,…);当n=2时v=5.4m/s,D正确。典例4

(多选)(2025届山东济南名校联盟质检)一列简谐横波沿x轴方向传播,平衡位置

在x=0处的质点的振动图像如图甲所示,平衡位置在x=6m处的质点的振动图像如图乙

所示,以下说法正确的是

(

)BCA.该波的波长可能为6mB.该波的传播速度可能为

m/sC.在前4s内平衡位置在x=0处的质点通过的路程为(8-2

)cmD.在前4s内平衡位置在x=0处的质点通过的路程为(4+2

)cm

解析

【关键:波传播方向的双向性】若波沿x轴正方向传播,可得

+nλ=6m(n=0,1,2,…),解得λ=

m(n=0,1,2,…),由题图得该简谐横波的周期T=12s,可得该波的波速为v=

=

m/s(n=0,1,2,…),当n=1时,波速为v=

m/s;B正确。若波沿x轴负方向传播,可得

+nλ=6m(n=0,1,2,…),解得λ=

m(n=0,1,2,…),可得该波的波速为v=

m/s(n=0,1,2,…);两种情况波长均不能为6m,A错误。由题图甲可得,从t=0时开始计时,平衡

位置在x=0处的质点做简谐运动的表达式为y=4sin

t(cm),当t=4s时y1=2

cm,可得前4s内平衡位置在x=0处的质点通过的路程为s=(8-2

)cm,C正确,D错误。考点3波的干涉、衍射多普勒效应1.波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法(1)公式法①两波源振动步调一致若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动加强;若Δr=(2n+1)

(n=0,1,2,…),则振动减弱。②两波源振动步调相反若Δr=(2n+1)

(n=0,1,2,…),则振动加强;若Δr=nλ(n=0,1,2,…),则振动减弱。(2)图像法①在某时刻波的干涉的波形图上,波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点,一定是加强点,而波峰与波谷的交点一定是减弱点。②加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点的振幅与减弱点的振幅之间。③各加强点(或减弱点)连接形成以两波源为中心向外辐射的线,即加强线(或减弱线),

加强线与减弱线互相间隔。2.波的衍射(1)定义:波绕过障碍物继续传播的现象。(2)产生明显衍射现象的条件:障碍物的尺寸或孔(缝)的宽度跟波长相差不多,或者比波

长更小。注意一切波都能发生衍射。衍射是波特有的现象。3.多普勒效应(1)接收频率:观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。(2)现象:当波源与观察者相互靠近时,观察者接收到的频率增加;当波源与观察者相互

远离时,观察者接收到的频率变小。典例5

(2025届湖南长沙长郡中学预测)如图所示,水面上有两个相距4m、频率均为

2Hz的波源S1和S2,水面上P点到S1的距离为3m,到S2的距离为5m。t=0时刻,两波源同时

由平衡位置开始向下做简谐运动,t=1.5s时,P点开始振动。已知两波源的振幅均为10cm,下列说法正确的是

(

)

A.该水波的波长为2mB.0~3s内,P点运动的路程为120cmC.P点与S1的连线上(不含P、S1两点)有2个振动减弱点D.S1与S2的连线上(不含S1、S2两点)有8个振动加强点C

解析

t=1.5s时,P点开始振动,可得波速v=

=

m/s=2m/s;水波传播的周期T=

=

s=0.5s,故水波的波长λ=vT=1m,A错误。【关键:波源S1与S2的起振方向相同,可得两波源振动步调相同;波程差|Δr|=5m-3m=2m=2λ,故P点为振动加强点】波源S2产生的

波传播到P点之前P点振幅为10cm,振动时间Δt=t'-t=

-t=2.5s-0.5s=4T,P点运动的路程s1=16A=160cm;波源S2产生的波传播到P点后与波源S1产生的波发生干涉,P点为振动

加强点,振幅A'=2A=20cm,P点又运动的时间(Δt)'=3s-t'=0.5s=T,P点又运动的路程s2=4A

'=80cm,则0~3s内,P点运动的路程s=s1+s2=240cm,B错误。设P点与S1的连线上振动减弱点与S1之间的距离为x,由几何关系可得

-x=(2n+1)

=

(n=0,1,2,…),由0<x<3m,可知2m<

-x<4m,解得n=2、3,故两列波叠加后P点与S1的连线上(不含P、S1两点)共有2个振动减弱点,C正确。设S1与S2的连线上的振动加强点与S1之间的距离为x',由几何关系可得|x'-(S1S2-x')|=nλ(n=0,1,2,…),结合0≤|x'-(S1S2-x')|<4m,解得n=0、1、2、

3,故S1与S2的连线上(不含S1、S2两点)有7个振动加强点,D错误。微专题14

波的图像和振动图像的综合应用题型1已知两质点的振动图像已知两质点振动图像确定波动情况时,主要方法有两种。方法一:利用同一时刻两质点

所在的位置画出小于一个波长的波形,从而分析两质点距离与波长的关系。方法二:从

图像中找到波分别传到两质点的时间间隔与周期的关系,从而确定两质点距离与波长

的关系。典例1

(多选)(2025陕晋青宁,8,6分)一列简谐横波在介质中沿直线传播,其波长大于1

m,a、b为介质中平衡位置相距2m的两质点,其振动图像如图所示。则t=0时的波形图

可能为

(

)CD解析

A选项中波长小于1m,A错误。t=0时刻,b应位于负向最大位移处,B错误;C、

D选项图满足波长λ>1m,以及t=0时刻a在平衡位置、b在负向最大位移处,C、D正确。题型2已知两时刻的波的图像这类问题一般需要根据波在两个不同时刻的波形图来分析这列波的周期,再结合机械

波的波长分析波传播的速度。典例2

(2025届江西重点中学协作体二联)图甲是沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0

时的波形图,P、Q是位于x轴上的两个质点,间距为3m,t=0时刻该波刚好传播到Q点,t=

s

时的波形图如图乙所示。下列选项正确的是

(

)A.该波的周期为4sB.该波的波速为6m/sC.平衡位置在x=0处的质点的振动方程为y=6cos

cmD.从t=0时刻开始,该波传至x=7m处所用的时间为0.4sC

解析因

s<T,由波形图可知

=

s,解得该波的周期T=2s;该波的波长λ=6m,可得该波的波速v=

=3m/s,A、B错误。平衡位置在x=0处的质点的振动方程为y=Asin(ωt+φ),其中ω=

=πrad/s;当t=0时y=3cm且随时间增大,质点偏离平衡位置的位移减小,可得φ=

,则质点的振动方程为y=6sin

cm=6cos

cm,C正确。Q点的横坐标为xQ=

λ=5.5m,从t=0时刻开始,该波传至x=7m处所用的时间为t=

s=0.5s,D错误。题型3已知某质点的振动图像和某时刻的波的图像解题关键是根据横坐标轴的物理量区分波的图像和振动图像,由振动图像读出周期,再

由波的图像读出波长,求出波传播的速度,进而利用波动规律分析波动相关的问题,利用

振动规律分析振动相关的问题。典例3

(多选)(2025届山东青岛、淄博二检)图甲为一列简谐横波在t=1.5s时的波形图,

P、Q、M、N是介质中的4个质点。图乙为质点M的振动图像,下列说法正确的是(

)ACA.该波沿x轴负方向传播B.质点M的平衡位置位于x=3.2m处C.t=3.5s至t=4.5s时间内质点P的加速度变大D.t=1.5s至t=2.5s时间内质点P和Q通过的路程相等

解析由题图乙可得t=1.5s时M点向y轴负方向振动,由题图甲及“同侧法”可得该

波沿x轴负方向传播,A正确。从题图乙可得质点M在t=1.5s时偏离平衡位置的位移y=A

sin135°=

A;由题图甲可得

+

=8m,解得λ=12m;质点M的平衡位置位于x=8m-

=3.5m处,B错误。质点做简谐运动的周期T=4s;t=1.5s至t=3.5s时间内,质点P振动半个

周期,由平衡位置沿y轴正方向振动至波峰再回到平衡位置;t=3.5s至t=4.5s时间内,质点

P由平衡位置沿y轴负方向振动到波谷,可得质点P的加速度变大,C正确。t=1.5s至t=2.5

s时间内,质点P从平衡位置开始振动,通过的路程为A;质点Q通过的路程为

+

=

A,故质点P和Q通过的路程不相等,D错误。微专题15

简谐运动在力学中的综合应用解决简谐运动综合问题的思路典例1

(多选)(2025届湖南师大附中月考)如图所示,光滑水平面上放有质量为M=2kg

的足够长的木板B,通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的物块A叠放在B上,A的质量为m=1kg,弹簧的劲度系数k=100N/m。初始时刻,系统静止,弹簧处于原长。现用一水平向右

的拉力F=10N作用在B上,已知A、B间动摩擦因数μ=0.2,弹簧振子的周期为T=2π

,取g=10m/s2,π2=10,取向右为正方向。则

(

)

A.拉力F作用在B上时,A与B就开始发生相对滑动题型1简谐运动处理连接体问题B.A向右运动的最大距离为2cmC.从初始时刻到A的位移为2cm时,B的位移一定为5cmD.从初始时刻到A的位移为4cm,弹簧对A的冲量大小可能为0.6π(N·s)AD解析拉力F作用瞬间,弹簧仍处于原长,若A、B相对静止【点拨:假设A、B可以一起匀加速】,整体加速度为a=

=

m/s2,A能达到的最大加速度am=μg=2m/s2<

m/s2,故拉力F作用在B上时,A、B就会发生相对滑动,A正确。弹簧弹力与A所受摩擦力大

小相等时,A的位移x0=

=2cm,此时A的速度最大,故振幅为2cm,则A的最大位移为4cm,B错误。A的位移为2cm时,经过时间为t=

+n

(n=0,1,2,3,…),其中T=2π

=0.2π(s);B的加速度为aB=

=4m/s2,此时B的位移x=

aBt2=5(1+2n)2cm(n=0,1,2,3,…),故当A的位移为2cm时,B的位移不一定为5cm,C错误。当A的位移为4cm时,速度为零,此时A的运动时间为Δt=

+nT(n=0,1,2,3,…);由动量定理可得μmgΔt-IFk=0,解得弹簧对A的冲量大小IFk=μmgΔt=μmg

(n=0,1,2,3,…);当n=1时,IFk=0.6π(N·s),D正确。题型2简谐运动处理万有引力问题典例2

(多选)(2025届山西部分名校二模)有人设想,未来人类设计的真空列车隧道,可

使列车在地球表面任意两地间的运行时间缩短到42min。如图所示,把地球看作质量

均匀分布、半径为R的球体,在不考虑地球自转的情况下,质量为m的列车(不需要引擎)

从A点由静止进入隧道,从地球另一端的B点离开隧道,此过程中列车做简谐运动,所用

的时间等于地球表面近地卫星周期的一半,图中O'点为隧道的中点,到球心O的距离

为h。已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零,地球表面的重力加速度大小为g,物体做简谐运动的最大速度等于振幅乘角速度,即vm=Aω=

,下列说法正确的是(

)A.地球的第一宇宙速度为

B.列车从A点运动到B点的时间为2π

C.列车在O'点受到的支持力大小为

D.列车在O'点的速度大小为

ACD解题导引

解析由mg=m

可得地球的第一宇宙速度v=

,A正确。地球表面近地卫星的周期T=

=

=2π

,可得列车从A点运动到B点的时间t=

=π

,B错误。地球的密度ρ=

,将地球看作两部分,一部分是以O为球心、h为半径、质量为M'的小球,其中M'=ρ·

πh3;另一部分为剩余的球壳,球壳对O'点处列车的引力为零,列车在O'点受到的支持力大小F=G

,又mg=

,可得F=

,C正确。根据vm=Aω=

可得列车在O'点的速度大小v=

·

,结合T=2π

,可得v=

,D正确。典例3

(2025届湖南永州模拟)真空中有两个点电荷,电荷量均为-q(q>0),固定于相距为

2r的P1、P2两点,O是P1、P2连线的中点,M点在P1、P2连线的中垂线上,距离O点为r,N点

在P1、P2连线上,距离O点为x(x≪r),已知静电力常量为k,则下列说法不正确的是(

)A题型3简谐运动处理电场问题A.P1、P2连线的中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为

rB.P1、P2连线的中垂线上电场强度的最大值为

C.在M点放入一电子,从静止释放,电子的加速度一直减小D.在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动

解析如图所示,设P1处的点电荷在P1、P2连线的中垂线上A处产生的场强的方向与

竖直方向的夹角为θ

,电场强度大小E1=k

;根据电场叠加原理可得A点的合场强大小E=2E1cosθ=k

(cosθ-cos3

θ),根据数学知识可知当cosθ=

时,E有最大值,且最大值Em=

,此时A、O之间的距离h=

=

r,A错误,B正确。在M点放入一电子,从静止释放,电子向上运动,电场强度一直变小,所受的电场力一直减小,可得电

子的加速度一直减小,C正确。以O点为坐标原点,沿P1、P2连线向右为正方向建立x轴,

当电子在坐标x'处时,电子受到的电场力F=

-

=keq·

;若x'≪r,可得F=-

x';根据简谐运动动力学特征可得在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动,O点为平衡位置,所受电场力提供回复力,D正确。

拓展设问(圆周运动物理量分析)若将M处的电子换为质子,且质子通过M点、以半径r绕O点

做匀速圆周运动,已知质子质量为m、电荷量为e,试计算质子的速度大小。答案

解析对质子,根据电场力的合力提供向心力可得2

cos45°=m

,解得v=

。题型4简谐运动处理动量问题典例4

(2025届安徽蚌埠适应考)如图所示,轻质绝缘水平弹簧一端固定在竖直墙壁上,

另一端连接质量为m的不带电小球B,并静止于光滑绝缘水平面上,整个装置处于电场强

度为E的水平向左的匀强电场中。某时刻质