2026秋新教材人教版九年级上册数学27.2反比例函数的图像和性质 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学27.2反比例函数的图像和性质教案课题：27.2反比例函数的图像和性质（1）教学目标（1）掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握反比例函数的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型.（2）经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、归纳概括能力和数形结合分析能力.（3）感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的思维模型.重点难点理解反比例函数图象是断开的两支双曲线；准确理解“在每一个象限内”的增减性限定条件教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.旧知回顾：提问1：什么是反比例函数？其一般解析式是什么？预设回答：形如y=kx提问2：我们之前学习一次函数、二次函数，是如何研究函数性质的？预设回答：列表、描点、连线画出函数图象，再通过图象观察、总结函数性质。2.新课导入：函数的图象是研究函数性质的直观工具，今天我们沿用熟悉的探究方法，研究反比例函数的图象与性质。本节课我们先探究反比例函数的图象和性质，板书课题。二、合作探究探究点1作函数y=kx（k>0）图象，探究在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数.有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质.与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y=kx（k为常数)中的k分情况讨论.即分k>0，k<0两种情况.先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始活动1：动手画图，探究图象与性质师生共同完成：画出反比例函数y=3x、y=6x列表：选取正负对称的自变量取值（避开0）描点：在坐标系精准描出对应点连线：用平滑曲线分别连接左右两侧点，得到两支曲线，如下图：观察两个函数图象有什么特征和性质：形状：由两支曲线组成，叫做双曲线；图像位置：分布在第一、三象限；变化趋势：每一象限内，x增大，y减小；特征：图像无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交.活动2.当k>0时，取几个不同的值，画出函数y=kx的示意图，探究性质如图，画出一些函数图象.观察函数图象，归纳函数图象的特点和性质：图像位置：分布在第一、三象限；变化趋势：每一象限内，x增大，y减小；特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交.探究点2作函数y=kx（k<0）图象，探究活动3：类比画图，探究函数y=kx（k<0）图象学生自主画出y=-3x、y=-6x图像位置：分布在第二、四象限增减性：在每个象限内，x增大，y增大.总结归纳反比例函数性质：1.反比例函数图像是双曲线；2.当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；3.当k<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；4.图像两支永不与坐标轴相交.三、例题讲解例1.已知反比例函数y=k−3x（1）图像分布在第一、三象限；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.【详解】解：（1）∵图像在第一、三象限∴比例系数大于0，k-3>0解得：k>3.（2）∵在每个象限内，y随x的增大而增大∴比例系数小于0，k-3<0解得：k<3.答：图像分布在第一、三象限时k>3；在每个象限内，y随x的增大而增大时k<3.四、课堂总结引导学生自主梳理本节课收获：描点法三步：列表、描点、平滑曲线连线；反比例函数双曲线，自变量x≠0，曲线永不触碰坐标轴；k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。课堂练习课本P70书本练习。板书设计：作业内容：教学反思课题：课题：27.2反比例函数的图像和性质（2）教学目标1.掌握反比例函数图像的两种对称性；2.熟练掌握跨象限、同象限函数值大小比较方法；3.理解并掌握k的几何意义，能利用|k|求图形面积、由面积求k值；4.掌握正反比例函数交点关于原点对称的性质，能解决基础综合题型.重点难点跨象限函数值大小比较；反比例函数中k的几何意义及应用教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入复习回顾：反比例函数k>0、k<0的图像象限与增减性.提问设疑：①若两个点不在同一个象限，还能用增减性比大小吗？②双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的图形面积有什么规律？导入课题：本节课综合运用反比例函数图像性质，探究对称性、函数值比较、k几何意义综合应用.二、合作探究探究点1：反比例函数图象性质应用观察图像：双曲线绕原点旋转180°与自身重合→关于原点中心对称；折叠观察：沿直线y=x、y=-x折叠重合→两条对称轴轴对称；推论：正比例函数与反比例函数若有两个交点，则两个交点关于原点对称.问题1：已知反比例函数的图象经过点A（一2，4).（1）这个函数的图象位于哪些象限？随的增大如何变化？(2）点B(1，-8)，C(212号，-31追问1.已知反比例函数图象上的点，怎样求函数解析式？令函数解析式为y=kx，用待定系数法求出k追问2.反比例函数图象的位置由什么确定的，如何确定的？反比例函数y=kx图象的位置是由k确定了，当k>0时，图象在一三象限，当k<0时，图象在二四象限追问3.如何判断一点是否在反比例函数图象上？将点的坐标代入函数解析式，左右两边相等，点在函数的图象上.解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A（一2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，随x的增大而增大.(2）设这个反比例函数的解析式为y=kx，因为点A（-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=kx，即4=k−2，因此，这个反比例函数的解析式为y=-8因为点B，C的坐标都满足y=-8x，所以点B，C在这个函数图象上，点不在这个函数图象上探究点2函数值大小比较综合方法问题2.如图中的曲线是反比例函数y=m−5x（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1）和点B(x2，y2）.如果x1>x追问1.已知反比例函数图象的位置，怎样判断函数解析式中k的符号？反比例函数图象y=kx，在第一三象限时，k>0；在第二、四象限时，k<0追问2.反比例函数图象的增减性？当k>0时，在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，在第二、四象限内，y随x的增大而减小.解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m-5>0.解得m>5.(2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当x1>x2时，y1三、例题讲解探究点3比例系数k的几何意义设点P(x,y)是双曲线y=kx1.过P作x、y轴垂线，围成矩形面积：S=|k|；2.围成直角三角形面积：S=12|k|3.核心结论：无论点在双曲线上哪个位置，面积恒为定值.问题3:如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．(1)求点B的坐标．(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；（2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（1，6），∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，∴点B的横坐标为3，将代入中，得，∴点B的坐标为（3，2）；（2）过点B作轴交AC于点D，如图所示，由题意，可知点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为（－3，－2），设直线AC解析式为y=kx+b，将A、C代入得，，解得，∴直线AC的解析式为，由题意，易得点D的纵坐标为2，将代入中，得，∴点D的坐标为（－1，2），∴．四、课堂总结知识技能:本节课掌握了反比例函数图像的中心对称、轴对称性质；掌握正反比例函数交点关于原点对称的结论；熟练掌握同象限看增减、跨象限看正负的函数值比较方法；理解并熟记k的几何意义，能快速求解双曲线对应矩形、三角形面积，能解决参数、面积、函数值综合基础题型.思想方法:（1）数形结合思想：依托图像判断象限、正负、面积，以形助数；（2）分类讨论思想：对比大小时分同象限、跨象限分类讨论；（3）模型思想：建立k与面积的固定模型，实现快速解题；（4）对称转化思想：利用函数对称性简化交点问题计算.易错提醒:（1）跨象限两点乱用增减性比较大小，必须先看正负；（2）求面积忘记加绝对值，出现负数面积；已知面积求k忘记分类正负；（3）忽略“任意一点面积恒为|k|”，误以为只有特殊点成立；（4）多个点比大小不分类，思维不全面导致结果错误.课堂练习1.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．（1）函数经过哪些象限？（2）求的取值范围．【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解；（2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解．【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小∴函数经过