角平分线的判定

练习1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D.

求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.

∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴ED=EC.

（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，∵OE=OE，ED=EC，∴△EDC是个等腰三角形.

∴∠ECD=∠EDC.2.如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.

求证：AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴

DE=DF.∴

AB=AC.3.如图，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.

求证：AB=AD+BE.M证明：作CM⊥AB于点M.

∵AC平分∠BAD，AD⊥DE，CM⊥AB，

∴

CD=CM在Rt△ACD和Rt△ACM中，

∵

CM=CD，AC=AC，∴

Rt△ACD≌Rt△ACM.（HL）

∴AD=AM.同理，BM=BE.

∵BC平分∠ABE，CM⊥AB，BE⊥DE，

∴

CM=CE.在Rt△BCM和Rt△BCE中，

∵

CM=CE，BC=BC，∴

Rt△BCM≌Rt△BCE.（HL）

∴

BM=BE.又

AB=AM+BM，∴

AB=AD+BE.角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段1.4角平分线的性质第1章直角三角形第2课时角平分线的性质定理的逆定理ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，

PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.角平分线的性质定理E如图1-27，点P

在∠AOB

的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？图1-27我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵

OP=OP，PD=PE，∴

Rt△PDO≌Rt△PEO.∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.解：如图1-27，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴

OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27角平分线的性质定理的逆定理角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.逆定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.

（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴

BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵

BA=BC，BD=BD，∴

Rt△BAD≌Rt△BCD.（HL）∴∠ABD=∠CBD.∴

BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，

FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED∵FG⊥AE,FH⊥AD,FG＝FH.课堂小结角平分线的性质定理的逆定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的角平分线相交于内部一点

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形直