四川省达州市开江县普安中学2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题（含答案）

四川省达州市开江县普安中学2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题满分：150分时间：120分钟A卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．下列命题中，错误的命题是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形2．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）23．如图，将三角形ABE向右平移2cm得到三角形DCF，已知四边形ABFD的周长是19cm，则三角形ABE的周长是（）A．19cm B．17cm C．15cm D．13cm4．如图，直线y＝﹣3x与直线y＝ax+4相交于点A（m，3），则不等式﹣3x＜ax+4的解集为（）A．x＜﹣1 B．x＞3 C．x＞﹣1 D．x＜35．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（）A．−14 B．−12 C．6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则BCACA．35 B．58 C．537．关于x的方程x−1x−3=2+kA．±3 B．3 C．﹣3 D．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A．6 B．43 C．82 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．若代数式x1−2x有意义，则x的取值范围是_______10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于．11．如图，在等边三角形ABC中，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACE的位置，则旋转角α（0°＜α＜360°）为°．12．若关于x的方程3x2+2x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．13．如图，在△ABC中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心、大于12PQ的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线BM交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．若△ABE周长为28，BE＝10，则△ADE的周长为_______三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分）14．解下列方程：（1）x（x+5）＝24；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0；（3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2；（4）（2027﹣x）2+（x﹣2026）2＝1．15.（1）解分式方程：xx−1（2）先化简，再求代数式(1−216．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．17．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．18．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转．（1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE；（2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由；（3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝72，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）19．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相交于点E．设小正方形的边长为1，则BE的长为_______．20．定义新运算：a⊗b＝a2﹣4a﹣b，若x⊗3＝﹣2，则x的值为_______．21．如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至E，使AE＝AB，点O是AC的中点，连接EO，EC．EC与AD相交于点F，若△CDF是等边三角形，CD＝2，则OE的长为_______．22．已知关于x的不等式组x−a≤02x＞−2有且仅有4个整数解，关于y的分式方程2y+3−1=my+3有增根，则不等式组的整数解x是不等式mx≥x23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若CDBD=12，则二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分）24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0．（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围．（2）当方程的两个根x1、x2满足x12+x22=25．军事演习，简称军演，是在想定情况诱导下进行的近似实战的综合性训练，是军事训练的高级阶段．在一次军事演习中，某军队接到上级指令执行登岛计划，接到指令时，该军队的舰艇A距离该小岛40千米，舰艇B距离该小岛60千米，于是舰艇B加速前进，速度是舰艇A的2倍，结果舰艇B提前10分钟到达，顺利完成了登岛任务．（1）求舰艇A，B的速度；（2）根据情况，每天要派一艘舰艇在小岛周围巡航，巡航需持续一个月（30天），已知舰艇A，B的巡航费用分别为50万元/天，40万元/天．①求巡航总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式；②若舰艇B巡航天数不能超过舰艇A的2倍，要使巡航的费用最少，舰艇A应巡航多少天？26．问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出EGGF参考答案A卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．B．2．D．3．C．4．C．5．D．6．B．7．D．8．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．x≠110．16．11．60．12．k＞−113．18．三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分）14．解：（1）x（x+5）＝24，x2+5x﹣24＝0，（x+8）（x﹣3），∴x+8＝0或x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝﹣8；（2）2（x﹣1）2﹣8＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，[（x﹣1）+2][（x﹣1）﹣2]＝0，∴（x﹣1）+2＝0或（x﹣1）﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3；（3）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2，整理得5y2+8y﹣2＝0，∵a＝5，b＝8，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝82﹣4×5×（﹣2）＝104＞0，∴y=−8±∴y1=−（4）设2027﹣x＝a，则原方程可化为a2+（a﹣1）2＝1，整理得2a2﹣2a＝0，2a（a﹣1）＝0，∴2a＝0或a﹣1＝0，∴a＝0或a＝1，∴2027﹣x＝0，2027﹣x＝1，解得：x1＝2027，x2＝2026．15.解：（1）xx−1方程两边同乘3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1），解得x=3检验，当x=32时，3（∴原方程的解为x=3（2）(1−=x−1−2=x−3=x∵x﹣1≠0，x≠0，x﹣3≠0，∴x≠0，1，3，∴x＝2，当x＝2时，原式=216．（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，AB=CD∠BAF=∠DCE∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB=1∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠CDF=1∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∠A=∠C∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下：由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD⊥EF，∴四边形EBFD是菱形．18．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：BD=2CD理由：连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R，由（1）可知∠CAD＝∠CBE，∵∠ARC＝∠BRD，∴∠ACR＝∠BKR＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD垂直平分BE，∴DE＝BD，又∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=2CD∴BD=2CD（3）解：过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，则∠POM＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，∴CO⊥AB，CO=12AB＝∴∠COB＝∠POM＝90°，∴∠POC＝∠MOB，∴△POC≌△MOB（SAS），∴CP＝BM＝72，∠OPC＝∠OMB，又∵∠OHP＝∠QHM，∴∠PQM＝∠POM＝90°，∵∠BMC＝45°，∴△CMQ是等腰直角三角形，∴CQ＝MQ，在Rt△POM中，PM=2OM＝132设CQ＝QM＝x，则PQ＝x+72，在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+72）2＝（132）2，解得：x＝52（x＝﹣122舍去），∴QM＝52，∴CM=2QMB卷（共50分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）19．21320．2+5或2−21．7．22．1223．35二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分）24．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0，解得：m≤3，即m的取值范围是m≤3；（2）∵方程的两个根为x1、x2，∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5，∴x12+x22−x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m∵x12+x2∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0，解得m＝1或m＝7，∵m≤3，∴m＝1，故m的值为1．25．解：（1）设舰艇A的速度的速度为x千米/小时，则舰艇B的速度的速度为2x千米/小时，根据题意得：40x解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的根，此时2x＝120，答：舰艇A的速度的速度为60千米/小时，则舰艇B的速度的速度为120千米/小时；（2）①根据题意得：W＝50a+40（30﹣a）＝10a+1200，∴总费用W与舰艇A的巡航天数a之间的函数关系式为W＝10a+1200；②∵30﹣a≤2a，解得a≥10，在W＝10a+1200中，∵10＞0，∴W随x的增大而增大，∴当a＝10时，W最小，最小值为1300，答：舰艇A应巡航10天，巡航的费用最少．26．（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，∴BEAB=1∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BECD∵∠EBF＝∠C＝90°，∴△BCD∽△FBE；（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．∵E是AB中点，∴AE＝BE，∵AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，∴△AME≌△BFE（AAS），∴AM＝BF，∵AD＝2CF，CF＝DH，∴AH＝DH＝CF，∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，∴△MFH≌△BDC（SAS），∴∠AMF＝∠CBD，又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG，∴BG＝FG；方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，∵E是AB中点，H是BD中点，∴EH=12AD，EH∥∵AD＝2CF，∴EH＝CF，∵AD∥BC，∴EH∥CF，∴四边形EHCF是平