1.4.2 用空间向量研究距离问题 第2课时 课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）高中数学·选择性必修第一册学习目标，教学重难点教学目标：能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题。教学重难点：重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角。难点：直线与平面所成角的正弦与方向向量、法向量夹角的关系；平面与平面夹角与二面角的区别与联系；根据问题的条件选择适当的基底。核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算、数学抽象一、创设情境，设疑激思——在体验中引发思考​疑中探在必修"立体几何初步"中，我们已经学习了如何求两条异面直线所成的角——通过平移把异面直线转化为相交直线，再构造三角形来计算。思考：如何用空间向量求两条直线的夹角？探究活动1两条异面直线所成的角两条直线夹角的定义两条直线夹角的取值范围两条直线夹角的向量求法两条直线夹角问题的研究路径：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角.θ∈（0°,90°]二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩追问：两条直线的夹角θ与它们方向向量的夹角有什么关系？

设直线l1的方向向量为u，直线l2的方向向量为vθ=<u，v>或θ=π-<u，v>二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角设平面α与平面β的夹角为O,追问：进一步地，如何求平面和平面的夹角？αβn1n2则二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩思考2：如何用向量法求直线与平面所成的角？设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,把直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角探究活动2直线与平面所成的角A

BCnuθ二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩思考3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？平面

α与平面

β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面

α与平面

β的夹角.探究活动3平面与平面所成的角αβ二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩想一想：平面与平面的夹角与二面角的区别和联系是什么？二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角θ的大小来定义，它的取值范围是0≤θ≤π;平面α与平面β的夹角是指平面α与平面β相交，形成的四个二面角中不大于90°的二面角.二、合作探究，构建概念——在思考中学会表达​思中辩例1在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.分析：直线AM和CN夹角向量

与

的夹角①选择空间的一个基底②建立空间直角坐标系选择适当的基底表示​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明解：以

作为基底，则设向量

与

的夹角为θ，则直线AM与CN夹角的余弦值等于|cosθ|.例1在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明又△ABC和△ACD均为等边三角形，所以所以所以直线AM与CN夹角的余弦值等于例1在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明归纳总结用空间向量求两条直线l1,l2夹角θ的步骤与方法：化为向量问题进行向量运算回到图形问题两条直线l1,l2夹角θ的余弦值cosθ=|cos<u，v>|转化为求两直线l1,l2的方向向量u,v的夹角计算

的值​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.分析：平面PQR与平面A1B1C1夹角平面PQR与平面A1B1C1法向量的夹角解：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1=(0,0,1).因为P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1)，所以设n2=(x,y,z),则所以所以例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明取n2=(3,4,2),则平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​做中明归纳总结用空间向量求平面与平面夹角θ的步骤与方法：化为向量问题进行向量运算回到图形问题两个平面夹角θ的余弦值cosθ=|cos<n1,n2>|转化为求两平面法向量n1,n2的夹角计算

的值​三、巩固应用，深化理解——在表达中厘清思维​