1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

第二课时空间向量运算的坐标表示（一）教学内容空间向量运算的坐标表示（二）教学目标通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，使学生会利用空间向量运算的坐标表示计算空间图形中的长度和两条异面直线所成的角，发展学生的数学运算核心素养；借助利用空间向量的坐标运算，能解决平行、垂直问题，发展学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.（三）教学重点及难点1.重点理解空间向量的坐标表示及其运算2.难点运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题（四）教学过程新课导入：前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，能否得出空间向量运算的坐标表示呢？问题1：类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？师生活动：（1）类比平面向量运算的坐标表示，教师引导学生得到空间向量运算的坐标表示，注意维数的变化.（2）让学生在学案上填空，展示学生的学案，教师补充完善空间向量的坐标运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量运算向量表示坐标表示加法a+b

减法a-b

数乘λa

数量积a·b

(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(λa1,λa2,λa3);a1b1+a2b2+a3b3②空间向量的坐标与其端点坐标的关系:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.③空间向量平行与垂直条件的坐标表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔(λ∈R);

(2)a⊥b⇔⇔.

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3;a·b=0;a1b1+a2b2+a3b3=0点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔a1若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)|a|=a·a=(2)cos<a,b>=a·b|(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为|P1P2a12+a2设计意图：类比平面直角坐标系向量坐标表示，让学生体会空间向量多了一个z坐标，类比得出空间向量的坐标表示并能理解引导学生建立空间直角坐标系，体会二维到三维的变化.问题2：你能利用空间向量运算的坐标表示推导出两点间的距离公式吗？师生活动：教师引导学生学生看书后回答，教师补充完善设计意图：公式的证明过程让学生体会到一点，那就是将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.问题3：【例1】已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求AB+CA,(2)若点M满足AM=(3)若p=CA,q=CB,求(p+q)·(p-q).师生活动：（1）教师提示解题思路，先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.（2）学生独立在学案上填写，随机展示学生答案后，教师讲评.解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以AB=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9).所以AB+CA=(-4,5,5)，又CB=(-4,5,5),BA=(3,所以CB-2BA=(-10,15,-3)，又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),所以AB·AC=-3+0+36=(2)由(1)知,AM=12AB+34AC=12(-若设M(x,y,z),则AM=(x-1,y+2,z-4),于是x-1=-34,(3)由(1)知,p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5).(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.设计意图：巩固前面填写的空间向量运算的坐标表示的知识要点，总结运算规律和注意事项【例2】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.师生活动：（1）教师提示解题思路，思路分析(1)根据c∥BC,设c=λBC,则向量c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.（2）学生独立在学案上填写，随机展示学生答案后，教师讲评.解:(1)∵BC=(-2,-1,2)且c∥BC,∴设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=(-2λ)2+(-λ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52设计意图：解决向量平行与垂直问题，并总结一般方法和题目类型：(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.为空间向量运算的坐标表示在立体几何中的应用做好铺垫.【例3】如图，正方体中，，分别是，中点，求证：师生活动：教师引导学生建立适当的坐标系，学生书写过程在学案上，展示后总结方法，提炼解决问题的“三步曲”.追问：你还有不同的建立直角坐标系的方法吗？试一下能否解决这道题设计意图：利用空间直角坐标系证明正方体中两条线段互相垂直的例子，使学生体会“根据问题特点建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题”的基本思路.本题中，

正方体的特征很明显，以此为背景建立空间直角坐标系难度不大，让学生尝试建立不同的坐标系解决问题，使学生体会“适当”的含义.【例4】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长.(2)求△BMN的面积.师生活动：（1）教师进行思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得BM,BN的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于第2蚊，可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN(2)学生独立书写过程在学案上，随机展示学生答案后，教师讲评，并提出追问.解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).则B(0,1,0),M(1,0,1),N0,(1)∵BM=(1,-1,1),BN=0,-12,1|BN|=02+-122+12=(2)S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠∵cos∠MBN=cos<BM,BN>=∴sin∠MBN=1-故S△BMN=12×3×52×追问：你能总结向量夹角与模的计算方法吗？师生活动：学生回答教师补充完善：利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.设计意图：本题利用空间直角坐标系，求线段的长和两条线段所成角的例子，是仿照教科书20页例3设置的，目的是使学生进一步体

会利用向量运算的坐标表示求解立体几何问题的基本思路.【例5】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD师生活动：（1）学生画图，分组讨论后解决，展示书写过程；（2）教师评价，完善总结解题思路解:如图所示,以点D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1),因为3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=所以3a-3=-a,解得a=34,所以点P的坐标为34,3由题意可设点Q的坐标为(b,b,0),因为PQ⊥AE,所以PQ·AE=0,所以(b-34,b-34,-1)·(-1,0,即-(b-34)-12=0,解得b=14,所以点Q因为BD=λDQ,所以(-1,-1,0)=λ(14,14,0),所以λ4设计意图：学生直观探究，探索求解思路，书写求解过程，提升学生自主探求能力，进一步体会空间向量运算的坐标的作用和一般方法.问题4：本节课你学习到了什么知识？数学思想方法？师生活动:（1）教师引导学生回顾本节课学习的内容，在学生独立思考的基础上，回答.（2）教师根据学生的回答，可以列出知识清单：1．判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．3．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．4．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”.（五）目标检测设计方式一：一张小卷子，当堂检测，限时训练，有线上互动的可以学生直接提交评价1.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于()A.1 B.35 C.25答案:D解析:由已知得|a|=2,|b|=22,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=152.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为()A.31010 B.55 C.3答案:C解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,由二次函数性质易知,当t=15时,取得最小值为95.∴AB的最小值为3.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)计算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.解:(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8).|2a-3b|=12+(-5(2)cos<a,b>=a·b|a||b|=93×32=22,又4.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；(2)求eq\o(EF,\s\up14(→))与eq\o(CG,\s\up14(→))所成角的余弦值；(3)求CE的长.解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).所以eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2))).(1)证明因为eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up14(→))⊥eq\o(CF,\s\up14(→))，即EF⊥CF.(2)因为eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×0＋(－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，|eq\o(EF,\s\up14(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(CG,\s\up14(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up14(→))，eq\o(CG,\s\up14(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up14(→))·\o(CG,\s\up14(→)),|\o(EF,\s\up14(→))||\o(CG,\s\up14(→))|)＝eq\f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15).(3)|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝eq\r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2).设计意图：当堂检测学生对这节课的学习情况和对知识的理解程度，便于下一节的教学设计.方式二（布置作业）：

1.今日积累（总结回顾课堂内容）2.教科书第22页练习第

3,

4,5题写到作业本上.3*.基础好的学生做22页综合应用6.7和第23页拓广探索的第8题，阅读与思考“向量概念的推广与应用”设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”.方式三（每日一题）：

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝eq\f(1,3)B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值．解：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴