2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题08 平面向量及其应用（学生版）

/专题08平面向量及其应用10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01平面向量共线的坐标表示2023-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2025年出现3问椭圆综合解答题，2026、2025、2024年均有基础填空/单选题基础题核心考查向量共线的坐标运算、参数求解，难度较低；近年变化显著：大量结合椭圆方程、数列通项、三角形三边关系综合考查，2025年首次以本考点为核心命制椭圆压轴解答题，对综合应用与分类讨论能力要求大幅提升考点02平面向量的数量积2018-2026年连续考查，题型以填空题、解答题为主；2026年考查填空压轴题，2025年考查单位向量综合填空，2023、2022、2019、2018年均有高频考查基础题考查数量积的坐标运算、模长与夹角求解；核心变化为2026年首次结合三角形内线段比例、向量夹角命制最值类压轴题，近年大量融合三角函数、椭圆方程、平面几何图形综合考查，从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度显著提升考点03平面向量的应用2017、2021、2022年上海高考真题高频考查，题型覆盖单选题、填空题；2022年考查三角形内向量最值填空，2021年考查向量线性运算逻辑判断单选，2017年考查平面几何新定义填空压轴题基础题考查向量在三角形中的线性运算、最值求解；核心命题方向为结合三角形重心、中点等几何性质、平面直角坐标系建模、新定义概念综合考查，2017年首次以本考点为核心命制新定义压轴题，对逻辑推理与数学建模能力要求大幅提升考点01平面向量共线的坐标表示1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（

）A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个2．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________.3．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________．4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______．5．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________．6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．(1)若的焦点，求离心率e；(2)若，且上存在一点P，满足，求m；(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．考点02平面向量的数量积1．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________.2．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．3．（2023·上海·高考真题）已知，，求________4．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则___________.5．（2019·上海·高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________6．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______7．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为________考点03平面向量的应用1．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________2．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：①存在△，使得；②存在三角形△，使得∥，则（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立3．（2017·上海·高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和.若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

一、单选题1．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．2．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（

）A．若，则或 B．C． D．3．（2026·上海·三模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2026·上海·三模）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．（2026·上海黄浦·三模）中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________．7．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______．8．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________．9．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______10．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________．11．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________.12．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______．13．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________.14．（2026·上海·二模）在中，，，，则________．15．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______.16．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______.17．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______.18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________19．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．20．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．21．（2026·上海·三模）平面上五点满足，，，，则的值为_____．22．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.

23．（2026·上海崇明·二模）已知向量，，若，则实数____________.24．（2026·上海·三模）在平面上，，，，若，则的取值范围是________.三、解答题25．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点．(1)求的右顶点到一条渐近线的距离；(2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标；(3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围．26．（2026·上海·三模）已知平面直角坐标系中，向量，.(1)求在上的投影向量；(2)若，且，求向量的坐标；(3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.27．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)点、分别满足，，，，求的值.28．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应