6.3 常用统计量的分布、6.4 充分统计量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

6.3常用统计量的分布

确定统计量的分布是数理统计的基本问题之一.

正态总体是最常见的总体,本节介绍的几个抽样分布

均对正态总体而言.

2分布、t分布和F分布。

一、正态分布

相互独立,2

定理1.若X1,X2,,XnXiN(i,i),

n骣nn

则çm2s2÷

邋ckXk~Nçckk,ckk÷,

k=1桫k=1k=1

i.i.d

特别地,若2

X1,X2,,Xn~N(,)

1n2

则

XXi~N,

ni1n

nX

Z~N0,1.

标准正态分布的分位数

定义

若PXu则称u为标准正态

分布的上分位数.

若PXu,则称u为标准

/22

正态分布的双侧分位数.

标准正态分布的分位数图形

0.4

PXuu0.051.645常用

0.3

数字

0.2u0.0251.96

0.1u0.0052.575

•

-2-11u2

0.4

PXu-u=u

20.3/21-/2

0.2

/2

0.1/2

••

-2-112

-u/2u/2

2

二、(n)分布(n为自由度)

定义设X1,X2,,Xn相互独立,

且都服从标准正态分布N(0,1),则

n

22

Xi~(n)(1/2,n/2)

i1

注1n=1时,其密度函数为1.2

1

0.8

11x

x2e2,x00.6

f(x)20.4

0.2

0,x0246810

注2n=2时,其密度函数为

1x

e2,x0

f(x)2

0,x0

为参数为1/2的指数分布.

0.4

0.3

0.2

0.1

246810

一般自由度为n的2(n)的密度函数为

1xn1

22

nex,x0

2n

f(x)2(2)

0,x0

其中()t1etdt

0

在>0时收敛，称为函数，具有性质

(1)(),(1)1,(1/2)

(n1)n!(nN)

0.4

n=2

0.3

n=3

0.2n=5

n=10

0.1n=15

510152025

2(n)分布的性质

1E2(n)n,D2(n)2n

22

2若X1(n1),X2(n2),X1,X2相互独立，

2

则X1＋X2～(n1＋n2)

3n时，2(n)正态分布

42(n)分布的上分位数有表可查

0.1

例如0.08n=10

0.06

c2(10)=18.307

0.050.04

P(c2(10)>18.307)=0.050.02

2•

510150.0250(10)

n

22

证1设(n)XiXi~N(0,1)i1,2,,n

i1

X1,X2,,Xn相互独立,

则2

E(Xi)0,D(Xi)1,E(Xi)1

n

22

E(n)EXin

i1

2

x

4142

E(Xi)xedx3

2

2422

D(Xi)E(Xi)E(Xi)2

n

22

D(n)DXi2n

i1

iid

2

定理2(Helmert定理,1876）X1,,Xn~N(,),

2

(1)X与S相互独立；

(n1)S2

(2)2~2(n1);

2

证明：T2

X(X1,,Xn)N(0,In)

2

YAX,A为正交矩阵，则YN(0,In)

TT22

YYXX,i.e.XiYi

A的构造如下：

1111

nnnn

1

100

21

212

110

A32

32

32

(n1)

11

1

n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

2

Y1n(X)N(0,)

n2n

222

(n1)S(Xi)n(X)Yi

i1i2

n

2222

(n1)S/(Yi/)(n1)

i2

三、t分布(Student分布)

定义设X~N(0,1),Y~2(n),X,Y相互独立,

X

T

Y/n

则称T服从自由度为n的T分布,记为T~t(n).

其密度函数为

n1n1

Γ

2t22

f(t)1t

nn

nΓ

2

0.4

0.3

0.2

n=1

0.1

n=20

-3-2-1123

t分布的图形(红色的是标准正态分布)

t分布的性质

1°fn(t)是偶函数,

t2

1

n,f(t)(t)e2

n2

2°T分布的上分位数t与双测

分位数t/2均有表可查.

0.35

PTt0.3

0.25n=10

0.2

tt10.15

0.1

0.05

-t••

-3-2-112t3

PT1.81250.05t0.05(10)1.8125

PT1.81250.05,PT1.81250.95

t0.95(10)1.8125

0.35

0.3

P(Tt/2)

20.25

0.2

PTt0.15

/2/20.1/2

0.05

••

-3--2t/2-11t2/23

PT2.22810.025

PT2.22810.05

t0.025(10)2.2281

iid

2

定理3X1,,Xn~N(,),则

n(X)

T~t(n1)

证明S

2

n(X)

X~N(,)~N(0,1)(n1)S2

n与

2X

2

2n

(n1)SXiX2相互独立

2~(n1)

i1

n(X)Sn(X)

/~t(n1)

S

设与分别是来

X1,X2,,XnY1,Y2,,Ym

自正态总体22

X~N(1,)与Y~N(2,)的

相互独立的简单随机样本.

n2m2

则11

XXi~N(1,)YYj~N(2,)

ni1nmj1m

22

XY~N(,)

12nm

(XY)()

12~N(0,1)

22

nm

(n1)S2(m1)S2

1~2(n1)2~2(m1)

22

(n1)S2(m1)S2

12~2(nm2)

22

22

与(n1)S1(m1)S2相互独立

XY

22

(XY)(12)

22

nm

(n1)S2(m1)S2

12

22

nm2

(XY)()

12

11(n1)S2(m1)S2~t(nm2)

12

nmnm2

四、F分布

定义设X~2(n),Y~2(m),X,Y相互独立，

X/n

令F

Y/m

则称F服从为第一自由度为n,第二自由

度为m的F分布.其密度函数为

nmnm

n

Γ2

2nn1n2

t21tt0

f(t,n,m)nmmm

ΓΓ

22

0,t0

0.8

0.6m=10,n=4

0.4m=10,n=10

0.2m=10,n=15

123456

0.8

0.6m=4,n=10

0.4m=10,n=10

0.2m=15,n=10

123456

定理

设与分别是来

X1,X2,,XnY1,Y2,,Ym

自正态总体22

X~N(1,1)与Y~N(2,2)的

相互独立的简单随机样本.

n1m

令1YY

XXij

ni1mj1

nm

212212

S1(XiX)S2(YjY)

n1i1m1j1

22

则(n1)S12(m1)S22

2~(n1)2~(m1)

12

2

S1

2

1

2~F(n1,m1)(3)

S2

2

2

2

若则S1

122~F(n1,m1)

S2

F分布的性质

1若F~F(n,m),则1/F~F(m,n)

2F(n,m)的上分位数F(n,m)有表可查:

P(FF(n,m))

例如F(4,5)5.190.6

0.050.5

0.4

求0.3

F0.95(5,4)?

10.2

事实上,0.1

F1(n,m)•

F(m,n)123456

11F(n,m)

故F0.95(5,4)

F0.05(4,5)5.19

例1证明1

F1(n,m)

F(m,n)

11

证P(FF1(n,m))P

FF1(n,m)

11

1P1

FF1(n,m)

111

故P由于~F(m,n)

FF1(n,m)F

1

因而F(m,n)

F1(n,m)

2

例2证明：[t(n)]F(1,n)

12

2(n)

证设X~t(n),XGG~N(0,1)

n

2(1)

G2

令YX21~F(1,n)

2(n)2(n)

nn

有

P(X|t(n)|)P(Xt(n))

122

222

P(Xt(n))P(Yt(n))

212

即2

t(n)F(1,n)

12

例3设X~N(72,100),为使样本均值大于70

的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?

100

解设样本容量为n,则X~N(72,)

n

故P(X70)1P(X70)

7072

10.2n

10

n

令0.2n0.9得0.2n1.29

即n41.6025所以取n42

2

例4从正态总体X~N(,)中，抽取了

n=20的样本(X1,X2,,X20)

20

(1)求2122

P0.37XiX1.76

20i1

20

(2)求2122

P0.37Xi1.76

20i1

(n1)S2

解(1)~2(n1)

2

220

19S12

即2

22XiX~(19)

i1

故

20

2122

P0.37XiX1.76

20i1

20

12

P7.42XiX35.2

i1

2020

1212

P2XiX7.4P2XiX35.2

i1i1

查表

0.990.010.98

2

20X

(2)i~2(20)

i1

20

2122

故P0.37Xi1.76

20i1

202

Xi

P7.435.2

i1

202202

XiXi

P7.4P35.2

i1i1

0.9950.0250.97

例5设r.v.X与Y相互独立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9与Y1,Y2,…,Y16

分别是取自X与Y的简单随机样本,求

XXX

统计量Z129

222

Y1Y2Y16

所服从的分布.

解

X1X2X9~N(0,916)

1

(XXX)~N(0,1)

34129

1

Yi~N(0,1),i1,2,,16

3162

12

Yi~(16)

i13

XXX

从而129

222

Y1Y2Y16

1

X1X2X9

34~t(16)

2

161

Yi

i13

16

设总体

例6X~N(0,1),X1,,X6为总体X

22

的样本,Y(X1X2X3)(X4X5X6)

2

试确定常数c,使cY服从分布.

解

X1X2X3~N(0,3),X4X5X6~N(0,3)

11

X1X2X3,X4X5X6~N(0,1)

33

22

11

故XXXXXX

31233456

1

Y~2(2)因此c1/3.

3

2

例7设(X1,X2,,Xn)是来自N(,)的

简单随机样本,X是样本均值,

nn

212212

S1(XiX),S(XX),

2i

n1i1ni1

1nn

22212

S3(Xi),S4(Xi),

n1i1ni1

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量为

XX

(A)n1(B)n1

S1S2

XX

(C)n(D)n

S3S4

X1n

解22

~N(0,1)2(XiX)~(n1)

/ni1

X

/nn(n1)(X)

nn~t(n1)

122

(XiX)(XX)

2i

i1i1

n1

故应选(B)

补充作业

设为从正态总体

1.X1,X2,,X2n(n2)

X~N(,2)中抽取的简单随机样本

2n

其样本均值为1

XXi

2ni1

n

求统计量2

Y(XiXni2X)

i1

的数学期望E(Y).(0)（转后页）

2

2.X,Y是来自正态总体N(,)容量为

n的两个样本均值,且两样本相互独立,试

确定n,使两样本均值之差的绝对值超过

的概率大约为0.01.

2…

3：设总体X~N(10,3),X1,,Xn是它的一个样本

6

ZXi(1)写出Z所服从的分布;

i1

(2)求P(Z>11).

6

解∵2，∴

:1)X~N(10,3)ZXi~N(60,54)

i1

2

E(Z)=6×10＝60D(Z)=∑D(Xi)=6×3＝54

2)∵Z~N(60,54)，

1160

P{Z11}1P{Z11}

54

1(6.67)(6.67)1

…2

4：设X1，，X10是取自N（0，0.3)的样本,求

10

2

P{Xi1.44}

i1

…2

解：∵X1，，X10～N（0，0.3)

2

X10X2

ii

～N（0，1)2～10

0.3i10.3

10102

2X1.44

i

PXi1.44P22

i1i10.30.3

10X210X2

ii2

P216P20.1100.1

i10.3i10.3