8.2正态总体均值的假设检验（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第二节正态总体均值的假设检验

2

一.单个正态总体N(,)均值的检验

1.2已知，关于的检验(U检验)

2

(1)检验假设:在已知条件

下用服从N(0,1)

H0:0,H1:0的统计量检验正

态总体的方

X法为U检验法

取检验统计量:0~N(0,1)

n

应用统计

则在显著性水平下的拒绝域

,H0:

H的接受域

x0

0u

H的拒绝域

022

n2

(2)检验假设：

H:,H:或

0010(0)

X

取检验统计量:0~N(0,1)

n

应用统计

则在显著性水平下的拒绝域

,H0:

H的接受域

x00

u

的拒绝域

H0

n1

u

x0的接受域

或uH0

H的拒绝域

n10

u

应用统计

例1.已知某钢铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从

正态分布N(4.55,0.1082),现又测了5炉铁水，

其含碳量分别为:

4.28,4.4,4.42,4.35,4.37(0.05)

问：当总体标准差没有改变时，现在生产是否正常?

解假设

:H0:04.55,H1:04.55

总体标准差没有改变，即2已知的情况

X

统计量U0~N(0,1)

n

应用统计

给定显著性水平0.05

从而：zz0.0251.96

2

4.284.404.424.354.37

经计算x4.364

5

x04.3644.55

则：3.91.96

0.108

n5

拒绝，可认为现在的生产是不正常的。

H0

应用统计

例2已知某正态总体的方差为49，抽测24个样本值

的均值为x55.8

问：总体均值55是否成立(0.05)

解假设

:H0:55,H1:55

显然它与检验

H0:55时的讨论是一样的。

X

取统计量U0~N(0,1)

n

给定显著性水平0.05

所以：

因为是单边检验，zz0.051.64

应用统计

x5555.855

经计算0.561.64

77

2424

接受，即可以认为总体均值是成立的

H055

注对于或

(1)H0:0,H1:0(0)

与

H0:0,H1:0或

H0:0,H1:0

的讨论均可归为如下统一形式的讨论:

或

H0:0,H1:0(0)

因为它们的拒绝域是一致的

应用统计

对于

(2)H0:0,H1:0与

或

H0:0,H1:0(0)

检验过程中唯一不同的是在查正态分布表时，

前者是利用概率关系式：

x

P(0z);而后者是利用概率关系式：

n2

x0

x0

P(z)或P(z)

nn

应用统计

2.2未知，关于的检验(t检验)

检验假设2

(1):在未知条件下用服

H:,H:从N(0,1的)统计量

0010检验正态总体的方

2

因为未知，所以可以考虑用法为检t验法

2的无偏估计s2来代替，故有:

X0

取检验统计量~t(n1)

s

n

则有：x0

P{拒绝HH为真}P{k}

000s

n

kt(n1)

2

应用统计

则在显著性水平下的拒绝域

,H0:

的接受域

H022

的拒绝域1

H0

tt

x0

t(n1)22

s

n2

检验假设：

(2)H0:0,H1:0

或

H0:0,H1:0

应用统计

同讨论类似，则在显著性水平下的拒绝域

(1),H0:

的接

H0

xH的拒绝域受域

0t(n1)0

s

n1

或

t

的接

x0H0

t(n1)受域

s

的拒绝域

nH01

t

应用统计

例3某库房要验收大批同类物质，根据以往的经验，

这批物质每件的重量服从正态分布。按规定这批

物质平均每件重量应为100公斤，今抽取10件,

测得其均值x99.6,s24.044

问：能否接受这批物质?0.05

解设

:H0:0100,H1:0100

2未知，所以用t检验。取统计量为:

X

x10099.6100s

经计算0.629n

s4.044

1010~t(n1)

应用统计

而

t(101)t0.05(101)2.26220.6292.2622

22

接受，即可认为该库房应接受这批物质。

H0

二.两个正态总体均值差的检验

2

设X1,X2,,Xn是来自N的样本,Y,YY

1(1,1)12n2

是来自2的样本它们相互独立22

N(2,2),x,y,s1,s2

分别是两个总体的均值与方差

当222未知时检验

1.12(t)

检验假设:H0:12,H1:12

为已知常数，显著水平为

应用统计

检验统计量(XY)

~t(n1n22)

11

sw

n1n2

22

(n11)s1(n21)s2

其中：sw

(n1n22)

同单个总体的讨论类似，有：

拒绝为真xy

P(H0H0)P(k)

1211

sw

n1n2

kt(n1n22)

2

应用统计

在显著性水平下,H0的拒绝域:

xy

t(n1n22)

112

sw

n1n2

注

当222未知时

12

检验假设

H0:12,H1:12

或

H0:12,H1:12

其讨论同前类似，在显著性水平下,H0的拒绝域:

应用统计

(xy)

t(n1n22)

11

sw

n1n2

或

(xy)

t(n1n22)

11

sw

n1n2

当22均已知时检验

2.1,2(U)

检验假设:H0:12,H1:12

为已知常数，显著水平为

应用统计

(XY)

检验统计量~N(0,1)

22

12

n1n2

同单个正态总体的讨论类似，有:

拒绝为真xy

P(H0H0)P(k)

1222

12

kz

n1n2

2

在显著性水平下,H0的拒绝域:

应用统计

注

xy

22z

当,均已知时22

12122

检验假设

:n1n2

H0:12,H1:12

或H0:12,H1:12

其讨论同前类似，在显著性水平下,H0的拒绝域:

xyxy

zz

22或22

1212

n1n2n1n2

应用统计

3.基于成对数据的假设检验(t检验)

逐对比较法为了比较两种性能之间的差异，在

相同的条件下作对比试验，得到一

批成对的观察值。对观察值进行分

析，作出推断的方法。

例4现要比较甲、乙两种橡胶制成的轮胎的耐磨性。

今从甲、乙两种轮胎中各随机的取8个，又从

两组中各取一个组成一对，共8对；

再随机的取8架飞机，将8对轮胎随机地搭配

给这8架飞机作耐磨性试验，当飞机飞行了一

定时间后测得轮胎的磨损量的数据(单位：毫

克)

如下：

应用统计

甲49005220550060206340766086504870

乙49304900514057006110688079305010

试问：这两种轮胎的耐磨性有无显著的差别？0.05

解：设X，Y：甲、乙两种轮胎的磨损量

并设X，Y均服从正态分布，即：

22

X~N(1,),Y~N(2,)

方法一：数据不配对分析

将所观察的两行数据分别作为X，Y的样本

依题意，检验假设：H0:12,H1:12

应用统计

因为已知222所以在给定的显著性水平

12,

下的拒绝域为：取统计量为

0.05H0:

C{ttt(n1n22)}XY

211

经计算SW

x6145,y5825,n1n2

22

~t(n1n22)

s11633900,s21053875

22

(n11)s1(n21)s2

sw1343887.5

(n1n22)

xyxy

t0.516

1111

swsw

n1n2n1n2

应用统计

t(n1n22)t0.05(14)2.1448

22

因为：t0.5162.1448

所以接受可认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。

H0,

方法二：数据配对分析

注意到：在方法一中是将所观察的两行数据分别作

为X，Y的样本，而没有去区别它们是否

来自于同一架飞机。

事实上：不同的飞机其试验的条件是不完全一致的，

有的甚至于有很大的差异，所以飞机之间

的试验条件的不同会对试验数据产生干扰.

应用统计

方法一的不足：容易将飞机之间的试验条件的差异

与轮胎之间耐磨性的差异交织在一

起，分辨不出轮胎之间真正的差异。

方法二的做法：观察分析同一架飞机上两种轮胎的磨

损量的差异，作出推断。

今令：

DiXiYi,i1,2,,8

并令DDD是总体2

1,2,,8D~N(D,D)的样本

从而将原问题转化为单个正态总体中当2未知时

关于的假设检验问题。

检验假设：

H0:D0,H1:D0

应用统计

按单个正态总体中当2未知时，关于的假设检验

的计算公式，可得的拒绝域为：

H0取统计量为:

C{ttt(n1)}X

2s

经计算d320,s289425,n

~t(n1)

d320

t2.83

s89425

n8

t(n1)t0.05(7)2.365

22

因为：

t2.83t0.05(7)2.365

2