第七章 动态数列分析（课件）- 《统计学原理与实务》同步教学（机械工业版）

第七章

动态数列分析

第七章动态数列分析

第一节动态数列的编制

第二节动态数列水平分析

第三节动态数列速度分析

第四节动态数列因素分析

2

•第一节动态数列的编制

一、动态数列的概念

将社会经济现象在不同时问上发展变化所达到的水平值，按时间先后顺序排列所形

成的数列，称为动态数列、时间数列或时间序列。

指标2010年2011年2012年2013年2014年2015年

就业人员(万人)761057642076704769777725377451

因而，动态数列都有两个构成要素：一个是时间要素，说明社会经济现象发展变化

的时期或时点；另一个是统计指标值，说明社会经济现象在各个发展时间所达到的

规模或水平。

3

•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

动态数列

绝对数数列相对数数列平均数数列

时期数列时点数列

4

•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

根据组成动态数列的统计指标性质的不同，可以将动态数列分为绝对数动态数列、

相对数动态数列和平均数动态数列。

（一）绝对数动态数列

将一系列同类的总量指标值按时间的先后顺序排列所形成的动态数列称为绝对数动

态数列。它反映社会经济现象在各时期发展所达到的绝对水平及不同时期发展变化

的状况。

总量指标按所反映的社会经济现象的时间状态不同，可分为时期指标和时点指标两

种，所以，绝对数动态数列又分为时期数列和时点数列。

5

•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

1.时期数列

在绝对数动态数列中，如果每项统计指标都是同类性质的时期指标，这种绝对数动

态数列就称为时期数列。

时期数列主要有下列三个特点：

1.数列中各项指标值具有可加性。

2.数列中各项指标值的大小与所届的时期长短有必然的联系。

3.数列中的各项指标值是通过连续不断的登记而获得的，经济中各个基本单位每

天实现的增加值连续记录汇总而成的。

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•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

2.时点数列

在绝对数动态数列中，如果每一项统计指标都是同类性质的时点指标，这种绝对数

动态数列就称为时点数列。时点数列有如下三个特点。

1.数列中各项指标值不具有可加性。

2.数列中各项指标值的大小与其时间间隔长短没有直接关系。

3.数列中每个指标的数字是通过一次性登记而取得的。

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•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

课堂讨论

某厂历年设备台数以下数列中哪些属于时点数列？

a)某校历年毕业生人数

b)某校历年末在校生人数

c)某商店各月末商品库存额

d)某单位历年职工工资总额

e)某养猪场历年年末生猪存栏头数

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•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

（二）相对数动态数列

将一系列同类的相对指标值按时间先后顺序排列起来而形成的动态数列，称为相对

数动态数列。它可以反映相互联系的现象之间发展变化的过程，说明社会经济现象

的比例关系、结构、速度、效益等的发展变化的过程。

指标2010年2011年2012年2013年2014年2015年

人口出生率(‰)11.911.9312.112.0812.3712.07

人口死亡率(‰)7.117.147.157.167.167.11

人口自然增长率(‰)4.794.794.954.925.214.96

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•第一节动态数列的编制

二、动态数列的类型

（三）平均数动态数列

将一系列同类的平均指标值按时间先后顺序排列所形成的动态数列称为平均数动态

数列。它反映社会经济现象一般水平的发展趋势。如某企业产品的平均成本组成的

动态数列，某高校学生的平均成绩组成的动态数列等都是平均数动态数列。

指标2010年2015年

平均预期寿命(岁)74.8376.34

男性平均预期寿命(岁)72.3873.64

女性平均预期寿命(岁)77.3779.43

10

•第一节动态数列的编制

三、动态数列的编制

动态数列反映社会经济现象发展变动的规律和趋势，要使编制成的动态数列能够揭

示现象发展的客观实际，就要保证数列中各项指标值具有可比性，这是编制动态数

列的基本要求。

具体而言，有以下四方面的编制原则。

•第一，时期长短要一致。

•第二，总体范围要一致。

•第三，计算方法要统一。

•第四，经济内容要一致。

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•第二节动态数列水平指标

一、发展水平

在动态数列中每个指标数值叫做发展水平或动态数列水平，它反映社会经济现象在

不同时间状态下所达到的规模或水平，且它是计算其他动态分析指标的基础。

•发展水平按其在动态数列中所处位置的不同可分为：最初水平、中间水平、最

末水平。动态数列中第一个指标数值叫最初水平，最后一个指标数值叫最末水

平，其余各个指标数值叫中间水平。如果用符号a0，a1，a2，……，an表示发展水

平，那么a0为最初水平，an为最末水平，其余为中间水平。

•发展水平按其在动态分析中所起的作用不同可分为：基期水平和报告期水平。

基期水平是指作为比较基础时期的发展水平；报告期水平是指所要分析研究的

那个时期的发展水平。

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•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

平均发展水平又叫平均发展水平或动态平均数，是将不同时期的发展水平加以平均

而得的平均数。

（一）根据绝对数动态数列计算平均发展水平

绝对数动态数列分为时期数列和时点数列，由于两者资料特点不同，计算平均发展

水平的方法也不相同。

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•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

绝a

对时期数列的平均发展水平a

na

数a

动间隔相等n

态连续时点数列af

数间隔不等a

列f

的

时点数列a1a2an-1an

序间隔相等

时a22

平间断时点数列n1

均

a1a2an1an

数f1fn－1

间隔不等a22

1n－1

ff14

•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平

其基本公式为：

a

c

b

1.分子、分母均为由时期数列的指标比对形成的相对数动态数列，其平均发展水

平的计算公式为：

a

aa

cn

bbb

n

15

•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平

2.分子、分母均为由时点数列的指标比对形成的相对数动态数列，其平均发展水

平的计算公式为：

aa

（1aaan）

223n-12

a（）

cn-1

bb

b（1bbbn）

223n-12

（n-1）

a1an

a2a3an-1

22

b1bn

b2b3bn-1

2216

•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平

3.分子、分母为由一个时期数列和一个时点数列中的指标比对形成的相对数动态

数列，其平均发展水平的计算公式为：

（aaaaa）

a123n-1n

cn

bb

b（0bbbn）

212n-12

n

aaaaa

123n-1n

bb

0bbbn

212n-12

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•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平

（1）由静态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。

月份123456

a工业增加值(万元)3339.6539.4444.146.848.3

b平均工人数(人)606568707270

c每一工人平均产值(万元)0.550.610.580.630.650.69

（2）由动态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。

季度一二三四

平均每月产值(万元)14172129

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•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平

（1）由静态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。

a

c

b

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•第二节动态数列水平指标

二、平均发展水平

（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平

（2）由动态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。

当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。

a

a

n

若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。

af

a

f

20

•第二节动态数列水平指标

三、增长量和平均增长量

（一）增长量

增长量是说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它是报告期水平与

基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。其计算公式为：

增长量=报告期水平-基期水平

由于采用的基期不同，增长量可以分为逐期增长量和累计增长量。

逐期增长量：a1-a0，a2-a1，……，an-an-1

累计增长量：a1-a0，a2-a0，……，an-a0

逐期增长量与累计增长量的关系是：逐期增长量之和等于累计增长量，即

an-a0=（a1-a0）+（a2-a1）+……+(an-an-1)

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•第二节动态数列水平指标

三、增长量和平均增长量

（二）平均增长量

平均增长量是说明社会经济现象在一定时期内平均每期增长的数量，从广义来说，

它也是一种序时平均数，即是逐期增长量动态数列的序时平均数，反映现象平均

增长水平。其计算公式为：

逐期增长量之和累计增长量

平均增长量==

逐期增长量项数数列项数-1

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•第三节动态数列速度指标

一、发展速度

一、发展速度

发展速度是以相对数形式表示的动态指标，它是报告期水平与基期水平之比，用

以说明报告期水平是基期水平的若干倍或百分之几，其计算公式为：

报告期水平

发展速度=

基期水平

aaaaaaaa

定基发展速度：1，2，3，，n环比发展速度：1，2，3，，n

a0a0a0a0a0a1a2an-1

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•第三节动态数列速度指标

一、发展速度

定基发展速度和环比发展速度之间的关系表现为以下两点：

（1）定基发展速度等于环比发展速度的连乘积，即

aaaaa

n123n

a0a0a1a2an-1

（2）两个相邻时期的定基发展速度之比，等于它们的环比发展速度，即

ai

aa

0i

ai-1ai-1

a0

24

•第三节动态数列速度指标

二、增长速度

增长速度是表明社会经济现象增长程度的相对指标。它可以根据增长量与基期发

展水平对比求得。通常用百分比或倍数表示。其计算公式为：

增长量

增长速度=

基期发展水平

增长速度和发展速度既有区别又有联系。两者的区别在于概念的不同：增长速度

表示社会经济现象报告期比基期增长的程度，而发展速度则表示报告期与基期相

比发展到了什么程度。两者的联系可用公式表示为：

增长速度=发展速度-1（或100%）

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•第三节动态数列速度指标

三、平均发展速度和平均增长速度

（一）平均发展速度

平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数。

1．几何平均法

计算平均发展速度时，因为总速度不等于各期环比发展速度的算术总和，而等于各

期环比发展速度的连乘积，所以不能应用算术平均法，而要用几何平均法来计算。

如果用水平法制定长期计划，则要求用几何平均法计算其平均发展速度，按此平均

发展速度发展，可以保证在最后一年达到规定的an水平，所以几何平均法也称“水

平法”。

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•第三节动态数列速度指标

三、平均发展速度和平均增长速度

平均发展速度的计算公式为：

an

xn

a0

annn

xnx1x2x3xnx

a0

ann

xnR

a0

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•第三节动态数列速度指标

三、平均发展速度和平均增长速度

（二）平均增长速度

平均增长速度是各期环比增长速度的序时平均数，它表明现象在一定时期内远期

平均增长变化的程度。

平均增长速度＝平均发展速度一1（或100％）

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•第三节动态数列速度指标

三、平均发展速度和平均增长速度

（三）计算和运用平均发展速度时应注意的问题

1.根据统计研究目的选择计算方法。

2.要注意社会经济现象的特点。

3.应采取分段平均速度物来补充说明总平均速度。

4.平均速度指标要与其他指标结合应用。

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•第四节动态数列因素分析

一、动态数列的影响因素

动态数列反映了现象随时间的发展变化，是许多复杂因素共同作用的结果。不同

因素的作用不同，形成的结果也相应不同。影响现象发展变动的因素主要有4种类

型。

（1）长期趋势（T）

长期趋势是影响现象发展变动的最基本因素，在现象发展变化的各个时期起普遍

的、持续的、决定性的作用，是现象发展的内在因素，反映了现象在相当长的时

期内所具有的发展变化的基本规律和特征。

30

•第四节动态数列因素分析

一、动态数列的影响因素

（2）季节变化（S）

地球上绝大多数地区，一年四季季节分明，任何现象都要随着一年四季的季节变

动而发生有规律的变化，呈现出“旺季”和“淡季”的季节特征，使现象的发展

呈现出有规律的季节性波动。

（3）循环变动（C）

历史事实已经证明，宏观经济具有周期性，宏观经济有发展变动的繁荣时期，也

有发展变动的萧条时期。社会经济现象的发展受宏观经济环境的周期性变化影响

而呈现出一定的周期性，现象发展变动的结果具有周期性的循环变化特征。

31

•第四节动态数列因素分析

一、动态数列的影响因素

（4）不规则变动（I）

不规则变化是指社会经济现象发展过程中所经历的非确定的偶然因素影响，这种

变动通常是无法预知的，如政治选举、罢工、战争、政治动荡、自然灾害等。

动态数列的每一项指标值（Y）都是上述四种变动因素综合作用的结果，根据四种

因素对y的影响方式的不同，动态数列的变动有两种形式的假设模型。

（1）乘法模型。

Y＝T×S×C×I

（2）加法模型。

＝

YT+S+C+I32

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

所谓长期趋势是指社会经济现象在长时期内所具有的持续向上或向下发展的变动

规律，长期趋势是现象发展的内在规律和基本特征的反映。

对现象长期趋势的测定可以实现以下目的：反映现象发展变动的基本趋势和规律；

探求合适的趋势线，描述其发展规律；将这种发展规律用于经济预测和决策。

长期趋势的类型有二种：

直线趋势；非直线趋势，即曲线趋势。

33

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（一）时距扩大法

时距扩大法是通过扩大动态数据各项指标所属的时间，对原始资料加以整理，消

除因时间间隔短而使各指标值受偶然性因素影响所引起的波动，以反映现象发展

变化的趋势。

月份123456789101112

总产量355442535552657775828597

34

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（一）时距扩大法

月份123456789101112

总产量355442535552657775828597

120

100季度一二三四

80

60总产量

40131160217264

总

产20300

量

（0250

万

元123456789101112200

）月份150

100

总50

产

值0

（一二三四

万

元季度

）35

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（二）移动平均法

移动平均法是通过逐期移动计算序时平均数，把原始动态数据的时距扩大，得出

的序时平均数构成一个新的动态数列。

36

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

月份销售额

150.5

245.0

352.0

451.5

550.4

655.5

753.0

858.4

957.0

1059.2

1158.0

37

1260.5

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

月份销售额三项移动平均

150.5—

245.049.2

趋势值项数（新）=

352.049.5

原数列项数-移动平均项数+1

451.551.3

550.452.5

655.553.0此公式对奇数项移动平均和正位前的偶数项

移动平均有效

753.055.6

858.456.1

957.058.2

1059.258.1

1158.059.2

38

1260.5—

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

月份销售额三项移动平均四项移动平均

四项移动平均移正

150.5——

245.049.2—

352.049.549.8

451.551.351.1

550.452.552.5

655.553.053.5

753.055.655.2

858.456.156.5

957.058.257.6

1059.258.158.5

1158.059.2—

39

1260.5——

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

三项移动和四项移动的比较

65

60

55原始资料

三项移动后的趋势

50四项移动后的趋势

45

40

123456789101112

40

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

最小二乘法，也叫最小二乘法，是测定长期趋势的重要方法之一。

最小二乘法是根据最小二乘法的原理，即现象的实际值与趋势值的离差平方和为

最小，以拟合优良的趋势模型，找出趋势线的近似数学方程式，从而测定长期趋

势，并对未来的发展水平进行预测。用公式表示如下：

(y-y）2最小值

41

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

1.直线趋势模型

如果现象的发展，其逐期增长量大体上相等，则可考虑配合直线趋势。直线方程

的一般形式为

y=a+bt+ε

式中，a为截距；b为直线的斜率；t为时间；ε为随机误差项，是除去时间因素外，

所有其他因素对y的影响结果。

42

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

根据已知的动态数据资料和最小二乘法原理，可以求出待定系数a、b，进而得出

直线趋势方程，用它描绘现象的发展趋势并进行预测。直线趋势方程如下：

yabt

2

(y-y）2最小值(y-abt）最小值

nty-ty

b

nt2（-t）2

yt

a-by-bt

nn43

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

当动态数列为奇数项时，时间t的取值为…，一3，一2，一1，0，1，2，3…，当动

态数列为偶数项时，时间t的取值为…，一5，一3，一1，1，3，5…，使∑t=0，这

时上面的方程组可简化为：

ty

b

t2

y

ay

n

44

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

2.曲线趋势模型

现实经济生活中，多数经济现象的发展趋势是非线形的，而是曲线形的，因此，

研究长期趋势变动的曲线类型是十分重要的。

（1）二次曲线趋势

如果现象发展的逐期增长量的逐期增长量(即各期的二级增长量)大致相同，则可

用二次曲线(抛物线)描绘其发展趋势，曲线方程为：

y=a+bt+ct2+ε

式中，a、b、c为待定系数；t为时间；ε为随机误差项。

45

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

2.曲线趋势模型

由最小二乘法原理可得：ynabtct2

tyatbt2ct3

2234

tyatbtct

为了计算的方便，同样可以使t的取值满足∑t=0，此时，上述方程组变为

ynact2

tybt2

t2yat2ct4

46

•第四节动态数列因素分析

二、长期趋势分析

（三）最小二乘法

（2）指数曲线趋势

当现象发展的各期环比发展速度大致相同时，现象具有指数曲线型的发展趋势，

曲线方程为：

y=abt+ε

式中，a、b为待定系数；t为时间；ε为随机误差项。

t

yablnylnatlnb

令lnyY，lnaA，lnbB