(完整版)北师大版八年级下册《分解因式》培优

北师大版八年级下册《分解因式》培优/1．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．2．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．3．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．4．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．6．（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+21；当x=1时，代数式x2﹣2x+21；…（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．分解因式：(1）﹣x2+4xy﹣4y2（2)（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1(3)（x+y）2﹣y（2x+y）（4）（4x﹣3y）2﹣25y2；（5）x2﹣2xy+y2﹣z2．8．在学习中，小明发现：当a=﹣1，0，1时，a2﹣6a+11的值都是正数，于是小明猜想：当a为任意整数时，a2﹣6a+11的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由．你还有什么发现吗？9．求值题：设a、b为整数，且a2﹣2a+b2+6b=﹣10，求（a+1）b的值．10．分解因式：x2﹣120x+3456分析：由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456=（x﹣60）2﹣144=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）=（x﹣48）（x﹣72）请按照上面的方法分解因式：x2+86x﹣651．11．已知P=2x2+4y+13，Q=x2﹣y2+6x﹣1，比较代数式P，Q的大小．12（1）多项式a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b值．（2）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，求xy与x2+y2的值．13．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．已知（a+b）2﹣4（a+b）+4=0，则a+b的值为．15．已知x、y满足x2+y2+=4x+y，求代数式的值．16．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．17．阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的结论分解因式．（1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）．因此，可以得x2+（p+q）x+pq=．利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）利用（1）的结论分解因式：①m2+7m﹣18；②x2﹣2x﹣15．18.分解因式（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．20．为使代数式x2﹣ax﹣20在整数范围内可以因式分解，其中的整数a可以有多少？刘学峰说有6个，宋世杰说有5个，杨萌说有无穷个．你认为他们谁说得对？为什么？21．甲同学分解因式x2+ax+m，其结果为（x+2）（x+4），乙同学分解因式x2+nx+b，其结果为（x+1）（x+9），在此情形下，请你来分解因式x2+ax+b．22．分解因式：16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2．23．已知a、b、c为△ABC三边，利用因式分解说明b2﹣a2+2ac﹣c2的符号．24．已知a=+2012，b=+2013，c=+2014，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．25.先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+