湘教版八年级下册数学全册教学课件

第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定（I）第1课时直角三角形的性质和判定八年级湘教版数学下册

在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？说一说

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？

在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A+∠B=90°.由此得到：直角三角形的两个锐角互余.议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗

如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.由此得到：有两个角互余的三角形是直角三角形.探究

如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？是否对于任意一个Rt△ABC，都有CD=AB成立呢

线段CD比线段AB短.我测量后发现CD=AB.

如图，如果中线CD=AB，则有∠DCA=∠A.由此受到启发，在下图的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD′交AB于D′，使∠D′CA=∠A，则CD′=AD′.又∵∠A+∠B=90°，∠D′CA+∠D′CB=90°，∴∠B=∠D′CB.∴CD′=BD′.故得CD′=AD′=BD′=AB.∴点D′是斜边AB上的中点，即CD′是斜边AB的中线.从而CD与CD′重合，且CD=AB.由此得到：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例题

如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB.求证：△ABC是直角三角形.∵CD=AB=AD=BD，∴△ABC是直角三角形.∴∠A+∠B=90°.∴2（∠A+∠B）=180°.∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，∴∠1=∠A，∠2=∠B.证明：练习

1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？解：斜边AB的长是5cm.练习

2.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.解：∵AB∥CD，AH和CH分别是∠CAB和∠ACD的平分线，∴∠CAB+∠ACD=180°且∠CAH=∠CAB,∠ACH=∠ACD.∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠AHC=90°.∵E为AC的中点，EH=2.∴AC=4.今天这堂课学了什么内容？反思小结1.直角三角形的两个锐角互余.2.有两个角互余的三角形是直角三角形.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

八年级湘教版数学下册动脑筋

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢？∴BC=BD=AB.如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AB=BD.∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°.∴△CBD为等边三角形，探究结论

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.动脑筋

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，那么∠A=30°吗？∴∠A=30°.如图，取线段AB的中点D，连接CD.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AB=BD.∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形.∴∠B=60°.∵BC=AB，∵∠A+∠B=90°，探究结论

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.例题

如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里.若该船继续保持由西向东的航向，那么有触礁的危险吗？分析

取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D.AD长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险.解

如图，

过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO.

由于AD长大于20海里，所以轮船由西向东航行不会触礁.于是AD=AO=≈25.98(海里)>20（海里）.在Rt△AOD中，AO=海里，∠AOD=30°，练习

1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗？解：电梯AB的长度为12m.练习

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，DB=BC，求∠A的度数.解：∵CD垂直于AB，DB=BC，∴∠BCD=30°.∴∠B=60°.∵∠ACB=90°，∴∠A=30°.今天这堂课学了什么内容？反思小结1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理八年级湘教版数学下册做一做如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在个点上的直角三角形，使其两直角边分别为3,4，量出这个直角三角形的斜边的长度.

我量得c为5.

议一议在方格纸上，以图中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系呢？

由图可知，S1=32，S2=42,为了求S3，我可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小正方形的面积，得S3=52.∵32+42=52.∴S1+S2=S3.

在上图中，S1+S2=S3，BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？

如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立？

探究

我们来进行探究：步骤1

先剪出4个如图1所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b＞a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图2所示.步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图3的图形.由于△DHK≌△EIH,∴∠2=∠4.又∵∠1+∠2=90°.∴∠1+∠4=90°.又∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D,H,E在一条直线上.图3同理E，I，F在一条直线上；F,J,G在一条直线上，G，K，D在一条直线上.因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为（a+b），它的面积为（a+b）².又正方形的DEFG的面积为c2+4·ab，∴（a+b）²=c2+4·ab.即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.由上述可得到直角三角形的性质定理：结论

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图），因此这一性质被称为勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，在直角三角形中，若已知直角三角形的任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？解在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC,∴BD=BC=5.在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，故AD的长为12cm.1.在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,

则c=＿＿＿＿2.在一个直角三角形中,两边长分别为6、8,则第三边的长为________.1010或练习3.求出下列直角三角形中未知边的长度解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2即x2=62+82，x2=100.∴

x=10.

∵x>0，

即x2+52=132，x2=144.∴

x=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2.∵x>0练习今天这堂课学了什么内容？反思小结勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用八年级湘教版数学下册已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求出第三边，这在求距离时有重要作用．

勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．动脑筋如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？探究

如图，在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A′BC′中，计算出A′B，则可得出梯子往上移动的距离为（A′B-AB）m.因此，A′A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.

在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，AB=

在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，故A′B=

（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？分析

根据题意，先画出水池截面示意图，如图.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.解

如图，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.因为正方形池塘边长为10尺，所以B′C=5尺.在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x2+52=(x+1)2，解得x=12.则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.练习1.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

ABCD1m2m解：连接AC.∵AB=1，BC=2，根据勾股定理得：AC=≈2.24.∵AC>2.2∴长3m，宽2.2m的长方形薄木板能从门框通过.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？AB82361C解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC由题意可知：AC=6千米，BC=8千米根据勾股定理，得AB2=AC2＋BC2＝62＋82＝100∴AB=10千米练习（1）勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？（3）本节课体现出哪些数学思想方法？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理八年级湘教版数学下册（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=

.（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=

.（3）如图，两个正方形的面积分别是64,49，则AC的长为

.1717c为斜边b为斜边788探究如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，A′B′2=a2+b2，∵a2+b2=c2，∴A′B′2=c2.∴A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=B′C′=a，AC=A′C′=b，AB=A′B′=c，∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.∴△ABC是直角三角形先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略.勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.且边C所对的角为直角.a2+b2=c2互逆命题定理逆定理结论判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.分析

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.解

（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴这个三角形是直角三角形.（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴这个三角形不是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.解：（1）∵12＋（）2＝1＋3＝4，22＝4，∴12＋（）2＝22.∴这个三角形是直角三角形.（1）a=1，b=2，c=；（2）a：b：c=3:4:5.

判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（2）设a=3x,b=4x,c=5x,则∵（3x）2＋（4x）2＝25x2，(5x)2＝25x2，∴（3x）2＋（4x）2

＝(5x)2.∴这个三角形是直角三角形例题如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.解

在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102，即AD2+BD2=AB2,∴△ADB是直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，∴DC=1、下列各组线段中，能够围成直角三角形的是（）

A、1、2、3B、15、20、25C、4、5、6D、18、9、102、下列各组线段中，不能够围成直角三角形是（）

A、9、12、15B、8、15、17C、7、24、25D、6、8、9BDCA、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等边三角形勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.且边C所对的角为直角.a2+b2=c2逆定理课堂小结：谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.3直角三角形全等的判定八年级湘教版数学下册

在前面的学习中，我们用SAS，ASA，AAS和SSS来判断两个三角形全等，对于两个直角三角形，除了可以运用一般三角形全等的判定方法外，是否还有其它的判定方法呢？探究它们是全等的，由勾股定理，直角三角形的两边确定，那么第三边也就确定.我们能找到判定和这两个三角形全等的条件用前面学过的方法无法判断这两个三角形是否全等.

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵AB=A′B′,AC=A′C′,根据勾股定理，BC2=AB2-AC2,B′C′2=A′B′2-A′C′2，∴BC=B′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.由此得到直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）例1如图，BD,CE分别是△ABC的高，且BE=CD.

求证:Rt△BEC≌Rt△CDB.证明：∵BD,CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC和Rt△CDB中，∵BC=CB,BE=CD,∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).例2已知一直角边和斜边，求作直角三角形.已知：线段a，c（c>a），如图1.求作：Rt△ABC，使AB=c，BC=a.作法（1）作∠MCN=90°.（2）在CN上截取CB，使CB=a.（3）以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A,连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形，如图2.图2例题练习两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？两条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？有任意的两条边对应相等的两个直角三角形全等吗？判定两个直角三角形全等，共有多少种方法？答：不一定全等答：全等答：全等答：共有SAS，ASA，AAS，SSS，HL5种方法5.如图，∠DAB和∠BCD都是直角，AD=BC.

判断△ABD和△CBD是否全等，并说明理由.解：△ABD和△CBD全等.理由：∵∠DAB和∠BCD都是直角，AD=BC，且BD=DB,∴△ABD≌△CBD.斜边、直角边定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

课堂小结：谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质八年级湘教版数学下册

角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.

探究如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P,作PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D,E,试问PD与PE相等吗？你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与重合，即PD与PE相等我们来证明这个结论：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP,∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.由此得到角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P在∠AOB的平分线上吗？动脑筋

如图，过点O,P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线上.证明（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD,BC⊥CD,∴点B在∠ADC的平分线上.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC,BD=BD,∴Rt△BAD和Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD是∠ABC的平分线.

1.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等.练习解：作∠AOB的平分线，∠AOB的平分线与MN交于一点，如图1所示：点P即为所求.图1

2.如图，在△ABC中，AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,BD=CD.

求证：AB=AC.证明：∵AD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.今天这堂课学了什么内容？反思小结1.角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。1.4角平分线的性质第2课时角平分线的判定八年级湘教版数学下册

如图，已知EF⊥CD,EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？动脑筋

可以添加条件MN=ME(或MN=MF).∵ME⊥CD,MN⊥CA,∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.同理可得AM是∠CAB的平分线.

例如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB,PF⊥AC，垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系.解∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB,PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴BE+PF>PB.如图，你能在△ABC中找到一点P,使其到三点的距离都相等吗？动脑筋

因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点，点P也在∠C的平分线上，如图.

1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，求证：（1）∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD.练习解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，∴CE=DE.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△COE和Rt△DOE中，CE=DE，OE=OE.∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL).∴OC=OD.

2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE，点C在线段DE上，求证：AB=AD+BE.练习解：过C作CF⊥AB于F.∵AC,BC分别平分∠BAD,∠ABE，且AD⊥DE，BE⊥DE,∴DC=CF,CE=CF.∴Rt△ACD≌Rt△ACF(HL),Rt△BCE≌Rt△BCF(HL).∴AD=AF,BE=BF.∴AB=AF+BF=AD+BE.F已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB.应用与提高证明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°,∴CD＝DE.在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE,

DF=DB,∴Rt△CDF≌Rt△EDB.∴CF=EB.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2章四边形2.1多边形第1课时多边形及其内角和八年级湘教版数学下册观察：你能从下列图中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？多边形的有关概念：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.

例如在图中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五边形，······在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形.

三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？动脑筋

如图，四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2=360°.探究在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有的对角线，并完成下表.

图形边数可分成三角形的个数多边形的内角和五边形53（5-2）×180°六边形64（6-2）×180°七边形75（7-2）×180°八边形86（8-2）×180°···············n边形nn-2（n-2）×180°

如图，n边形共有n个顶点A1,A2,A3,···An.与顶点A1不相邻的顶点有（n-3）个，因此从顶点A1出发有（n-3）条对角线，n边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，即（n-2）·180°.由此得到：n边形的内角和等于（n-2）·180°.

你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？如图，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和（n-2）·180°.动脑筋例（1）十边形的内角和是多少度？

（2）一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？解：（1）十边形的内角和是

（10-2）·180°.=1440°.（2）设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°=1980°.解得n=13.所以这是一个十三边形.例题练习1.（1）正十二边形每一个内角是多少度？解：（1）十边形的内角和是

（12-2）·180°.=1800°.（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180°=1800°.解得n=12.答：它是十二边形.练习2.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？解：这个多边形的边数为10+2=12（条）答：这个多边形是十二边形.多边形内角和n边形的内角和等于（n-2）·180°.课堂小结：谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。2.1多边形第2课时多边形的外角和

八年级湘教版数学下册复习：n边形的内角和为_________________．(n-2)180°

它有什么作用呢?1.知道多边形的边数,可以求出多边形的度数.2.知道多边形的度数,可以求出多边形的边数.多边形外角的有关概念：多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角，如图，∠EDF是五边形ABCDEF的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个角，它们的和叫作这个多边形的外角和.我们已经知道了三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？如图，四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角,如∠1，∠2，∠3，∠4.∵∠1+∠DAB=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠ADC=180°，又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°.∴四边形的外角和为360°.动脑筋探究三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任何整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？

类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每个外角与它相邻的内角之和为180°.因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来就是n·180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2）·180°所得的差即为n边形的外角和.n·180°-（n-2）·180°=[n-（n-2）]·180°=2×180°=360°.由此得出：任意多边形的外角和等于360°.

n边形的外角和与边数没有关系.例一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解设多边形的边数为n，则它的内角和为（n-2）·180°.由题意得（n-2）·180°=360°×5，解得n=12.因此这个多边形是十二边形.例题观察三角形具有稳定型，那么四边形呢？用4根木条钉成如图的木框，任意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？

我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性.图1图2图3

在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，如上图1中电动伸缩门，图2中的升降机.有时又要克服四边形的不稳定性，例如图3中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.练习1.一个多边形的每个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？解：n=360°÷45°=9，180°-45°=135°.答：这个多边形是九边形，它的每个内角是135°.2.如图，求图中x的值.解：由题意，得3x+90×2=360.解得x=60.3.请举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.答：折叠衣架，伸缩尺，立体折叠画等.1.多边形的外角和任意多边形的外角和等于360°.课堂小结：2.四边形具有不稳定性谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。2.2平行四边形2.2.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角性质八年级湘教版数学下册

做一做

在小学，我们已经认识了平行四边形，在图中找出平行四边形，并把它们勾画出来.1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.3.记作:

□ABCD2.几何语言:

四边形ABCD是平行四边形AB∥CD

AD∥BC两组对边分别平行探究每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形（或者图中的□ABCD）四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？

通过观察和测量，我发现平行四边形对边相等，对角相等.你能证明吗？下面我们来证明这个结论.如图，连接AC.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC（平行四边形的两组对边分别平行）.∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴AB=CD,BC=DA,∠B=∠D.又∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.由此得到平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.例1如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD=2cm，∠A=65°，∠E=33°，求EF和∠BGC.解∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2cm，∠1=∠A=65°.∵四边形BCEF是平行四边形，∴EF=BC=2cm，∠2=∠E=33°.∴在△BGC中，∠BGC=180°-∠1-∠2=82°.例题例2如图，直线与平行，AB,CD是与之间的任意两条平行线段.试问：AB与CD是否相等?

为什么

解：∵∥，AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形.∴AB=CD.例题

夹在两条平行线间的平行线段相等.练习1.如图，□ABCD的一个外角为38°，∠A,∠B,∠BCD,∠D的度数.解：∵∠DCE=38°，∴∠BCD=180°-38°=142°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=142°.∴∠B=∠D=180°-142°=38°.练习2.如图，在□ABCD中，∠ABC=68°，BE平分∠ABC，交AD于点E.AB=2cm，ED=1cm.（1）求∠A，∠C，∠D的度数；（2）求□ABCD的周长.解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=68°.∴∠A=∠C=180°-68°=112°.（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠BAE.∴AB=AE=2cm.∴AD=2+1=3（cm）.∴□ABCD的周长为：3+2+3+2=10（cm）.1.概念：

四边形

两组对边分别平行

平行四边形

2.性质：性质一：对边平行，相等

性质二：对角相等，邻角互补

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

2.2.1平行四边形的性质第2课时平行四边形的对角线的性质八年级湘教版数学下册2.上节课我们掌握了平行四边形的哪些性质？1.什么是平行四边形？平行四边形的性质：平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.ABCD1.对边：2.对角：∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D.

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC.探究如图，已知□ABCD两条对角线AC与BD相交于点O，比较OA,OC,OB,OD的长度，有哪些线段相等？你能做出什么猜测？

我发现OA=OC,OB=OD.我猜测点O是每条对角线的中点.这个猜测正确吗？下面我们来进行证明.如图，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，AB∥DC，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△OAB≌△OCD.∴OA=OC,OB=OD.由此得到平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.例1如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD的周长.解∵AC,BD为平行四边形ABCD的对角线，∴OC=AC=3，OD=BD=5.又∵CD=4.8，∴△COD的周长为3+5+4.8=12.8.例题

例2如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交与点O,过点O的直线MN分别交AD,BC于点M,N.求证：点O是线段MN的中点.证明：∵AC,BD为□ABCD的对角线，且相交于点O,∴OA=OC.∵AD∥BC,∴∠MAO=∠NCO.又∠AOM=∠CON,∴△AOM=△CON.∴OM=ON.∴点O是线段MN的中点.例题练习1.如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm.（1）求△AOD的周长；（2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？解：（1）∵AC,BD为平行四边形ABCD的对角线，∴OA=AC=3，OD=BD=5.△AOD的周长为：10+3+5=18（cm）.（2）△ABC与△BCD的周长相比△BCD的周长长，长6cm.练习2.平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等吗？为什么？解：相等.理由如下：如右图所示，已知□ABCD中两条对角线相交于O，过A作AE⊥BD，交BD于E,过C作CF⊥BD，交BD于F.求证：AE=CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.∵∠AOE=∠COF，∴Rt△AEO=Rt△CFO（AAS）.∴AE=CF.

平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。2.2.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1,2八年级湘教版数学下册

从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB出发，画出一条平行四边形呢？动脑筋

如图，把线段AB平移到某一位置，得到线段DC,则可知AB∥DC,且AB=DC.由于点A,B的对应点是点D,C，连接AD,BC，由平移的性质：两组对应点的连线平移且相等，即AD∥BC.由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.

实际上上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如图，已知AB∥CD，且AB=CD，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例1如图，点E,F在□ABCD的边BC，AD上，BE=BC，FD=AD,连接BF,DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴ADBC.∵BE=BC，FD=AD，∴BE=FD.又∵BE∥FD，∴四边形BEDF是平行四边形.“”读作“平行且相等”例题

如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？动脑筋下面我们来证明这个结论.如图，在四边形ABCD中，AB=DC,AD=BC，连接AC.∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴∠1=∠2.则AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.由此得到平行四边形的判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.例2如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：∵△ABC≌△CDA，∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.例题练习1.如图，在□ABCD中，AE=CF.求证：四边形EBFD是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C,AD=BC.AB=CD∵AE=CF.∴△ADE≌△CBF(SAS).∴DE=BF.又∵AE=CF,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形.练习2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC，E,F分别是边BC，AD上的中点，找出图中所有的平行四边形，并说明理由.解：图中的平行四边形有：□ABCD，□ABEF,□ECDF.理由略.

这节课我们学习了平行四边形的判定定理：1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

2.2.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定定理3八年级湘教版数学下册1．回忆平行四边形的判定定理1,2：

平形四边形的判定一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形

观察右图，从“平行四边形对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗?动脑筋

过点O画两条线段AC,BD，使得OA=OC,OB=OD.连接AB,BC,CD,DA,则四边形ABCD是平行四边形，如图你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？

如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD,又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD.∴AB=CD,∠ABO=∠CDO.从而AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.由此得到平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

例1如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上，且OE=OF.求证：四边形AECF为平行四边形.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC.又∵OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.例题

例2如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明∵∠A=∠C,∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B==180°.∴AD∥BC,同理，AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.从例2可以看出，两组对角分别相等的四边形是平行四边形.例题议一议1.两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.2.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.对于第1题，我能想到这个图形对于第2题，我能想到这个图形练习1.如图，把△ABC的中线AD延长至E,使得DE=AD,连接EB,EC.求证：四边形ABEC是平行四边形.解：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵DE=AD，∴四边形ABEC是平行四边形.

2.如图,□ABCD的对角线相交于点O,直线MN经过点O，分别与AB,CD交于M,N，连接AN,CM.求证：四边形AMCN是平行四边形.练习证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO,∠MBO=∠NDO.∵∠BOM=∠DON,∴△BOM=△DON(ASA).∴MO=NO.∴四边形AMCN是平行四边形.

这节课我们学习了平行四边形的判定定理：1.对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

2.3中心对称和中心对称图形八年级湘教版数学下册如图1，将△OAB绕点O旋转180°，所得到的像是△OCD.从这个例子我们引出下列概念：在平面内，把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转180°下的像P/，这个变换为关于点O中心对称.

图2如图2，在平面内，把点E绕点O旋转180°，得到点F，此时称点E和点F关于点O对称，也称点E和F是一对对应点.由于点E,O,F在一条直线上，且OE=OF，因此点O是线段EF的中点.反之，如果点O是线段EF的中点，那么点E和点F关于点O对称.图1

在平面内如果一个图形G绕点O旋转180°,得到的像与另一个图形G/重合，那么称这两个图形关于点O中心对称，点O叫作对称中心.此时，图形G上每一个点E与它在图形G/上的对应点F关于点O对称，从而点O是线段EF的中点.由此得到下述性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.例如图，已知△ABC和点O，求作一个△A/B/C/,使它与△ABC关于点O成中心对称.作法（1）连接AO并延长AO到A/，使OA/=OA,于是得到点A关于O的对应点A/.（2）用同样的方法作出点B和C关于点O的对应点B/和C/.（3）连接A/B/，B/C/，C/A/.则△A/B/C/即为所求作的三角形，如图.例题

1.判断（对的画“√”，错的画“×”）：（1）线段AB的中点O是点A与点B的对称中心.（

）（2）等边三角形ABC的三条中线的交点是点A与点B的对称中心.（）2.画出△ABC关于点A成中心对称的图形.练习√×EF

3.如图，四边形ABCD与四边形A/B/C/D/关于某点中心对称，找出它们的对称中心.练习A/B/C/D/解：对称中心即为点O，如图所示.O观察如图，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？我发现线段AB绕它的中点O旋转180°后，与它自身重合

像这样，如果一个图形绕一个点O旋转180°，所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，由上可得：对称中心.线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.这个点O叫作它的

如图，□ABCD的两个对角线相交于点O，则OA=OC，OB=OD.把□ABCD绕点O旋转180°，则：（1）点A的像是________;（2）点B的像是________;（3）边AB的像是________;（4）点C的像是________;（5）边BC的像是________;（6）点D的像是________;（7）边CD的像是________;（8）边DA的像是________;CDDCADABBABC做一做从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转

180°，它的像与自身重合，因此平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕对称中心旋转180°，来理解平行四边形吗？动脑筋说一说下图是一行英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？

Z

XCVBNM练习1.试举出生活中一些中心对称图形的例子.2.下列图形中，哪些是中心对称图形？如果是，找出它们的对称中心.解：扑克牌中的方片，麻将中的条子，向日葵等.解：图（1）、（2）是中心对称图形，它们的对称中心为如图所示的O点.OO

这节课我们学习了：1.成中心对称的两个图形具有的性质：2.平行四边形的对称性.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

2.4三角形的中位线八年级湘教版数学下册

如图，D,E,F分别为△ABC三边中点，所以DF,DE,EF分别是三角形的三条中位线.连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．探究如图，EF是△ABC的一条中位线.EF∥BC吗？量一量EF与BC的长各是多少？你能猜测出EF和BC具有怎样的位置关系和数量关系吗？为什么？

我猜测EF∥BC.我量得EF=1cm，BC=2cm，猜测EF=BC.这些猜测正确吗？我们来进行证明.如图，将△AEF绕点F旋转180°，设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E,F,G在一条直线上.由于旋转不改变图形的形状和大小，所以有CG=AE=BE,GF=EF,∠G=∠AEF.则EA∥CG,即BE∥CG.∴四边形BCGE是平行四边形.

∴EGBC.又∵EF=FG,∴EF=EG=BC.从而EFBC.由此得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

例如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？解连接AC.∵EF是△ABC的一条中位线，∴EF∥AC,且EF=AC.又∵HG是△DAC的一条中位线，∴HG∥AC,且HG=AC.∴EF∥HG，且EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.例题练习1.已知△ABC各边的长度分别为3cm，3.4cm，4cm，求连接各点中点所构成的△DEF的周长.解：△DEF的周长5.2cm.练习2.如图，△ABC的边AB，BC,CA上的中点分别是D,E,F.（1）四边形ADEF是平行四边形吗？为什么？（2）四边形ADEF的周长等于AB+AC吗？为什么？解：（1）四边形ADEF是平行四边形，理由：∵D,E,F是△ABC的边AB，BC,CA上的中点，∴DE∥AC，EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形.（2）又∵D,F是△ABC的边AB,CA上的中点，∴AD=BD,AF=FC.∵四边形ADEF是平行四边形.∴EF=AD=BD,DE=AF=FC.∴四边形ADEF的周长为：AD+DE+EF+AF=AD+BD+AF+FC=AB+AC.

这节课我们学习了：中位线定理中位线的概念连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

2.5.1矩形的性质八年级湘教版数学下册

观察：在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？

我发现这些长方形的对边平行且相等.因此，它们是平行四边形我发现这些四边形的四个角都是直角在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三角形的都是直角.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.可以知道：平行四边形有一个角是直角矩形矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.

由于矩形是平行四边形，因此矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

如图，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？如图，四边形ABCD是矩形，于是有AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.由此得到矩形的性质：矩形的对角线相等.动脑筋例如图，矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交与点O，AC=4cm，∠AO