专题01 二次函数综合题角相关（7种类型35道）（压轴题专项训练重庆专用）（解析版）

1/10专题01二次函数综合题角相关（7种类型35道）地地城类型01角相等1．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点．(1)求点及点的坐标．(2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点．若线段上一点，使，求点的坐标．若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标．【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为(2)点的坐标为．点的坐标为【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），当时，，解得或，点的坐标为．，顶点的坐标为；（2）解：抛物线与轴交于点，点坐标为，，，，对称轴为直线，点的坐标为．如图，连接，过点作于，则点坐标为，点的坐标为；，，，，为直角三角形．分别延长、，与轴相交于点，．，，，，又，，，即，，即，设直线的解析式为，则有：，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，则有：，解得，直线的解析式为，联立，解得，点的坐标为；

如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点．∵，，，，，，，，，即，．设，则，，轴，，为等腰直角三角形，，，，为等腰直角三角形，，，，，将点代入抛物线，得到，解得或（舍去），．所以，当时，点的坐标为．2．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标；(3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)点或【详解】（1）解：直线与x轴交于点，∴可有，解得，∴点，∵抛物线经过点，∴将点代入，可得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）如下图，过点作交于点，∵抛物线与轴的交点为，当时，可有，解得，∴点，设点，则点，∴，∵四边形面积，∴当时，四边形面积有最大值，此时点；（3）如下图，当点在上方时，设交轴于点，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∴点，设直线解析式为，将点，点代入，可得，解得，∴直线解析式为，联立方程组可得，解得：或，∴点，当点在下方时，∵，∴，∴点的纵坐标为，∴点的坐标为．综上所述，点坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键．3．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集；(3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点．设抛物线解析式为．整理，得；（2）解：．将化为顶点式，得．点坐标为.点的坐标为，不等式的解集为；（3）解：存在．由抛物线的对称性可知故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为．如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为，可得Q点坐标为.设直线的解析式为．∵点，，直线的解析式为．联立方程组可得解得（舍）．将代入，得．故的坐标为.综合以上可得点M的坐标为或．4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值；②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标．【答案】(1)(2)①；②或【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解；（1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解；②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：将点、代入抛物线，得：，解得：，该抛物线的表达式为：①；（2）解：①令，得，解得：，，点，设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：，解得：，直线的解析式为②，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，，，有最大值，当时，其最大值为，此时；②，顶点，设直线与交于点，当点在直线下方时，，点在的中垂线上，线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为，设中垂线的表达式为：，将点代入上式得，解得：，直线中垂线的表达式为：③，设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：④，联立③④得：，解得：，点，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为：⑤，联立①⑤得，解得：，（舍去），故点；当点在直线上方时，，，则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，即直线的表达式为：⑥，联立①⑥并解得：或（舍去，故点；综上所述，点的坐标为或．5．如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点为F，对称轴交x轴于点．(1)求b的值；(2)连接，P为二次函数图象上的一点，若，求点P的坐标；(3)如图2，连接，过点A作的垂线交二次函数图象于点M，连接，设直线的函数表达式为．①直接写出k的值；②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)①1；②，理由见解析【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，据此根据对称轴计算公式求解即可；（2）求出二次函数解析式为，则可求出，则直线解析式为；再求出；当点P在对称轴右侧时，设交y轴于H，可证明，则可求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；再由对称性求出点P在对称轴左侧时的坐标即可得到答案；（3）①设交y轴于T，由（2）可得，，则，据此可证明，则是等腰直角三角形，可得，再利用待定系数法即可求出答案；设直线分别与x轴交于R、S，证明，得到，设直线解析式为，直线解析式为，，可求出直线解析式为，直线解析式为；联立，可得，同理可得；求出，得到直线解析式为；再求出直线解析式即可得到结论．【详解】（1）解：∵对称轴交x轴于点，∴对称轴为直线，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵二次函数的图象与y轴交于点，∴，∴二次函数解析式为，在中，当时，解得或，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为；在中，当时，，∴；如图所示，当点P在对称轴右侧时，设交y轴于H，∵，，∴，∴，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得或，∴此时点P的坐标为；由对称性可知，当点P在对称轴左侧时，此时点P与点关于对称轴对称，∴此时点P的坐标为，即，综上所述，点P的坐标为或；（3）解：①设交y轴于T，由（2）可得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②，理由如下：如图所示，设直线分别与x轴交于R、S，∵，∴，∴，设直线解析式为，直线解析式为，，∴，，∴，，∴直线解析式为，直线解析式为；联立得，∴，∴，∴；同理可得；由（3）①得直线解析式为，联立，解得或，∴，同理可得直线解析式为；设直线解析式为，∴，解得，∴直线解析式为，∴．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．(1)求抛物线（）的表达式；(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点T的坐标为或【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为；（3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，则，∴，∴，将和代入得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：令，则，解得或，∵，则设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，设（），则，∴，∵，∴当时，最大，此时，∵点是线段上一动点，轴于点，∴当线段长度取得最大值时，∵，，点为线段的中点，∴将线段向左平移个单位得到，则当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度；∴的最小值为；（3）解：由（2）得，∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到，∴，过点作交抛物线于点，∴，同理求得直线的解析式为，∵，∴设直线的解析式为，代入∴解得：∴直线的解析式为联立得，解得，，当时，，∴，联立直线和抛物线解析式可得解得：，当时，，∴∴轴，又∵∴∴作关于直线的对称点，连接交于点∴∵∴∵，，∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得同理直线的解析式为，联立，解得或，当时，，∴，综上，符合条件的点T的坐标为或．地地城类型02角互余7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程．【答案】(1)(2)(3)点K的坐标为或【详解】（1）解：对于，当时，，∴，∴，∵的面积为3，∴，∴，∵，∴，将，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，，，∴设直线的解析式为，代入得，解得，∴直线的解析式为，∵，设直线的解析式为，代入得，解得，∴直线的解析式为，如图，作交轴于，令交于，∴设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，当时，，即，∴，∵，∴，，∵轴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当最大时，取得最大值，设且，则，∴，∵，∴当时，的值最大为，此时的值也最大，当时，，即，∴，∴、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，∴的最小值为的长，∴设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得，即，∴，即的最小值为；（3）解：∵原抛物线为，直线的解析式为，∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线，∴新抛物线解析式为，∵新抛物线经过点C，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴新抛物线解析式为，联立，解得：或（不符合题意，舍去），∴；如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，作于，则为等腰直角三角形，∴，设，则，，∵，∴，∵，∴，解得：，即，设直线的解析式为，将，代入解析式可得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：或（不符合题意，舍去），∴；如图，当点在直线的下方时，延长交于，则，∵，∴，∵，∴，∴，，设，则，解得：或（不符合题意，舍去），∴，同理可得：直线的解析式为，联立，解得或（不符合题意，舍去），此时；综上所述，点K的坐标为或．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．【答案】(1)；(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；(3)存在，坐标为或．【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；（）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案；（）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解除m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得【详解】（1）解：把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：设，轴，H在直线上，，；在中，令得，令得，，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，，，当时，取最大值，最大值为，此时，的周长的最大值为，此时点P的坐标为；（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：当在轴上方时，延长，交于，如图：在中，令得或，，由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，新抛物线函数表达式为，把代入得：，解得舍去或，新抛物线函数表达式为，在中，令得或，，由，可得直线函数表达式为，设，，，，，，，解得，，由，可得直线函数表达式为，联立，解得或，；当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，由，得直线函数表达式为，联立，解得或，；综上所述，的坐标为或．地地城考点02角互余9．已知，抛物线与轴分别交于和两点，与轴交于点，连接．(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点为抛物线第一象限上一点，横坐标为，连接、，求的面积与的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，点与点关于轴对称，点与点关于点对称，过点作轴于点，连接，当时，绕点将顺时针旋转交过点且平行于轴的直线于点，求的长．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解；∵点在抛物线的图象上，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图所示，过点P作轴，交于点G，当时，，∴点，由题知，点，∴，∴；（3）解：∵点D与点A关于y轴对称，且点，∴，∵点E与点关于点对称，∴.∵点，∴点，过点E作于点，，，，，，，，，即，则，设直线解析式为，则，解得，直线解析式为，记直线与轴交于点，与直线交于点，当时，，解得，，当时，，，，过点作交于点，，绕点将顺时针旋转交过点且平行于轴的直线于点，即，，，，又，，，，解得，，，．10．抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；(3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：将、两点代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵、，∴，，即，∴为等腰直角三角形，∴，∵∠，∴，即为等腰直角三角形，，∴，，设直线的解析式为，将、两点分别代入得，，解得，∴直线的解析式为；如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，∴，，，∵，，∴，∴，∴，设与y轴的交点为S，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得：∴点D坐标为∵，∴∴解得：，∵点P在第四象限，∴，将代入抛物线得：，∴此时点P坐标为；（3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H，设，直线的表达式为：，将P，C的坐标代入得，，解得：，∴直线的表达式为：，将代入得，，即，∴∵，∴，∵，∴，∵，由题可知，，∴，将代入得，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：（舍去）．11．如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值．(3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出符合条件的点坐标．【答案】(1)(2)，(3)，【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为直线，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：当时，，∴，当时，，解得：，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴当与抛物线有唯一交点时，面积最大，∵，，直线为，∴，∴，解得：，∴直线为：，∴设直线为，令，整理得：，∴，解得：，∴直线为，∴，解得：，∴，∴，如图，过作于，∵，，∴，，∴，∴，当三点关系，且时，最小，∵，∴，∴的最小值为：．（3）解：∵，又∵直线为，，∴将抛物线沿射线方向平移个单位相当于将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位，∴平移后的抛物线为：，如图，连接，过作于，过作于，∵，，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，由勾股定理可得：，∵，∴，解得：，∴，，∴，设，∴，整理得：，解得：，（经检验不符合题意，舍去），∴，∴，如图，作交轴于，设，过作于，∴，，∴，，∵，，∴，∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴，同理可得：的解析式为：，令，∴，解得：（不符合题意，舍去），，∴，∴，综上：的坐标为：或．12．如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是．(1)如图1，求的值；(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，∴，∴，∵的面积是，∴，即，∴，∴，∴，把代入中得：，∴；（2）解：由（1）得抛物线解析式为，∵点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，∴；∵抛物线对称轴为直线，∴点B的坐标为，∴，∴；（3）解：由（2）可得，解得或（舍去），∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得，∴；如图所示，过点F作交轴于，∴，∵，∴，∴，设，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，设，∴，解得或（舍去），∴；如图所示，过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设，∴，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，在中，；∵轴，∴，∴；，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得或（此时不满足，舍去）；∴，∴，∴，∴，∵，∴；如图所示，取，连接，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴点H即为与y轴的交点，同理可得直线解析式为，∴．地地城类型03角互补13．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．(1)求抛物线解析式；(2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值；(3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，最小值为(3)存在，．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴，则，将代入得：，则，解得：，∴，∴抛物线解析式为：；（2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D，∵，对称轴为直线，∴，当时，，∴，设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∵面积，∴当最大时，面积最大，设，则，∴，当时，最大，面积最大，∴，∵点为抛物线对称轴上一动点，轴，∴将点向右平移个单位长度至点，连接，则，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，∴，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，∵，，∴，∴．综上：，最小值为．（3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点，∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度，∴平移后的解析式为，∵，∴，∴，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，∵，∴，∴，则，∴，则点Q即为所求，设，∴，，∴，整理得：，解得：（舍去），∴，②当点Q在x轴上方时：同理可得：设，∴，，∴，整理得：，解得：（舍去），∴（舍去），综上：存在，．14．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标；(3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的最大值为，(3)存在，点的坐标为或【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线．∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点，∴，对于，当，∴设直线，代入点，则，解得：，∴直线，设，∵轴，∴将代入，则，解得：，∴，∴，∴当，最大为4，此时连接并延长至点，使得，连接，∵，∴，∴，∴，∴点关于直线对称，∴，∴，当点三点共线时，取得最大值，∵，且，∴，∴，同理可求直线，则，解得：，∴；（3）解：存在，理由如下：在中，，原抛物线：，∴设平移后的解析式为：，代入得：解得：或（舍），∴新抛物线解析式为：，即，①当在轴上方抛物线上时，∵与互补，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设直线，代入，则，解得：，∴直线，则，解得：或（舍），∴②当在轴下方抛物线上时，记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则，则直线与抛物线交点即为点，∵∴，同理可求：直线，则与抛物线联立得：，解得：或（舍），∴综上：点的坐标为或．15．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，．(1)求抛物线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值；(3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程．【答案】(1)(2)(3)或．【详解】（1）解：令，则，即，∴，∵，∴，∵，∴，，∵抛物线与轴交于，两点（在左侧），∴，，把，代入得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，∵，，∴设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，∵轴，交于点，交轴于点，∴设，则，∴，∴，∴当时，最大，此时，∵，，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点，∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则∴，∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为，∴的最小值为；（3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，，∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线，∴平移后解析式为，当在直线下方时，如图，取点，则，∴，，∵，∴，∵与互补，∴，∴，∴是直线与新抛物线的交点，∵，，∴设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，联立，解得或（不在下方，舍去），∴；当在直线上方时，如图，取一点，使，，∴，∴，∴是直线与新抛物线的交点，设，∴，，两方程相减整理得，代入得，解得当时，，此时与重合，∴，，∴，∵，，∴设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，联立，得，解得，∵在和之间，∴，此时∴；综上所述，当与互补时，或．16．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点顺时针旋转得到，抛物线经过A、D两点．(1)求点的坐标及该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点，使得与互补？若存在，请求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)D的坐标，(2)存在，，，【详解】（1）∵一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标，点B坐标，∴，∵根据旋转的性质可知：，∴的坐标．将A、D代入，得解得：∴（2）以为直角边作直角三角形，使，则，，，∵，∴当点M在x轴上方时，点M坐标为，如解图1：∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得：，解得，（不合题意舍去）∴点P在第一象限时，坐标为当点M在x轴下方时，点M坐标为，如解图2：∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得：，解得，（不合题意舍去）∴点P在第四象限时，坐标为综上所述，在抛物线上存在点，，使得与互补．17．图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴于交点A，与y轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；(2)点P为第二象限内该抛物线上的一动点（不与点A，C重合），过点P作轴交x轴于点D，过点P作交直线于点E，求的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中取得最大值的条件下，点M为原抛物线的顶点，点N为点P的对应点，在新抛物线上确定一点Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．【答案】(1)(2)的最大值为，；(3)点Q的横坐标为或【详解】（1）解：由题意得，将，代入，则，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：过点轴交于点，

∵，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线解析式为：，则，解得：，∴直线解析式为，对于抛物线，当，，解得：或，∴，设，∴，，∴，∴，∴，∴，即∵，∴当时，取得最大值，即的最大值为，∴此时；（3）解：抛物线配方得：，∴，∴先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后解析式为：，即，∵，∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，∴，∴轴，∴，∵，∴当点在轴上方新抛物线上时，

∴，设直线表达式为，则，解得：，∴直线：，∴设直线，代入，则，解得：，∴直线，与平移后抛物线解析联立得：，整理得：，解得：或（舍）；∴，当点在轴下方新抛物线上时，过点作轴的对称点记为点，则，如图：

此时直线与新抛物线在第四象限的交点即为另一个点，∴，∵，同理可求直线解析式为：，与平移后抛物线解析联立得：，整理得：，解得：或（舍）；综上：符合条件的点Q的横坐标为或．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：把，代入中得：，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：在中，当时，则，∴，设直线的解析式为，∴，∴,∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，∴当,即时，有最大值，此时，∴，∴，，∴，，如图所示，连接，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴当共线时，取最小值，即取最小值，∵点为线段的中点，∴，∴，∴的最小值为；（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，∴，∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，∴新抛物线解析式为，∵新抛物线经过点D，∴，解得或（舍去），∴新抛物线解析式为，联立，解得或，∴；同理可得直线解析式为；过点作交抛物线于点，∴，同理求得直线的解析式为，∵，∴当点Q

在下方时，满足，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得或，∴；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；综上所述，.地地城类型04角的倍数关系19．如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点，连接．(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)如图2，连接和，若点P到x轴的距离为d，的面积为2d，求点P的坐标；(3)如图3，当点P为第四象限抛物线上的一个点，连接和，作于点Q，当中存在某个内角等于度数的2倍时，请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)，；(2)或；(3)或．【详解】（1）解：将A、B代入，得

两式相减：→，代入得∴抛物线解析式为，配方得，∴顶点M（2）解：由（1）得C，设P，则面积由，代入得∵，分两种情况：①：→→舍去），②：→→舍去），∴P或（3）解：在上取一点N，使，因，则（三线合一）．过点A作于点F，过点Q作轴交y轴于点D，作于点E．，∴．∵，∴，．∵点Q在直线：上，∴可设，则．由知，则，又，∴，又，∴，则下面分两种情况讨论：情况一：若，则．∴，则，设，由勾股定理易得，则∴，则点P横坐标，点P纵坐标，∴，代入，得，整理得，解得或（不合题意，舍去），；情况二：若，同理可得．，由勾股定理得，，，，代入，得，整理得，解得或（不合题意，舍去），．综上，或．20．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标．(3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标．【答案】(1)(2)最大值为3，点D的坐标为(3)或【详解】（1）解：抛物线与直线交于点，，解得，抛物线为；（2）解：设直线的解析式为，过点点，，解得，直线的解析式为，，设直线的解析式为，当时，，解得，，，，解得，设，则，过点作交于点，记交于点，由平移的性质可知，，，即，，轴交直线于点，，，即为等腰直角三角形，，，，当时，面积的最大值为，点的坐标为；（3）解：原拋物线向右平移1个单位，平移后的拋物线解析式为，平移后的拋物线解析式为，同理，求得，，，①连接，作的垂直平分线交于点，有，，，设直线的解析式为，过点，，解得，直线的解析式为，设，则，，，解得，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，，整理得，解得，，当时，，点的坐标为，②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点，，，，，，由对称性可知，，设，，，，整理得，解得，，当时，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，，整理得，解得，，当时，，点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值；(3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)，最大值是8(3)或【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可；（2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可；（3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和，∴设抛物线解析式为：．∵，∴，∴∴抛物线解析式为：．（2）解：连接，∵，，设直线为，∴，解得：，∴直线解析式为：．过P作轴交直线于点Q，设，，∴∵，∴当时，有最大值，最大值是8．此时，；（3）解：作的垂直平分线交x轴于F，∴，∴，∴，设，则．在中，，∵，∴，∴，∴，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，∴，∴，当N在x轴上方时，，此时，，，∴同理可得：直线的解析式为：．∴，解得或，∴；当N在x轴下方时，，此时，，，∴同理：直线的解析式为：．此时，∴，解得或，∴，∴或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键．22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．(1)如图1，求点的坐标；(2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式；(3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接，，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）令求解即可；（2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可；（3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：当时，，∴，．∴．（2）∵抛物线与轴交于点．∴令．∴．∴．∵轴，∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即．∵在直线上，∴当时，．∴．∵轴，∴．当时，，∴，，∴．∴．（3）∵在抛物线上，设．∵，∴，，．∴．∴．∴，∴．∴．∴．∴．∴．设，∴．∵，∴．∵，∴，在上取一点，使，连接．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．在中，，在中，．∴．即．∴．∴．∵，∴，∴．∴．∵轴，∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴，．∴在中，．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题．23．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，其中抛物线的顶点坐标，点在轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线上（除第一象限外）的一点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；(3)若抛物线与轴的负半轴的交点为，过点作直线交轴交于点，点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第三象限），当且时，求出点及点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)，【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的结合，利用等腰三角形的性质求点的坐标，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，列一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质．（1）利用待定系数法先确定一次函数的解析式，通过一次函数解析式确定点的坐标，然后将顶点坐标代入到顶点式中求解即可；（2）设点，利用等腰三角形的性质，列出，然后进行求解即可；（3）根据题意画出图形，作于，作于，作于，在上截取，根据函数解析式求出相关点的坐标，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出一元二次方程，最后求解即可．【详解】（1）解：把，代入得，，，，当时，，，，过，，，抛物线的解析式为：，即；（2）解：设点，是以为底边的等腰三角形,∴，化简，得，，，当时，，当时，，`或（3）解：作于，作于，作于，在上截取，，由得，，当二次函数解析式，函数值为0时，，解得，∴，设，，，，∵,∴，，，由，，得，,，，，，，，，，，由得，，，，由勾股定理得，，，解得，（舍去），，，，，，，．24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求当的值最大时点的坐标；(3)如图2，点在抛物线上，连接，点是线段上一点，且满足，将抛物线沿射线方向平移，得到过点的新抛物线，点是新抛物线上一点，且，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．【答案】(1)(2)(3)点M的横坐标或【分析】（1）直接将点A，B的坐标代入关系式得出二元一次方程组求出解即可；（2）设点，再求出直线的关系式，进而表示出点E，即可得，作，交于点F，然后根据，可表示出，接下来得出二次函数讨论极值可得答案；（3）根据平移的特征将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得，然后结合题意画出图形，当在上方时，过点N作轴，交x轴于点，过点N作轴，则，作关于直线的对称点，交于点G，连接交抛物线于，求出直线的关系式再联立解方程；当在下方时，取点，连接，则，右边作，交轴于，交抛物线于，证明，得到，设，即可求出，再求出直线的关系式最后联立抛物线解方程即可．即可求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的关系式为；（2）解：当时，，∴点．设点，直线的关系式为，∵直线经过点，∴，解得，∴直线的关系式为．∵轴，∴点，∴．过点P作，交于点F，则，∵，，∴，．∵，∴，∴，即，∴，∴，当时，有最大值，即点；（3）解：过点Q作于点K，则，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，可得关系式为．如图所示，当在上方时，过点N作轴，交x轴于点，过点N作轴，则，作关于直线的对称点，交于点G，则，连接交抛物线于，把代入得．∵点∴，，∵，，∴，∵，，∴设直线的关系式为，∴，解得，∴直线的关系式为，联立，解得，由在上方，结合图形可得点M的横坐标；当在下方时，取点，连接，则，，，∴，∴，右边作，交轴于，交抛物线于，此时，∵，∴，∴，∴，即，设，则，，，∴中，，∴代入得，解得，∴，∴设直线的关系式为，∴，解得，∴直线的关系式为，联立，解得，由在下方，结合图形可得，此时点M的横坐标．综上所述，有符合条件的点M的横坐标或．地城类型05角的和差关系25．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交地城类型05角的和差关系(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；(3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）解：过点P作轴交于点Q，将代入：，则，∴，设直线的解析式为，∵，则，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴当时，有最小值，此时，，∴；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，则，∴由对称的性质得，∴的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，设，∴的中点坐标为，由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上，则，即，∴，∴，由对称的性质得，即，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴，∴，∴周长的最小值为；（3）解：∵，且，∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∵，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，当点N在右侧时，∵，轴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，由平移的方式得，设，∴，∴，，∴，即，整理得：，解得：或（点重合，舍去），∴，∴；如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接，∴，∴是等腰三角形，∵，∴（三线合一），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，即，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，整理得：，解得：或（点重合，舍去），∴，∴；综上，符合条件的点的坐标为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．26．【问题背景】如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．且在实数范围内与都有意义．(1)【知识技能】请直接写出：的值是___________，点坐标___________，点坐标___________(2)【构建联系】是直线上方的抛物线上一点，过点作轴的垂线交直线于点，求线段的最大值：(3)【深入探究】在抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)1，；(2)(3)存在，或【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，即二次函数的解析式为；当时，求x的值，当时求出y的值，进而确定点B、C的坐标；则求得（2）先运用待定系数法求出直线的解析式，设，从而表示出N的坐标，进而表示出的关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答；（3）①如图1：在上截取，作，连接，先说明与抛物线的交点符合条件，再求出直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，由解得，进而确定点E的坐标；如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，易得直线的解析式为：；进而得到，即，设，则，解得：，即；由待定系数法可得直线BG的解析式为，则解得，进而求得点的坐标．【详解】（1）解：∵在实数范围内与都有意义，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，令，即，解得：或，∴，令，即，即．故答案为：1，．（2）解：设直线的表达式为，代入，，得，解得：直线的解析式为：，设，轴，∴轴，，∵，∴，，，当时，．（3）解：①如图1：在上截取，作，连接，，，，，，，，与抛物线的交点符合条件，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，将点代入可得，解得：，直线的解析式为：，由，解得：（舍去）或，当时，，；②如图2，在①的图形中，作，交抛物线于，交于，，，，即，设，即，解得：．运用待定系数法可得：直线的解析式为，∴，解得：（舍去）或，当时，，．综上所述：或．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质、二次根式有意义的条件、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法、求一次函数的解析式等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值；(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可；（2）求出坐标，则设，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可；（3）先求出新抛物线解析式，再分点E在直线下方和点E在的上方两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上，∴令，解得：，∴，将代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：联立，解得：或，∴，∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上，∴设，∵轴交直线于点，交轴于点，∴，，∴，，∴，∵，且对称轴为直线，∴当时（满足），取得最大值，此时，，即，，∵轴交轴于点，，∴四边形是矩形，∴，如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接，由平移得，，∴，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，最小值为，故的最小值为；（3）解：如图，设直线与y轴交点为点S，抛物线与y轴交点为C，过B作轴于点P，∵，∴，，对于，当时，，则，∴轴，则；对于，当时，，则，∴，∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，∴抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得新抛物线，∴新抛物线的解析式为；若点E在直线下方，设直线交x轴于K，∵，∴，∴，则，设直线的表达式为，将、代入，得，解得，∴直线的表达式为，联立方程组，整理，得，解得，（不合题意，舍去），∴；若点E在的上方时，如图，在上取点K，连接，使得，则，设，则，在中，得，解得，则，，，延长交y轴于T，则，，∴在中，，，∴，设直线与y轴交于点H，过H作于N，∵，∴，∴，则，在中，，∴，解得，∴

，则，∴，设直线的表达式为，将、代入，得，解得，∴直线的表达式为，联立方程组，整理，得，解得，（不合题意，舍去），∴，综上，满足条件的点E坐标为或．【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键．28．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足，连接、．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点E为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值；(3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)4(3)存在，Q的坐标为或【分析】（1）当时，得，，由，得，，进而利用待定系数法即可得解；（2）如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点，先求出直线为：，设，则，得，进而得，当时，的值最大，求出，再利用垂线段最短得取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小，从而即可得解；（3）过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则，由得，由（2）得，进而，此时为所求，由将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线，从而，求出直线为，联立与，即可得解，作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，，先求出，进而得直线为，联立与即可得解．【详解】（1）解：当时，，∴，∴，∵，∴，，∴，，把，代入得解得，∴；（2）解：如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点，由设直线为：，把代入得，解得，直线为：，设，则，∴，∵，，，∴，∴∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，的值最大，∴，∴，∵，，∴由勾股定理得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小，∵，，∴的最小值为；（3）解：过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则，∵，，∴∴，由（2）得，∴，∴此时为所求，∵，，，∴将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线，∵，∴，∵，，，，，∴，设直线为把，，代入，得，解得，，∴直线为，联立与，得，∴，∴（舍去），∴当时，，∴，作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，，设直线为，把，代入得，解得，，∴直线为，∴设，∵，∴，即，解得或（舍去）∴，∴，∵，，∴，设直线为，把，代入得解得，∴直线为，联立与得∴，解得，（舍去）或，当时，，∴，综上可得的坐标为或．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（A在B左侧）．与y轴交于点C．且，，连接，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交直线于点E，当线段的长度最大时，过点A作的垂线交EP的延长线于点F，点G为直线上一动点，连接，H为的中点，连接，求线段的最小值；(3)将原抛物线沿射线方向平移，使得平移后的抛物线经过点，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，M为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，N为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点N的坐标．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）先求出，，结合已知求出，，则得出，，然后根据待定系数法求解即可；（2）根据待定系数法求出直线解析式为，设，根据轴，可求出，则，故当时，取最大值，此时，过E作于M，过F作于N，证明，求出，得出，同理可求直线解析式为，取、的中点K、Q，连接，，则根据三角形中位线定理得出，，则K、H、Q三点共线，故H在的中位线所在的直线上运动，当时，最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，设直线与x轴交于L，与y轴交于G，可求，，根据勾股定理求出，过B作于，根据等面积法求出，即可求解；（3）根据平移的规律求出平移后抛物线的解析式为，则可求出，结合已知可求，则，得出，进而得出，，过M作轴，再y轴上取点，作直线交于R，交抛物线于，根据平行线的性质可得出，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，则，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，即可求出的坐标；作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，则设，则的中点坐标为，根据待定系数法求出直线解析式为，则可得出①，根据，得出②，由①、②可求出，，则，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，即可求出的坐标，即可求解．【详解】（1）解：当时，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，代入，得，解得，∴；（2）解：设直线解析式为，则，解得，∴，设，∵轴，∴点E的纵坐标为，代入，得，解得，∴，∴，∴当时，取最大值，此时，，∴，过E作于M，过F作于N，则，，，∵，∴，∴，∴，即，解得，∴，同理可求直线解析式为，取、的中点K、Q，连接，，则∵H为的中点，∴，，∴K、H、Q三点共线，∴H在的中位线所在的直线上运动，当时，最小，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线与x轴交于L，与y轴交于G，当时，；当时，，解得，∴，，∴，，∴，，过B作于，∵，∴，∴线段的最小值为；（3）解：，将原抛物线沿射线方向平移后经过点，相当于先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴，∵，∴，，过M作轴，再y轴上取点，作直线交于R，交抛物线于，∴，∴，∵，∴，又，∴，∵轴，∴，∴，同理可求直线解析式为，联立方程组，解得，（不符合题意，舍去），∴，作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，则，设，则的中点坐标为，∵，，∴同理可求直线解析式为，把代入，得，化简得，∴∵，∴，∴，整理，得，解得，，当时，；当时，（不符合题意，舍去）；∴，同理可求直线解析式为，联立方程组，解得，（不符合题意，舍去），∴，综上，N的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，线段问题，角度问题，解直角三角形，勾股定理等知识，准确添加辅助线，综合应用相关知识点是解题的关键．30．已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为．(1)求二次函数的解析式；(2)点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；(3)点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标．【答案】(1)(2)的距离为定值(3)或【分析】（1）利用待定系数法和对称轴计算公式计算求解即可；（2）由轴对称的性质可得，则都在以A为圆心，半径为3的圆上；可证明，进而可证明，则，即的距离为定值；（3）取点，连接，可证明，得到，则可证明；当点Q在点B右侧时，可证明；求出直线解析式为，则直线解析式为，联立，解得或，则点的坐标为；取，连接，则，可证明，得到，则可求出的坐标为；【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，∴，∴，∴二次函数解析式为；（2）解：由轴对称的性质可得，∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；∵，∴，又∵，∴，设直线交于J，由轴对称的性质可得轴，∴，∴，∴，如图所示，在优弧上取一点K，连接，∴，∴，∴，∴的距离为定值；（3）解；如图所示，取点，连接，在中，当时，解得或，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；如图所示，当点Q在点B右侧时，∵，∴；设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∴可设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得或，∴点的坐标为；如图所示，取，连接，则，∵，∴，又∵，∴，∴，同理可得直线解析式为，联立，解得或，∴的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或．地城类型06已知角度数的存在性问题31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且地城类型06已知角度数的存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)yx2﹣2x+6(2)S△CPQ的最大值为，点P的坐标为（﹣3，6﹣3）(3)存在，点M的坐标为（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）交y轴于点C，∴点C（0，6），∴OC=6，∵OA=OC=3OB，∴OA=OC=6，OB=2，∴点A（-6，0），点B（2，0），将点A，点B坐标代入解析式，可得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=-x2-2x+6；（2）解：如图，过点P作PH⊥CO于H，∵OA=OC=6，∴∠OCA=45°，∵PH⊥OC，∴∠ACO=∠CPH=45°，∴PH=CH，∵点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，∴CP=2t，OQ=t，∴PH=CH=t，CQ=6-t，∴S△PCQCQ×PH（﹣t2+6t）（t﹣3）2，∴当t=3时，S△CPQ的最大值为，∴PH=CH=3，∴OH=6-3，∴点P的坐标为（-3，6-3）；（3）解：如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，∵∠ACM＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCH＝30°，∴tan∠OCH，∴OH＝2，∴点H（﹣2，0），∴直线CM的解析式为：yx+6，联立方程组可得：，解得：（舍去）或，故点M（﹣4﹣2，﹣4）；当点M'在AC的上方时，设CM'与x轴的交点为G，∵∠ACM'＝15°，∠ACO＝45°，∴∠OCG＝60°，∴tan∠OCG，∴OG＝6，∴点G（﹣6，0），∴直线CM'的解析式为：yx+6，联立方程组可得：，解得：（舍去）或，故点M（﹣4，）；综上所述：点M的坐标为（﹣4﹣2，﹣4）或（﹣4，）．32．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值；(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的最大值为(3)存在，Q点坐标为或【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；（2）连接，设，分别求出，所以，当时，的最大值为；（3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，在中，，所以，求出，所以，连接，在中，，在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设，为圆A的半径，，求出或，即可求Q．【详解】（1）抛物线顶点坐标为，∴可设抛物线解析式为，将代入可得，∴；（2）连接，由题意，，设，∴，，，，∴，∴当时，的最大值为；（3）存在，设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，∵，∴，在中，，∴，∴或（舍）∴，∴，连接，在中，∴，∴，∴在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设为圆A的半径，，∴，∴，∴或，综上所述：Q点坐标为或．33．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【详解】（1）当时，．解方程，得，．∵点A在点B的左侧，且，∴，．当时，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如图1，连接AE．∵，∴，．∴，，．∵点A，点B关于对称轴对称，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．34．已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点．(1)若点C的坐标为．①求二次函数的表达式；②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：．(2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值．【答案】(1)①；②见解析(2)或【详解】（1）解：①把代入解析式，得，解得，故抛物线的解析式为；②解：抛物线的解析式为，当时，，故点的坐标为．当时，，解得，∵点A在点B左侧，∴，，设直线的解析式为．将点和点代入，得解得，直线的解析式为．设点的坐标为，则点．，，∵，∴，∴，∴，∴∴．（2）解：由，∴抛物线顶点为，∴，当时，，∴，∴，又∵，，∴，∵，∴，解得：，∴，则，如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴，，∴，设，则，解得：或，当时，，解得：（舍去）或，当时，，解得：（舍去）或，综上所述，m的值为或．35．如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标．(3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)最大值是3，(3)存在，P为或【详解】（1）解：把代入，得，，二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为，，，二次函数的解析式为；（2）解：如图①，过点作轴于点，交于点，设点的坐标是，则点的纵坐标为，代入直线，得点的横坐标为，点的坐标是，，，，的最大值是3，此时点的坐标为；（3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时，，为等腰直角三角形，，，，在与中，，，，易知，，，，设直线的解析式为，将代入，得，直线的解析式为．联立，得，解得（舍去），，将代入，得，点的坐标为；情况二：如图③，当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为．联立，得，解得（舍去），，将代入，得，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．36．如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，．(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点在抛物线上，连接，若，求点的坐标．【答案】(1)；(2)的最大值为，此时点P的坐标为(3)或【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，∴，∴，∴抛物线解析式为；联立，解得或，∴点D的坐标为；（2）解：如图所示，过点P作轴交于Q，设，则，∴，∵轴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为，∴，即此时点P的坐标为；（3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为；如图所示，过点C作交x轴于F，则，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，联立，解得或，∴此时点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或．地城类型07角平分线相关的存在性问题37．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A地城类型07角平分线相关的存在性问题(1)求的长；(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作交x轴于点M，点N为直线上一动点，过点N作轴交PM于点Q，连接，，，．当的面积取得最大值时，求的最大值；(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线过点C，点D为新抛物线的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若平分，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过程．【答案】(1)4(2)(3)或【详解】（1）解：令，解得，∴点，则；（2）解：过点P作轴交于点K，如图，则，即当取得最大值时，的面积取得最大值，∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，那么，直线的解析式为，设点，则点，，则点时，的面积取得最大值为，∵，∴设直线的解析式为，∵直线过点，∴，解得，则直线的解析式为，∴点，∴，将点P向右平移个单位得到，∵，∴，∴四边形为平行四边形，则，作点A关于直线的对称点，连接交于点O，交轴于点G，则，∵，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，则点，点，设直线的解析式为，，解得，则直线的解析式为，，解得，则点，那么，点，连接交于点，如图，则，当Q点与点重合时，取得最大值，且最大值为线段的长；∵，∴的最大值；（3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则，∴点F的横坐标为，∵平分，∴，∵轴，∴，∴，∴，过点C作于点H，如图，设点，则，在中，，则，解得，那么，或．【点睛】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的性质，本题难度较大．38．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且．(1)直接写出抛物线的解析式为______．(2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标．(3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离．【答案】(1)(2)(3)点P到直线的最大距离【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似三角形的判定与性质等知识点；（1）先求出，再由，得到，，求出抛物线对称轴为，解得，再根据交点式求解析式即可；（2）先求出顶点，过作交于，轴于，过作交直线于，则，，，由可得，再证明得到，代入数值后即可求出，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式解方程即可得到；（3）先求出抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，得到，，，则，过作轴，过作于，过作轴于，则，即可得到，，再分别设直线解析式为，直线解析式为，与抛物线联立后得到，，代入得到，设直线解析式为，与抛物线联立后得到，代入关系式消元后得到，即可得到直线过定点，最后由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，据此求解即可．【详解】（1）解：令，则，∴，∴，∴，，∴抛物线对称轴为，∵对称轴为，∴，解得，∴，，，∴，∴，解得，∴抛物线的解析式为，故答案为：．（2）解：∵，∴顶点，如图，过作交于，轴于，过作交直线于，则，∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线解析式为，把代入得，解得，∴直线解析式为，联立，解得或，∴；（3）解：∵点关于y轴翻折得到点，∴抛