25.3.1 代数数字、图形面积问题 教学课件

新人教版·九年级数学上册25.3.1代数数字、图形面积问题第二十五章一元二次方程25.3实际问题与一元二次方程回顾旧知我们列一元一次方程、二元一次方程（组）或分式方程解决实际问题时，一般步骤是什么？1.审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；2.设：设未知数；3.列：根据等量关系列出方程；4.解：解方程；5.验：检验解在实际问题中是否有意义；6.答：写出实际问题的答案.新课导入有两个连续的正整数，它们的乘积是132。你能快速猜出这两个数分别是什么吗？尝试直接计算，是不是感觉有点无从下手？挑战一：数字之谜挑战二：面积之谜一个正方形的边长增加2cm后，面积增加了24cm²。试着画个图分析一下，边长和面积的变化藏着什么秘密？原来的正方形边长又是多少呢？接下来我们就一起来探究如何用一元二次方程解决以上问题。探究新知活

动1已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数.分析：未知量是：

.两个连续正整数等量关系是：

.较小数×较大数=132设较小的正整数：

.x较大的正整数：

.x+1可列方程：

.x(x+1)=132整理得：

.x²+x－132=0规范解答由题意可得：x(x+1)=132整理得：x²+x－132=0（x－11）

(x+12)=0因式分解求解

解：设较小的正整数为x。（不符合题意，舍去）当x=11时，则x+1=11+1=12答：这两个连续正整数分别是11、12.探究新知是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?活

动2等量关系是：

.勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方未知量是：

.直角三角形的三条边长设较小直角边：

.较大直角边：

.较大直角边：

.xx+1x+2xx+1x+2可列方程：

.x2+(x+1)2=(x+2)2解得：

.整理得：

.x2－2x－3=0x1=3，x2=–1不符合题意，舍去x2=–1符合题意吗？因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.探究新知直角三角形问题技巧总结等量关系：直角三角形问题必须明确斜边是最长边，避免将直角边和斜边混淆根的检验技巧：几何问题中，边长、长度等物理量必须为正数，所有负根一律舍去；若涉及三角形三边关系，还需检验两边之和大于第三边.探究新知设三个连续正整数中间的数为x，能列出怎样的方程？思考：由勾股定理，得：

x2+(x－1)2=(x+1)2.解得

x1=4，x2=0（不符合题意，舍去）∴三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.整理方程得：x2－4x=0解：设其三边长依次为

x－1，x，x+1探究新知解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.连续整数的设元技巧若设较小的数为x，则较大的数为x+1连续奇数（偶数）的设元技巧若设较小的奇数（偶数）为x，则较大的奇数（偶数）

为x+2三个连续整数设元技巧两位数的代数表示若十位数字为a，个位数字为b，则该数为10a+b若设中间的数为x，则可表示x-1，x，x+1牛刀小试1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：设原来的两位数个位数字为

x，则十位数字为5–x.十位数字个位数字这个两位数原两位数5–xx10(5–x)+x新两位数x5–x10x+(5–x)等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736.解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为5–x.依题意，得[10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736.解得

x1=2，x2=3.当

x=2时，5–x=5–2=3；当

x=3时，5–x=5–3=2.答：原来的两位数是23或32.探究新知一个正方形的边长6cm，在四周加上等宽的边框后，面积增加28cm²，求边框的宽度。解：设边框的宽度为xcm，则新正方形边长为(6+2x)cm。等量关系：新图形面积−原图形面积=增加的面积；根据题意得：(6+2x)²－6²=286cm(6+2x)cmxx解得x1=1，x2=－7（不符合题意，舍去）答：边框的宽度是1cm活

动3探究新知活

动4用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?

解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.根据题意得

解得

x1=12，x2=8根据题意得(10+x)(10–x)=40解得

x1=2，x2=–2当

x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当

x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.比较这些设法，说说它们各自的特点.探究新知

由矩形的周长为40m，得

解方程，得

x1=12，x2=8.解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10–x)=40.解方程，得

x1=2，x2=–2.当

x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当

x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.

直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多.

利用“和为定值”设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果.归纳小结1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证.新知应用1.怎样用一根长为

40m的细绳围成一个面积为

75m2的矩形区域？能围成一个面积为

101m2

的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.【课本第21页

第1题】解：设矩形的长为

xm，宽为(20–x)m.当矩形面积为75m2时，

x(20–x)=75，解得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）当x=15时，则20–x=20-15=5∴矩形的长为15m，宽为5m时，面积为75m2.当矩形面积为101m2时，x(20–x)=101整理得x2-20x+101=0Δ=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0，∵此方程无实数根，∴不能围成面积为101m2的矩形区域.新知应用【课本第21页

第2题】2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB

上是否存在点

E，使得∠DEC为直角.ABDC41E

课堂小结实际问题数学问题的解数学问题ax2+bx+c=0(a≠0)实际问题的答案解方程检验设未知数列方程(建模思想)易

错

提

醒（1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求，不舍去不合理根；两位数数值直接用数位数字代替，计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误，混淆单边、双边增减；误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬性条件.（3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足.如图，在宽为

20m、长为

32m的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为

540m2，求道路的宽.解：设道路的宽为

xm.平移转化由题意得(20–x)(32–x)=540，解得

x1=2，x2=50（不符合题意，舍去），答：道路的宽为2m.课堂练习1.两个数的和是

26，积是

168，求这两个数.解：设这两个数分别为

x，(26–x).由题意，得

x(26–x)=168，解得

x1=14，x2=12.当

x=14时，26–x=26–14=12；当

x=12时，26–x=26–12=14.答：这两个数为12，14.【课本第24页

】课堂练习【课本第24页

】2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24.求这两条直角边的长.课堂练习【课本第24页

】8.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，且比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？解：设直角三角形的斜边长为

x，则直角边长分别为(x–1)，(x–8).由题意，得(x–1)2+(x–8)2=x2，解得x1=13，x2=5（不合题意，舍去）.答：这样的直角三角形只有1个，三边长分别为5，12，13.拓展练习1.一个长方形的面积为8m2，长是宽的2倍，设长方形的宽为xm，根据题意，可列方程为_________.2.如图，AB＝8＋2x，BC＝______，S矩形ABCD

＝_______________.2x·x＝86＋2x(8＋2x)(6＋2x)【学案

】拓展练习【学案

】3.如图，从一块长8m、宽6m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度.解：设长方形框的宽度为

xm，依题意，得(8－2x)(6－2x)＝24.解得x1＝1，x2＝6(不合题意，舍去).答：长方形框的宽度为1m.拓展练习【学案

】5.(2025·花都区期中)某学校在一块如图所示的长方形场地ABCD布展，AB＝8米，AD＝12米.现将长方形场地ABCD划分为六个展区，在各展区之间留同样宽的长方形通道，如果六个展区的总面积为70平方米，求通道的宽度.解：设通道的宽度为x米，则AD边上展区的总长为(12－2x)米，AB边上展区的总宽为(8－x)米.依题意，得(12－2x)(8－x)＝70解得x1＝1，x2＝13(不合题意，舍去).答：通道的宽度为1米.拓展练习【学案

】7.(2025·珠海校级期中改编)如图，在长为10cm、宽为5cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个底面积为

24cm2的无盖长方体，求截去的小正方形的边长.解：设截去的小正方形的边长为xcm.依题意，得(10－2x)(5－2x)＝24，答：截去的小正方形的边长为1

cm.解得x1＝1，x2＝

(不合题意，舍去).拓展练习【学案

】1.如图，用长