2026年重庆市北师大版高中数学高二年级上册立体几何习题

2026年重庆市北师大版高中数学高二年级上册立体几何习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1/√3B.√3/2C.√11/√3D.2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/√3=1，故选A。2.已知直线l：x=2+λy，z=3-μy与平面β：x+y+z=1相交，则λ与μ的关系为（）A.λ=μB.λ+μ=1C.λ=2μD.λ=3μ解析：将直线方程代入平面方程得（2+λy）+y+（3-μy）=1，化简为4+（λ+1-μ）y=1，解得λ+1-μ=0，即λ=μ-1，故选C。3.若直线l₁：x-y+1=0与直线l₂：x+y-1=0的夹角为θ，则cosθ的值为（）A.1/√2B.1/√3C.√2/2D.√3/2解析：两直线方向向量分别为（1，-1）和（1，1），夹角余弦为（1×1+（-1）×1）/（√2×√2）=0，故θ=π/2，cosθ=0，但选项无0，重新计算方向向量（1，-1）和（1，1）的夹角为π/2，cosθ=0，选项错误，需修正题目。4.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=2，则三棱锥的体积为（）A.√3/3B.√6/3C.2√3/3D.4√3/3解析：设底面ABC外接圆半径为R，由射影为垂心得PA=PB=PC=2，则底面为等边三角形，边长为2√3，面积S=（√3/4）×（2√3）²=3√3，高为2，体积V=1/3×S×h=1/3×3√3×2=2√3，故选C。5.过点A（1，0，1）作平面α：x+y+z=1的垂线，垂足为B，则向量AB的坐标为（）A.（1/3，-1/3，-1/3）B.（-1/3，1/3，1/3）C.（1/3，1/3，-1/3）D.（-1/3，-1/3，1/3）解析：设垂足B（x₀，y₀，z₀），则AB与平面垂直，方向向量为（1，1，1），且B在平面上满足x₀+y₀+z₀=1，AB=（x₀-1，y₀，z₀-1），由垂直得x₀-1=y₀=z₀-1，联立方程得x₀=y₀=z₀=1/3，故AB=（1/3-1，1/3，1/3-1）=（-2/3，1/3，-2/3），选项无正确答案，需修正题目。6.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面的夹角为（）A.arctan(3/2)B.arctan(2/3)C.π/4D.π/3解析：侧面三角形顶点为P，底面顶点为A，PA=3，底面边长为2，则AO=1，AP=√(AO²+PO²)=√10，侧面与底面夹角θ为∠PAO，tanθ=PO/AO=3/1=3，θ=arctan3，故选A。7.已知直线l：x=1，z=2与平面α：x+y+z=1相交，交点为P，则点P到直线l₁：x+y=1，z=0的距离为（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√5/2解析：直线l与平面α交点P（1，0，2），到直线l₁的距离为P到直线l₁的垂线距离，l₁方向向量为（-1，1，0），垂线方向向量为（1，1，0），垂足为Q，PQ=|（1-0）×1+（0-1）×1|/√2=√2/2，故选A。8.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，且AA₁=2，BC=2，则AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1解析：AC₁与平面ABB₁A₁所成角为∠AC₁B，B在底面，C₁在侧棱，AC₁=√(AA₁²+AC²)=√(4+4)=2√2，BC=2，∠AC₁B为直角，sin∠AC₁B=BC/AC₁=2/(2√2)=√2/2，故选B。9.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁BCC₁所成角的余弦值为（）A.1/3B.2/3C.√2/3D.√3/3解析：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面B₁BCC₁的法向量为（0，1，1），向量AE=（-2，2，1），cosθ=|（-2）×0+2×1+1×1|/（√8×√2）=3/4，故选C。10.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=3，则三棱锥的表面积为（）A.9√3B.18√3C.27√3D.36√3解析：底面ABC为等边三角形，边长为3√3，面积S=（√3/4）×（3√3）²=27√3，侧面为等腰三角形，面积3×（1/2）×3×3=27/2，表面积=27√3+27/2，选项无正确答案，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知直线l：x=1，y=2+λz与平面α：x+y+z=1相交，则λ的值为________。解：将直线方程代入平面方程得1+（2+λz）+z=1，化简得λz+z=0，解得λ=-1。2.过点A（1，2，3）作平面α：2x-y+z=1的垂线，垂足为B，则向量AB的模长为________。解：设垂足B（x₀，y₀，z₀），则AB与平面垂直，方向向量为（2，-1，1），且B在平面上满足2x₀-y₀+z₀=1，AB=（x₀-1，y₀-2，z₀-3），由垂直得2（x₀-1）-（y₀-2）+（z₀-3）=0，联立方程得x₀=1/3，y₀=4/3，z₀=2/3，AB=（1/3-1，4/3-2，2/3-3）=（-2/3，-2/3，-7/3），|AB|=√（（-2/3）²+（-2/3）²+（-7/3）²）=√（4/9+4/9+49/9）=√57/3。3.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，高为2，则侧面与底面的夹角为________。解：侧面三角形顶点为P，底面顶点为A，PA=2，底面边长为3，则AO=3/2，AP=√（AO²+PO²）=√（（3/2）²+2²）=√（9/4+4）=√25/2=5/2，侧面与底面夹角θ为∠PAO，tanθ=PO/AO=2/(3/2)=4/3，θ=arctan（4/3）。4.已知直线l₁：x-y=1，z=0与直线l₂：x+y=1，z=1相交，交点为P，则点P到平面α：x+y+z=1的距离为________。解：直线l₁与l₂交点P（0，-1，0），平面α：x+y+z=1，距离d=|0+（-1）+0-1|/√（1+1+1）=√3/3。5.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=4，则三棱锥的体积为________。解：底面ABC为等边三角形，边长为4√3，面积S=（√3/4）×（4√3）²=48√3，高为4，体积V=1/3×S×h=1/3×48√3×4=64√3。6.过点A（2，0，1）作平面α：x+y+z=2的垂线，垂足为B，则向量AB的坐标为________。解：设垂足B（x₀，y₀，z₀），则AB与平面垂直，方向向量为（1，1，1），且B在平面上满足x₀+y₀+z₀=2，AB=（x₀-2，y₀，z₀-1），由垂直得（x₀-2）+y₀+（z₀-1）=0，联立方程得x₀=1，y₀=1，z₀=0，AB=（1-2，1，0-1）=（-1，1，-1）。7.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁BCC₁所成角的正弦值为________。解：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面B₁BCC₁的法向量为（0，1，1），向量AE=（-2，2，1），sinθ=|（-2）×0+2×1+1×1|/（√8×√2）=3/4，故sinθ=√2/2。8.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱AA₁垂直于底面，且AA₁=3，则AC₁与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为________。解：AC₁=√（AA₁²+AC²）=√（9+8）=√17，BC=2，∠AC₁B为直角，cos∠AC₁B=BC/AC₁=2/√17=2√17/17。9.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱AA₁的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为________。解：设正方体边长为2，E（0，0，2），F（1，0，0），EF=（1，0，-2），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），sinθ=|1×0+0×1+（-2）×0|/（√1×√1）=0，故sinθ=0。10.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=5，则三棱锥的表面积为________。解：底面ABC为等边三角形，边长为5√3，面积S=（√3/4）×（5√3）²=75√3，侧面为等腰三角形，面积3×（1/2）×5×5=75，表面积=75√3+75。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l₁：x+y=1，z=0与直线l₂：x-y=1，z=1平行，则两直线方向向量共线。（正确）解：l₁方向向量为（-1，1，0），l₂方向向量为（1，-1，0），方向向量成比例，故共线。2.若平面α：x+y+z=1与平面β：2x+2y+2z=1平行，则两平面法向量共线。（正确）解：α法向量为（1，1，1），β法向量为（2，2，2），法向量成比例，故共线。3.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，则PA=PB=PC。（正确）解：射影为垂心，则PA=PB=PC，为等腰三角形。4.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面ABB₁A₁垂直。（错误）解：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），向量AE=（-2，2，1），AE与法向量垂直，故AE与平面平行。5.若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，则AC₁与平面ABB₁A₁所成角为60°。（错误）解：AC₁与平面ABB₁A₁所成角为∠AC₁B，B在底面，C₁在侧棱，AC₁=√（AA₁²+AC²），∠AC₁B为直角，sin∠AC₁B=BC/AC₁，cos∠AC₁B=BC/AC₁=√3/2，θ=π/6。6.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱AA₁的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁垂直。（正确）解：设正方体边长为2，E（0，0，2），F（1，0，0），EF=（1，0，-2），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），EF与法向量垂直，故EF与平面垂直。7.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，则三棱锥的体积为底面面积乘以高的1/3。（正确）解：三棱锥体积公式V=1/3×底面面积×高，射影为垂心，则体积为底面面积乘以高的1/3。8.若直线l：x=1，y=2+λz与平面α：x+y+z=1相交，则λ的值唯一确定。（错误）解：直线与平面相交，λ可取任意值，不唯一。9.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁BCC₁所成角为45°。（错误）解：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面B₁BCC₁的法向量为（0，1，1），向量AE=（-2，2，1），cosθ=|（-2）×0+2×1+1×1|/（√8×√2）=3/4，θ=arccos（3/4）。10.若三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=6，则三棱锥的表面积为108√3。（正确）解：底面ABC为等边三角形，边长为6√3，面积S=（√3/4）×（6√3）²=81√3，侧面为等腰三角形，面积3×（1/2）×6×6=54，表面积=81√3+54，选项无正确答案，需修正题目。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述空间直线与平面垂直的判定定理。答：若直线l的方向向量与平面的法向量共线，则直线l与平面垂直。2.简述空间直线与平面平行的判定定理。答：若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则直线l与平面平行。3.简述空间两直线垂直的判定定理。答：若两直线的方向向量数量积为0，则两直线垂直。4.简述空间两直线平行的判定定理。答：若两直线的方向向量成比例，则两直线平行。5.简述空间点到平面的距离公式。答：点P（x₀，y₀，z₀）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。6.简述空间直线到平面的距离公式。答：直线l：x=x₀+λa，y=y₀+λb，z=z₀+λc到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|A（x₀+λa）+B（y₀+λb）+C（z₀+λc）+D|/√(A²+B²+C²)。7.简述空间两平面的垂直判定定理。答：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直。8.简述空间两平面平行的判定定理。答：若两平面的法向量平行，则两平面平行。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。解：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），向量AE=（-2，2，1），sinθ=|（-2）×0+2×1+1×0|/（√5×1）=2/√5=2√5/5。2.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=4，求三棱锥的体积。解：底面ABC为等边三角形，边长为4√3，面积S=（√3/4）×（4√3）²=48√3，高为4，体积V=1/3×S×h=1/3×48√3×4=64√3。3.已知直线l：x=1，y=2+λz与平面α：x+y+z=1相交，求λ的值。解：将直线方程代入平面方程得1+（2+λz）+z=1，化简得λz+z=0，解得λ=-1。4.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点，F为棱AA₁的中点，求直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值。解：设正方体边长为2，E（0，0，2），F（1，0，0），EF=（1，0，-2），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），cosθ=|1×0+0×1+（-2）×0|/（√1×√1）=0，故cosθ=0。5.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，直角边长为3，侧棱AA₁垂直于底面，且AA₁=4，求AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值。解：AC₁=√（AA₁²+AC²）=√（16+9）=√25=5，BC=3，∠AC₁B为直角，sin∠AC₁B=BC/AC₁=3/5。6.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁BCC₁所成角的正弦值。解：设正方体边长为2，E（0，2，1），F（2，2，1），A（2，0，0），平面B₁BCC₁的法向量为（0，1，1），向量AE=（-2，2，1），sinθ=|（-2）×0+2×1+1×1|/（√8×√2）=3/4，故sinθ=√2/2。7.已知直线l₁：x-y=1，z=0与直线l₂：x+y=1，z=1相交，求交点P到平面α：x+y+z=1的距离。解：直线l₁与l₂交点P（0，-1，0），平面α：x+y+z=1，距离d=|0+（-1）+0-1|/√（1+1+1）=√3/3。8.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=5，求三棱锥的表面积。解：底面ABC为等边三角形，边长为5√3，面积S=（√3/4）×（5√3）²=75√3，侧面为等腰三角形，面积3×（1/2）×5×5=75，表面积=75√3+75。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.C5.A6.A7.A8.B9.C10.D二、填空题1.-12.√57/33.arctan（4/3）4.√3/35.64√36.（-1，1，-1）7.√2/28.2√17/179.010.75√3+75三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.×10.√四、简答题1.若直线l的方向向量与平面的法向量共线，则直线l与平面垂直。2.若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则直线l与平面平行。3.若两直线的方向向量数量积为0，则两直线垂直。4.若两直线的方向向量成比例，则两直线平行。5.点P（x₀，y₀，z₀）到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。6.直线l：x=x₀+λa，y=y₀+λb，z=z₀+λc到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|A（x₀+λa）+B（y₀+λb）+C（z₀+λc）+D|/√(A²+B²+C²)。7.若两平面的法向量垂直，则两平面垂直。8.若两平面的法向量平行，则两平面平行。五、应用题1.sinθ=2√5/52.V=64√33.λ=-14.cosθ=05.sin∠AC₁B=3/56.sinθ=√2/27.d=√3/38.表面积=75√3+75【解析】一、单项选择题1.点A到平面距离公式验证，选项A正确。2.直线与平面相交，λ=-1，选项C正确。3.正四棱锥侧面与底面夹