高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数教学设计 文 新人教A版选修1-1

高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数教学设计文新人教A版选修1-1教材分析本章节内容为“高中数学”教材第三章“导数及其应用”中的3.3.2部分，即“函数的极值与导数”。本节内容主要讲解了导数在研究函数极值中的应用，通过具体例子分析函数的极值点与导数的关系，旨在帮助学生理解并掌握利用导数求函数极值的方法，提高学生的数学思维能力和应用能力。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达函数性质的能力，提高数学表达的准确性和逻辑性。

2.培养学生分析问题、解决问题的能力，通过导数概念理解函数极值，发展数学思维能力。

3.强化学生运用导数解决实际问题的意识，提高数学在现实生活中的应用能力。重点难点及解决办法重点：

1.理解导数与函数极值的关系，掌握利用导数求极值的方法。

2.能够分析函数的单调性，并运用单调性判断极值点。

难点：

1.理解并正确判断函数的极值点。

2.复杂函数的极值求解，包括隐函数和分段函数。

解决办法：

1.通过实例演示，帮助学生直观理解导数与极值的关系。

2.设计问题串，引导学生逐步深入，逐步突破对极值点的判断难题。

3.对于复杂函数，提供多种求解方法，如导数的零点判定、二阶导数检验等，并结合实际案例，提升学生解决实际问题的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的《高中数学》教材，特别是第三章“导数及其应用”的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的函数图像、极值点示意图、导数计算过程的多媒体课件。

3.教学工具：准备计算器或数学软件，以便学生演示和练习导数计算。

4.教室布置：设置分组讨论区域，以便学生进行小组合作学习，并确保教学演示区域清晰可见。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习导数的定义和性质，并尝试分析简单函数的极值。

设计预习问题：围绕“函数的极值与导数”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何判断一个函数的极大值和极小值？”“导数在寻找极值点中起什么作用？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解导数的基本概念和性质。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解“函数的极值与导数”课题，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实例讲解，如分析二次函数的图像，引出“函数的极值与导数”课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解导数如何用于寻找函数的极值，包括一阶导数和二阶导数的应用。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析给定函数的极值情况。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过实际操作理解导数在极值中的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解导数在极值中的应用。

实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握极值点的判断方法。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解导数在极值中的应用，掌握极值点的判断方法。

通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些涉及导数和极值的应用题，如分析实际问题中的极值问题。

提供拓展资源：提供相关书籍、网站或视频，供学生进一步学习导数的应用。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的“函数的极值与导数”知识点和技能。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教师随笔Xx拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

（1）阅读材料一：《高等数学》中关于导数应用的章节，特别是关于多元函数极值的讨论。通过阅读，学生可以了解更高级的导数应用，如梯度、方向导数和多元函数的极值条件。

（2）阅读材料二：《数学分析》中关于微积分基本定理的证明，这部分内容可以帮助学生理解导数与积分之间的内在联系。

（3）阅读材料三：《数学建模》中关于使用导数解决实际问题的案例，如优化问题、经济学中的边际分析等。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

（1）探究函数的拐点与导数的关系，尝试证明拐点的存在条件。

（2）研究导数在经济学中的应用，如成本函数、收益函数和利润函数的导数分析。

（3）尝试用导数解决实际问题，如物理学中的速度和加速度问题，工程学中的优化设计问题等。

（4）分析分段函数的极值问题，探讨如何利用导数判断分段点处的极值。

（5）研究隐函数的导数计算，以及如何利用隐函数求极值。

（6）对比一元函数和多元函数的极值问题，探讨它们在求解过程中的异同。

（7）学习利用导数解决最优化问题，如线性规划、非线性规划等。

（8）探究导数在计算机图形学中的应用，如曲线拟合、图像处理等。

（1）通过阅读拓展材料，学生可以了解到导数在各个领域的广泛应用，激发他们的学习兴趣。

（2）鼓励学生进行自主学习和探究，可以帮助他们更好地掌握知识，提高自主学习能力。

（3）在解决实际问题的过程中，学生可以体会到数学的实用性和价值，增强学习动力。

（4）通过小组讨论和合作学习，学生可以互相学习、共同进步，提高团队合作能力。

（5）在反思总结过程中，学生可以发现自己的不足，及时调整学习方法，提高学习效果。教师随笔Xx板书设计①导数与函数极值的关系

-极值点的定义：函数在某点处取得局部最大值或最小值。

-极值点的必要条件：函数在该点的导数为零。

-极值点的充分条件：通过一阶导数的符号变化判断极值点。

②极值点的判断方法

-一阶导数法：计算函数的一阶导数，找出导数为零的点，分析导数符号变化确定极值点。

-二阶导数法：计算函数的二阶导数，通过二阶导数的符号判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。

③函数极值的性质

-极大值：函数在某点处取得局部最大值，该点的一阶导数为零，二阶导数小于零。

-极小值：函数在某点处取得局部最小值，该点的一阶导数为零，二阶导数大于零。

-鞍点：函数在某点处的一阶导数为零，但不是极大值或极小值，二阶导数等于零。

④函数极值的应用

-优化问题：利用极值点寻找函数的最大值或最小值，解决实际问题。

-经济学分析：分析成本函数、收益函数和利润函数的极值，进行经济决策。

-物理学应用：利用极值点分析物体的运动轨迹、速度和加速度等。教学反思与总结这节课下来，我觉得整体上还是比较顺利的。首先，我觉得我在教学方法上做得还不错，通过实例和图表，帮助学生更好地理解了导数与函数极值的关系。我发现，当我在讲解一阶导数和二阶导数时，学生们的注意力都比较集中，这说明我的教学方式能够激发他们的学习兴趣。

在策略上，我尝试了小组讨论的方式，让学生们自己分析函数的极值点，这个环节我觉得挺有效的。学生们在讨论中不仅巩固了知识，还学会了如何合作和表达自己的观点。不过，我也发现，有些学生可能在独立分析问题时还是有些吃力，这可能需要我在今后的教学中给予更多的个别指导。

管理方面，我注意到课堂纪律整体保持得不错，学生们在讨论时也比较遵守规则。但我也发现，在课堂的最后，有几个学生开始分心，这可能是因为他们对本节课的内容不够感兴趣。所以，我可能在今后的教学中，要更加注重课堂的趣味性和互动性，以保持学生的注意力。

当然，也存在一些不足。比如，对于一些较复杂的函数，学生的分析能力还有待提高，我在今后的教学中可能会增加一些难度适中的练习题，帮助他们逐步提升。另外，我也注意到，有些学生对于导数的概念理解还不够透彻，我会在课后通过个别辅导或小组辅导来加强这部分的教学。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第三章“导数及其应用”中的练习题，特别是关于函数极值的部分，如题目3.3.2-3、3.3.2-4等。

2.分析并解决以下实际问题：某产品的成本函数为C(x)=100+2x+0.5x^2，其中x为生产数量，求该产品的平均成本函数，并找出最小平均成本所对应的生产数量。

3.设计一个函数，使得其在某区间内有两个极值点，并利用导数分析这两个极值点的性质。

作业反馈：

1.对学生的作业进行批改，重点关注学生是否能够正确应用导数来分析函数的极值。

2.检查学生是否能够区分极大值和极小值，以及如何通过导数的符号变化来判断极值点的性质。

3.对于学生在解决实际问题时的表现，评估其是否能够将所学知识应用于实际问题中。

4.提供具体的反馈，指出学生在作