《自动控制原理》第5章 线性控制系统的频域分析

自动控制原理PrincipleofAutomaticControl2引言：为什么需要频域分析法？对比维度时域分析法频域分析法直观性最直观，可直接看到输出量随时间的变化图解法，频率特性的物理意义明确求解方式通过求解微分方程获得时域指标，过程较烦琐由频率特性图形开展分析，可据此预测系统时间性能指标适用系统主要适用于低阶系统；高阶系统常只能用闭环主导极点和偶极子近似处理一阶、二阶系统有确定对应关系；高阶系统可建立近似对应关系指标关系时域指标依赖方程求解结果，高阶时不易直接获得频域性能指标与时域性能指标之间存在确定或近似对应关系工程兼顾对暂态响应与噪声抑制等要求的兼顾表达不够直接可兼顾暂态响应和噪声抑制要求；一定条件下可推广到某些非线性系统结论：频域分析法用图形化频率特性连接“系统结构—频率响应—时域性能”，更适合高阶系统分析与工程设计。第五章线性控制系统的频域分析第五章线性控制系统的频域分析3本章内容5.1频率特性5.2典型环节的频率特性5.3系统开环频率特性的绘制5.4

奈奎斯特稳定判据及其扩展5.5控制系统的稳定裕度5.6闭环控制系统的频域性能分析5.7

MATLAB在线性控制系统频域分析中的应用5.1频率特性45.1.1频率特性的基本概念1、定义：频率响应：线性定常系统对正弦输入信号激励下的稳态响应称为频率响应；频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性。2、RC网络的频率特性分析如图5.1.1所示RC网络，系统的闭环传递函数为：式中

T=RC为时间常数。图5.1.1RC滤波网络5.1频率特性5若输入信号为正弦函数，则输出信号拉氏变换为：输出信号为：稳态分量为：稳态输出信号也是正弦函数，频率与输入相同，仅幅值和相位不同，如图5.1.2所示。图5.1.2RC网络的输入和稳态输出信号5.1频率特性6把输出的稳态响应和正弦输入信号用复数表示，并求它们的复数之比：式中：幅值之比随频率的变化规律称为幅频特性；相位之差随频率的变化规律称为相频特性。

是该RC网络的频率响应与正弦输入信号的复数之比，称为频率特性。结论：频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，它与微分方程、传递函数一样，表征了系统的运动规律，是线性定常系统的又一种数学模型。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。频率特性与传递函数的关系:5.1频率特性73、线性定常系统的频率特性推广到线性定常系统，考虑传递函数：在零初始条件下输入正弦信号，其稳态输出为：稳态输出是与输入同频率的正弦信号，但幅值和相位一般是频率ω的函数：其指数表达形式为：图5.1.3线性定常系统稳态时的输入和输出正弦信号线性定常系统的幅频特性和相频特性一起称为系统的频率特性。定义既适用于稳定系统，也适用于不稳定系统。5.1频率特性84、物理意义频率特性等于输出和输入的傅氏变换之比，表征了系统或元件对不同频率正弦输入时系统输出幅值和相位的变化特征。或不同系统对相同正弦输入幅值和相角随频率变化的特征。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定。注意：对于不稳定系统，输出响应稳态分量呈发散或振荡发散形式，其频率特性不能通过实验方法确定。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)0

1(

)

2(

)

(ω)大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。5.1频率特性9图5.1.4RC网络的幅频特性和相频特性曲线a)幅频特性b)相频特性幅值随着频率增加而衰减，相角随随着频率增加而滞后越大。频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与外界因素无关!!对于低频信号对于高频信号5.1频率特性105.1.2频率特性的图示方法常用的频率特性图有：幅频特性和相频特性曲线幅相频率特性极坐标图或乃奎斯特图(Nyquist)对数频率特性伯德图(Bode)5.1频率特性111.幅频特性和相频特性曲线在直角坐标系中分别绘制，横坐标为频率ω，纵坐标为幅频特性或相频特性。例如对RC网络：则其幅频特性和相频特性分别为：图5.1.5幅频特性和相频特性曲线5.1频率特性122.幅相频率特性曲线（

幅相曲线、奈奎斯特（Nyquist）图或极坐标图）以横轴为实轴、纵轴为虚轴构成复数平面，把频率特性表示为复数，当ω由0→∞变化时向量端点走过的轨迹。对RC网络（T=1）：故有：表明该幅相曲线是以(1/2,j0)为圆心、半径为1/2的半圆，如图5.1.6所示。图5.1.6RC网络的幅相曲线5.1频率特性13也可用幅值和相角表示，即：图5.1.6RC网络的幅相曲线-90°0∞………-63.5°0.452-45°0.7071-26.6°0.890.50105.1频率特性143.对数频率特性曲线(Bode图)由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，横坐标按lgω对数分度，是工程中广泛使用的一组曲线。（1）半对数坐标：横坐标为lg(

)分度，不均匀直接标注

，单位为rad/s；幅频特性的纵坐标对数幅值，均匀刻度，单位是分贝(dB）；相频特性的纵坐标为相角值，均匀刻度，单位是度(°）。图5.1.8RC网络的对数频率特性曲线（T=0.5)5.1频率特性15对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性；对数幅频特性将幅值的乘除运算转化为加减运算，简化了曲线绘制。图5.1.7a)对数分度图5.1.7b)线性分度（2）线性分度与对数分度（3）十倍程：

变化10倍称一个十倍频程（记为dec）。5.1频率特性16（4）对数曲线的斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb对边邻边斜率==La-Lblgωa-lgωb5.1频率特性17（5）半对数坐标纸模板5.1频率特性18（6）关于Bode图的几点说明横坐标标注ω的数值，而不是对数值。用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增益。用

(ω)简记对数相频特性。ω=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；5.2典型环节的频率特性20把系统拆分成若干个典型环节是自动控制理论的重要分析方法，如果已知系统各个组成环节及其频率特性，则可以推知系统的频率特性。常见的典型环节包括：①比例环节②积分环节③纯微分环节④惯性环节⑤一阶微分环节⑥振荡环节⑦二阶微分环节⑧滞后环节205.2.1比例环节1、比例环节的幅相频率特性图5.2.1比例环节的幅相频率特性图传递函数：特点：输出能够无滞后、无失真地复现输入信号。频率特性：

幅频特性：

相频特性：

都是与频率无关的常量。5.2典型环节的频率特性21对数幅频特性和相频特性分别为：图5.2.2比例环节的对数频率特性图5.2典型环节的频率特性2、比例环节的对数频率特性K>1时，分贝数为正；K<1时，分贝数为负。改变K

幅频曲线升高或降低相频曲线不变225.2.2积分环节图5.2.3积分环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性传递函数：频率特性：

1、积分环节的幅相频率特性幅频特性：

相频特性：

23对数幅频特性和相频特性分别为：图5.2.4积分环节的对数频率特性图5.2典型环节的频率特性2、积分环节的对数频率特性245.2.3纯微分环节图5.2.5微分环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性1、纯微分环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

25图5.2.6微分环节的对数频率特性图5.2典型环节的频率特性2、纯微分环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：265.2.4惯性环节图5.2.7惯性环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性1、惯性环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

幅频特性随ω增加而减少，具有低通滤波特性；相频特性随ω增加呈相位滞后特性。27（1）低频渐近线：ω≪1/T时，（2）高频渐近线：ω≫1/T时，

，

为斜率-20dB/dec的直线；（3）转折频率：ω=1/T，，

是两条渐近线的交点频率。图5.2.8惯性环节的对数频率特性图5.2典型环节的频率特性2、惯性环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：283、渐近线误差修正对数幅频特性可用渐近线表示，在转折频率附近会出现误差：在转折频率处误差最大，实际曲线低于渐近线3dB；在低于或高于转折频率一倍频程处，实际曲线低于渐近线约1dB。ωT0.10.250.40.51.02.02.54.0误差ΔL/dB-0.04-0.26-0.65-1.0-3.01-1.0-0.65-0.26表5.2.1惯性环节的对数幅频特性误差修正表图5.2.9惯性环节的对数幅频特性误差修正曲线5.2典型环节的频率特性295.2.5一阶微分环节图5.2.10一阶微分环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性1、一阶微分环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

30一阶微分环节具有高频放大能力，但抑制噪声能力下降；它与惯性环节频率特性互为倒数：对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于0°线对称。图5.2.11一阶微分环节对数频率特性图5.2典型环节的频率特性2、一阶微分环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：315.2.6振荡环节5.2典型环节的频率特性1、振荡环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

325.2典型环节的频率特性图5.2.12振荡环节的幅相频率特性图33图5.2.13振荡环节伯德图2、振荡环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：5.2典型环节的频率特性（1）低频渐近线：ω≪1/T时，（2）高频渐近线：ω≫1/T时，

，

为斜率-40dB/dec的直线；（3）转折频率：ω=1/T=ωn，

渐近线与阻尼比无关。

34误差随阻尼比ζ的减小而增大；当ζ较小时对数幅频特性出现谐振峰值，须按误差修正曲线修正。图5.2.14振荡环节的误差修正曲线3、振荡环节的渐近线误差5.2典型环节的频率特性355.2.7二阶微分环节图5.2.15二阶微分环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性1、二阶微分环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

36二阶微分环节与振荡环节频率特性互为倒数：对数幅频特性曲线关于0dB线对称；相频特性曲线关于0°线对称。图5.2.16二阶微分环节伯德图（）5.2典型环节的频率特性2、二阶微分环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：375.2.8滞后环节图5.2.17滞后环节的幅相频率特性图5.2典型环节的频率特性1、滞后环节的幅相频率特性传递函数：频率特性：

幅频特性：

相频特性：

38当ω由0→∞时，滞后相角趋于无穷大，不利于系统的稳定性。当τ较小时，滞后环节与惯性环节的幅相频率曲线比较接近。图5.2.18滞后环节伯德图5.2典型环节的频率特性2、滞后环节的对数频率特性对数幅频特性和相频特性分别为：5.3系统开环频率特性的绘制405.3.1Nyquist图的绘制方法控制系统一般由n个典型环节串联而成，开环传递函数可写为：则系统开环频率特性为：开环幅频特性和相频特性分别为：幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。5.3系统开环频率特性的绘制41绘制的一般步骤：（1）写出幅频特性A(ω)和相频特性φ(ω)的表达式；（2）绘制起点（ω=0），A(0)、

(0)；（3）绘制终点（ω→∞），A(∞)、

(∞)；（4）补充必要的特征点（如与坐标轴的交点）；（5）

根据A(ω)、

(ω)的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。1、系统开环Nyquist图的绘制5.3系统开环频率特性的绘制42【例5.3.1】已知系统的开环传递函数为：试绘制系统的开环Nyquist图。系统的开环频率特性为：幅频特性和相频特性分别为：【解】5.3系统开环频率特性的绘制43图5.3.1例5.3.1中的Nyquist图44【例5.3.2】开环系统的频率特性为

试绘制系统的开环Nyquist图。系统的开环幅频和相频特性分别为：图5.3.2例5.3.2中的Nyquist图5.3系统开环频率特性的绘制【解】45开环频率特性一般可表示为：（1）起始段（低频段，ω→0）低频段取决于积分环节个数

v

和开环增益K：0型系统起始于(K,j0)；Ⅰ型系统起始于相角-90°的无穷远处；Ⅱ型系统起始于相角-180°的无穷远处；r型系统起始于相角-v90°的无穷远处。图5.3.3幅相特性图的起始段2、系统开环Nyquist图的一般形状5.3系统开环频率特性的绘制式中，46（2）终止段（高频段，ω→0）当n>m时，Nyquist曲线终点为坐标原点，幅值为0，相角为-(n-m)×90°。图5.3.4幅相特性图的终止段5.3系统开环频率特性的绘制（3）幅相特性图的凹凸状态若传递函数的分子中无时间常数，则当ω从0增大到∞的过程中，Nyquist曲线的幅值和相角均连续减小，曲线平滑且不存在凹凸状态；若分子中含有时间常数（零点），曲线将出现凹凸。例如0型系统：由于分子中一阶微分环节的作用，曲线出现凹凸状态。图5.3.50型系统开环幅相特性曲线存在凹凸状态475.3.2Bode图的绘制将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：5.3系统开环频率特性的绘制幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。481、开环对数幅频特性的规律（1）最低频段的斜率取决于积分环节数目v，斜率为-20vdB/dec；（2）最低频段（或其延长线）的对数幅频特性可近似为：，当

时，。（3）渐近线每经过一个转折频率，斜率按下表改变一次。表5.3.1转折频率处斜率的变化表5.3系统开环频率特性的绘制典型环节传递函数转折频率斜率变化量

一阶环节-20dB/dec+20dB/dec

二阶环节-40dB/dec+40dB/dec492、

系统开环Bode图的绘制步骤和方法（1）将开环传递函数化为典型环节串联的“尾1”形式；（2）确定各环节转折频率并由小到大标注在对数频率轴上；（3）过点

(1,20lgK)作斜率为-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左，得到最低频段的渐近线；（4）从最低频段向右，每遇到一个转折频率按表5.3.1改变一次斜率；（5）必要时按误差修正曲线修正；（6）相频特性由各环节相频特性相加获得。5.3系统开环频率特性的绘制50【例5.3.3】已知开环传递函数，绘制开环Bode图。5.3系统开环频率特性的绘制【解】首先将开环传递函数写为“尾1”的形式，有：把开环传递函数分拆成型环节，并求出各典型环节对应的转转频率。515.3系统开环频率特性的绘制把各典型环节对应的转转频率按从小到大的顺序排列，并在坐标轴上标出相应位置。对应惯性环节对应振荡环节对应一阶微分环节确定低频段确定一个点确定低频段的斜率向右延伸，每碰到一个转折频率改变一次折线斜率。52图5.3.6例5.3.3中的对数幅频特性图5.3系统开环频率特性的绘制-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec535.3.3由频率特性确定传递函数许多系统的物理模型难以准确获得，可用频率特性测试仪通过实验方法获得频率特性，对最小相位系统，可以确定系统的传递函数。基本步骤如下：（1）

从低频段开始，用斜率为0、±20、±40dB/dec等的渐近线逼近实验曲线，获得对数幅频特性渐近线；（2）

由低频段斜率确定串联积分环节个数；（3）根据以上的幅值确定开环增益K（常见情况见图5.3.8）；（4）根据渐近线在转折频率处的斜率变化，确定各串联环节及时间常数；（5）根据相频特性检验是否存在滞后环节；（6）

计算其它参数。图5.3.8几种常见的系统开环对数幅频特性5.3系统开环频率特性的绘制545.3系统开环频率特性的绘制图5.3.8几种常见的系统开环对数幅频特性a）、b）、c）

d）e）f）g)h)55【例5.3.4】假设通过实验测定的系统伯德图如图5.3.8所示，试确定系统的开环传递函数。图5.3.8例5.3.4中被测系统的伯德图5.3系统开环频率特性的绘制565.3系统开环频率特性的绘制【解】先用渐近线对原始频率特性曲线进行处理第一段：斜率-20dB/dec第二段：斜率-40dB/dec转折频率ω1=1S-1第四段：斜率-60dB/dec转折频率ω3=8S-1第三段：斜率-20dB/dec

转折频率ω2=2S-15.4奈奎斯特稳定判据及其扩展585.4.1幅角原理奈奎斯特稳定判据利用系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性，还可确定系统的相对稳定程度。1、辅助函数闭环系统如图5.4.1所示，其开环传递函数为：（5-4-1）以系统特征多项式构造辅助函数：图5.4.1闭环系统结构框图闭环传递函数为：5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展59F(s)的零点是闭环传递函数的极点，F(s)的极点是开环传递函数的极点。系统稳定的充要条件：系统特征方程的根都在S平面的左半平面，右面无极点。F（s）的零点都在S平面的左半平面，右面无零点。602、幅角原理（映射定理）辅助函数

是复变量

s

的单值有理复变函数。对于s平面下除了有限的奇点之外的任意一点，为解析函数，即为单值、连续的函数。如图5.4.2所示。图5.4.2

s平面与F平面的映射关系5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展曲线的形状：由的特性决定，无需特别关心曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟曲线包围原点的情况：包围的次数和方向，关心！！！61复变函数的相角为：图5.4.3封闭曲线包围一个零点时的映射情况图5.4.4封闭曲线包围一个极点时的映射情况5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展s平面上的封闭曲线包围了的一个零点，当s点沿着该曲线顺时针旋转一周时，变化弧度，则变化弧度，表明在平面上有一条闭合曲线绕原点顺时针旋转一周，如图5.4.3所示。s平面上的封闭曲线包围了的一个极点，当s点沿着该曲线顺时针旋转一周时，变化弧度，则变化弧度，表明在平面上有一条闭合路径绕原点逆时针旋转一周，如图5.4.4所示。62幅角定理设s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点和Z个零点，且曲线不经过F(s)的任何零、极点，则当s沿封闭曲线顺时针运动一周时，F平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕坐标原点Z-P周。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展635.4.2Nyquist稳定判据图5.4.5奈奎斯特回线图5.4.6平面与平面的关系映射曲线围绕原点的情况相当于的封闭曲线围绕（-1，j0）的运动情况。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展64Nyquist稳定判据如果在s平面上，s沿乃奎斯特回线顺时针移动一周时，在F（s）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时旋转N=P周，则系统是稳定的。根据幅角定理，s沿奈氏回线顺时针移动一周时，在平面上的映射曲线将按顺时针围绕坐标原点。若系统是稳定的，则有：Z=0，也就是：N=-P5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展65应用奈奎斯特判定系统稳定性的基本步骤和方法（1）令s=jω带入，得到开环频率特性。（2）画出对应的映射曲线（3）画出对应的映射曲线（4）画出对应于大半圆对应的部分

实际物理系统：n>=mn>m时，趋于零

n=m时，为常数（5）应用乃奎斯特判据判定系统稳定性控制系统稳定的充要条件是：当s沿奈奎斯特回线顺时针移动一周时，在平面上的映射曲线按逆时针方向包围(-1，j0)点P周,也即N=P（P为位于s平面右半平面的开环极点个数），则系统是稳定的。平面上的映射曲线由上述（2）、（3）、（4）三部分组成封闭曲线，如果这条封闭曲线按逆时钟包围(-1，j0)点N周，在右半平面有P个极点，则可推知F(s)在右半平面的零点数，也即闭环传递函数右半平面的极点数为：Z=P-N。若N=P，则Z=0，系统是稳定的。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展66【例5.4.1】绘制开环传递函数的系统的奈奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。系统的开环频率特性为：曲线不包围(-1,j0)点，且开环无右半平面极点（P=0），故闭环系统稳定。图5.4.7例5.4.1中系统的奈奎斯特图【解】5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展675.4.3Nyquist稳定性判据扩展图5.4.8修正的奈奎斯特回线1.开环传递函数包含积分环节时的Nyquist稳定判据映射定理要求奈奎斯特回线不能经过F（s）的奇点。不可直接应用映射定理！！！用半径ε→0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。在复平面的虚轴上，当ω很小时，半圆弧的数学方程式εej

，ε0，

从-/2变到/2。

当s沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时针方向从：经过0变化到。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展68【例5.4.2】绘制开环传递函数为的系统的奈奎斯特图，并判定系统的稳定性。a)b)图5.4.9

例5.4.2中系统的奈奎斯特图【解】系统开环传递函数在s平面的右半部没有极点，开环频率特性又不包围(-1,j0)点，故闭环系统稳定。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展692、对数意义上的Nyquist稳定判据图5.4.10奈奎斯特图和伯德图的对应关系原点为圆心的单位圆

0分贝线单位圆以外

L(ω)>0的部分单位圆内部

L(ω)<0的部分负实轴

－180°线相连(v

为开环积分环节的数目)起始点

(0+)

Nyquist曲线的辅助线

(0+)~v90°连线5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展70(-1,j0)点以左实轴的穿越点

L(ω)>0范围内的与－180°线的穿越点。正穿越

对应于对数相频特曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线(相角滞后减小)。负穿越

对应于对数相频特性曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线(相角滞后增大)。

穿过负实轴段对数幅值

范围内相频

曲线穿越

线正穿越（↓）自上而下（↑）自下而上负穿越（↑）自下而上（↓）自上而下对数频率特性稳定判据若系统开环传递函数有P个位于右半平面的开环极点，则当在L(ω)>0的所有频率范围内，对数相频特性曲线

(ω)(含辅助线)与-180°线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展71【例5.4.3】已知系统的开环传递函数在s平面的右半部有m=2个极点，其伯德图如图所示，判断系统在闭环时的稳定性。右半边的开环极点有两个，m=2正负穿越数之差为+1

闭环稳定。5.4奈奎斯特稳定判据及其扩展5.5控制系统的稳定裕度735.5.1相角裕度开环幅相频率特性的幅值等于1时，向量与负实轴的夹角称为相角裕度γ：式中ωc

为增益交界频率（剪切频率），是奈氏曲线与单位圆交点处的频率，伯德图上表示为穿越0dB线时相角对应的频率。图5.5.1极坐标中的ωc

和

ωg图5.5.2伯德图中的γ和Kg

a)稳定系统b)不稳定系统5.5控制系统的稳定裕度74对最小相位系统：（1）γ>0，

系统稳定（奈氏曲线不包围(-1,j0)点）；（2）γ=0，临界稳定（奈氏曲线穿过

(-1,j0)点）；（3）γ<0

，系统不稳定（奈氏曲线顺时针包围(-1,j0)点）。相角裕量

:在增益交界频率

c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量。开环图5.5.3稳定系统的γ和Kg755.5.2幅值裕度幅值裕度Kg

：在频率ωg

处幅频特性的倒数：或表示为分贝值：5.5控制系统的稳定裕度式中ωg

为相位交界频率，是奈氏曲线穿越与负实轴交点处的频率，伯德图上表示为穿越-180°线时相角对应的频率。图5.5.1极坐标中的ωc

和

ωg图5.5.2伯德图中的γ和Kg

a)稳定系统b)不稳定系统76对最小相位系统（1）

开环增益增大Kg倍时曲线恰好通过(-1,j0)点，系统临界稳定；（2）Kg>1（即20lgKg>0）系统稳定；（3）Kg<1系统不稳定；（4）若奈氏曲线仅在坐标原点与负实轴相交，则Kg=∞。结论：最小相位系统稳定必须同时满足γ>0且Kg>1。5.5控制系统的稳定裕度图5.5.3稳定系统的γ和Kg开环幅值裕量（增益裕度）Kg

:在相角交界频率

g上,到达稳定边界需要附加的增益。775.5.3控制系统的相对稳定性5.5控制系统的稳定裕度虚轴是系统的临界稳定边界相对稳定性是由特征方程离虚轴最近的根决定，即由离和虚轴的距离决定根平面1、时域相对稳定性图5.5.4时域中的稳定边界785.5.3控制系统的相对稳定性5.5控制系统的稳定裕度(-1,j0)点是系统的临界稳定边界相对稳定性是由G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度GH平面2、频域相对稳定性图5.5.5频域中的稳定边界特点：

G(j)H(j)曲线过(-1,j0)点时，说明有一个点：

│G(j)H(j)│=1∠G(j)H(j)

=-180°同时成立79【例5.5.1】设单位反馈系统开环传递函数为：图5.5.6例5.5.1中系统的奈奎斯特曲线5.5控制系统的稳定裕度求相角裕度和幅值裕度。令，代入开环幅频特性可得：解得：即：。相角裕度：80图5.5.6例5.5.1中系统的奈奎斯特曲线5.5控制系统的稳定裕度幅值裕度（法一）：幅值裕度：解得：即：，。81图5.5.6例5.5.1中系统的奈奎斯特曲线5.5控制系统的稳定裕度幅值裕度（法二）：得：令，代入实部：幅值裕度：835.6.1频域性能指标5.6闭环控制系统的频域性能分析闭环频率特性：图5.6.1典型的闭环幅频特性1.零频幅比M(0)即单位阶跃响应的稳态值。M(0)=1表示阶跃响应稳态值等于输入，无稳态误差。M0=M(ω)|ω=0=M(0)842.谐振峰值Mr闭环幅频特性的最大值，反映系统对某频率正弦输入的响应强度和谐振趋势。3.谐振频率ωr谐振峰值时对应的角频率。4.截止频率ωb幅值从M(0)衰减到0.707M(0)所对应的频率，即：0~ωb

的频率范围称为带宽或通频带。图5.6.1典型的闭环幅频特性5.6闭环控制系统的频域性能分析855.6.2闭环系统频域性能分析1.一阶系统具有单位反馈的一阶系统开环和闭环传递函数：M(ω)随ω增大单调衰减，不存在谐振峰值和谐振频率。闭环幅频特性：零频幅值：截止频率：，调整时间，故

ts

与ωb

成反比。，令，可得截止频率，即5.6闭环控制系统的频域性能分析862.二阶系统具有单位反馈的二阶系统开环和闭环传递函数：闭环幅频特性：当时，M(ω)存在峰值。令，谐振峰值：谐振频率：当时，ωr

无实数解，M(ω)不存在峰值。5.6闭环控制系统的频域性能分析87ζ一定时，ωr

越大则峰值时间tp

越小，系统响应越快。谐振频率ωr

表征了系统动态响应的快速性。（1）谐振频率与峰值时间（2）谐振峰值与最大