2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第21课时：圆的基本性质（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第21课时圆的基本性质一、核心知识一、核心知识圆的相关概念与性质圆的定义：在同一平面内，到的距离等于的所有点组成的封闭图形叫做圆，记作。核心要素圆心：圆的中心，决定圆的____________；半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的____________，同圆或等圆的相等；直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中____________的弦，直径d=2r（r为半径）；弦：连接圆上任意两点的线段（直径是）；弧：圆上任意两点间的部分，分为____________（大于半圆的弧，用三个字母表示，如ABC⌢）和____________（小于半圆的弧，用两个字母表示，如AB⌢），半圆是，既不是优弧也不是劣弧；圆心角：顶点在，两边都与圆的角；圆周角：顶点在______圆上______，两边都与圆的角；弦心距：从圆心到距离；圆内接四边形：四个顶点都在上的四边形。关键性质圆的对称性：中心对称图形：对称中心为____________，绕圆心旋转任意角度都与自身重合；轴对称图形：有无数条对称轴，对称轴为______过圆心的直线______（直径所在直线）。垂径定理及推论（中考必考）垂径定理：垂直于弦的直径____________，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径____________，并且平分弦所对的两条弧；（核心：“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”“平分弧”四个条件中，任意两个成立，其余两个必成立，注意“平分弦”时弦不能是直径）。圆心角定理及推论圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧____________，所对的弦____________，所对的弦心距____________；推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有量相等，则其余各组量都相等（“知一推三”）。圆周角定理及推论（中考必考）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的____________；推论1：同弧或等弧所对的圆周角____________；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____________（90∘）；反之，90∘的圆周角所对的弦是____________；推论3：圆内接四边形的对角____________（∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘），且任一外角等于它的内对角（∠ABE=∠D）。二、核心能力二、核心能力题型1垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距）解题思路：构造直角三角形：连接圆心与弦的一端，过圆心作弦的垂线，形成“半径r、弦心距d、半弦长12a”的直角三角形（核心模型：r结合已知条件：利用垂径定理得出“垂直即平分”或“平分即垂直”，转化线段长度；列方程求解：设未知量（如半径r），通过勾股定理建立方程，求解弦长、半径或弦心距。题型2圆心角与圆周角的关系计算（角度求解）解题思路：找“同弧/等弧”：明确待求角与已知角所对的弧是否相同或相等，这是应用定理的前提；区分角的类型：判断是圆心角还是圆周角，牢记“同弧所对圆周角=12结合推论转化：若出现直径，优先用“直径所对圆周角为直角”；若出现圆内接四边形，利用“对角互补”转化角度；复杂图形拆分：多个角交织时，标注相等的弧，逐步推导角的数量关系。题型3圆内接四边形的性质应用解题思路：识别圆内接四边形：确认四边形四个顶点是否都在圆上（题目通常直接给出或隐含）；核心性质应用：求角：利用“对角互补”计算未知角；证角相等：利用“外角等于内对角”转化角的关系，辅助证明全等或相似；结合其他定理：与圆周角定理、三角形内角和定理结合，解决综合角度问题。题型4圆的对称性应用（折叠、旋转问题）解题思路：折叠问题：折叠前后圆的部分重合，对应弧相等、对应弦相等、对应角相等，利用垂径定理或圆心角定理转化线段和角度；旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，旋转后对应的圆心角、弧、弦都相等，结合旋转性质和圆的基本性质求解；对称性质应用：利用圆的轴对称性找最短路径（如圆上一点到直线的最短距离），或利用中心对称性转化线段位置。三、易错警示三、易错警示垂径定理应用误区错误：忽略垂径定理的前提条件，如“平分弦的直径垂直于弦”未强调“弦不是直径”；应用时只考虑“垂直于弦”，忘记“过圆心”的条件，导致结论错误。提醒：垂径定理的四个核心条件（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弧）必须满足“任意两个”，且“平分弦”时弦不能是直径（直径互相平分但不一定垂直）；解题时务必画出图形，标注圆心、垂线，避免遗漏条件。圆心角与圆周角关系混淆错误：颠倒圆心角与圆周角的倍数关系（误记为“同弧所对圆心角是圆周角的一半”）；不同弧所对的圆心角与圆周角盲目套用倍数关系。提醒：牢记“同弧或等弧所对的圆周角=12圆内接四边形性质误用错误：将圆内接四边形的“对角互补”记为“邻角互补”；忽略“外角等于内对角”的条件，错误转化角的关系。提醒：圆内接四边形的对角之和为180∘，邻角之和不一定为180∘（除非是矩形）；外角是与内角相邻的角，其度数等于对角的度数，而非邻角的补角。弧的表示与计算错误错误：表示优弧时只用两个字母（如将优弧ABC⌢误写为AC⌢）；计算弧长时，将圆周角的度数当作圆心角代入公式。提醒：优弧必须用三个字母表示（起点、中间点、终点），劣弧用两个字母表示；弧长公式中的n是“圆心角”的度数，若已知圆周角，需先乘以2转化为圆心角。弦与弦心距关系混淆错误：认为“弦越长，弦心距越大”；忽略“同圆或等圆”的前提，比较不同圆中弦与弦心距的关系。提醒：在同圆或等圆中，弦越长，弦心距越短（反之亦然）；不同圆中，弦的长度与弦心距无直接关系，需结合半径比较。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·广东中考）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30∘．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

）A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定2.（24-25·浙江模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，OC=5．则OD的长是（

）

A.3 B.2 C.6 D.53.（23-24·达州模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30∘，则∠BOC=（

）

A.30∘ B.45∘ C.60∘4.（22-23·山东中考）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB=40∘,∠OCA=30∘，则∠BCO的度数为（

）A.40∘ B.45∘ C.50∘5.（23-24·福建中考）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC⌢=BC⌢，则∠D的度数为（

）A.30∘ B.45∘ C.60∘6.（24-25·广东中考）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24∘，则∠ABD=（

）

A.54∘ B.56∘ C.64∘7.（24-25·江苏模拟）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB⌢=BC⌢=CD⌢，点P在CD⌢上，若A.105∘ B.100∘ C.90∘8.（24-25·山东中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130∘，则∠ECD的度数是（

）

A.50∘ B.55∘ C.65∘9.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB⌢于点C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（

）

A.50cm B.35cm C.25cm 10.（24-25·云南模拟）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42∘，则∠OED的度数是（

）

A.61∘ B.63∘ C.65∘11.（24-25·四川模拟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30∘，BC=23，则OC=（）

A.1 B.2 C.23 D.12.（24-25·辽宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）

A.4 B.27 C.6 D.13.（23-24·湖南中考）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90∘，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（

）

A.6 B.62−5 C.35 D.14.（24-25·四川模拟）如图，四边形ABCD是边长为12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90∘的圆心角所对的弧组成的．其中，DA1⌢的圆心为A，半径为AD；A1B1⌢的圆心为B，半径为BA1；B1C1⌢的圆心为C，半径为CB1；CA.4045π2 B.2023π C.2023π4 15.（23-24·四川中考）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90∘，AB=4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD=22CE，则下列结论：①AEBD=2；②∠DFE=135∘；③△ABF面积的最大值是4A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·陕西中考）如图，AB为⊙O的直径，BC⌢=BD⌢，∠CDB=24∘，则∠ACD的度数为___________．

17.（24-25·四川中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5，则DC的长为_______。

18.（24-25·江苏模拟）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______________​∘．

19.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢​2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为__________．

20.（22-23·湖南中考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢长l的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA.当OA=2，∠AOB=21.（22-23·辽宁中考）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC=5，CD=6，则AE=

．

22.（22-23·山东中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度为

寸．

23.（24-25·贵州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则DF的长度为______________，EH的长度为________________．

24.（23-24·吉林中考）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC⌢的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：

①∠ABD=∠DAC；

②AF=FG；

③当DG=2，GB=3时，FG=142；

④当BD⌢=2AD⌢，AB=6时，△DFG的面积是3．25.（23-24四川中考）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90∘得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45∘；④ANCN=2−1．以上结论正确的是______________．（填写序号）（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·吉林中考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=18027.（24-25·浙江模拟）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180∘．

（1）求证：OC∥AD；（2）若AD=2，BC=23，求AB28.（23-24·河南中考）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．

（1）求证：∠ADB=∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=12，求29.（22-23·江苏中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65∘,BC=CD．

（1）求证：△BOC≅△DOC；（2）求∠ABD的度数．30.（24-25·湖北中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45∘．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．

（1）求证：FD=FG；（2）若AB=12,FG=10，求⊙O的半径．31.（22-23·宁夏中考）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．

（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC=5，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．

32.（24-25·河南模拟）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．

问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30∘，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．

问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据2≈1.414，333.（22-23·四川中考）已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=80∘,OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点．

（1）如图①，求∠CED的大小；（2）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长．34.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．

（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE=4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是______，d=________（写出符合条件的一种情况即可）；（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是(−1,0)、(1,0)、(0,4)，以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．35.（23-24·江苏中考）综合与实践

问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．

探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+______；则AF=______+______．

实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60∘得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG=1时，求PD+PE的值．

拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB=10,AD=2,BD=4

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第21课时圆的基本性质一、核心知识一、核心知识圆的相关概念与性质圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭图形叫做圆，记作⊙O（O为圆心）。核心要素圆心：圆的中心，决定圆的______位置______；半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的______大小______，同圆或等圆的半径相等；直径：经过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中______最长______的弦，直径d=2r（r为半径）；弦：连接圆上任意两点的线段（直径是特殊弦）；弧：圆上任意两点间的部分，分为______优弧______（大于半圆的弧，用三个字母表示，如ABC⌢）和______劣弧______（小于半圆的弧，用两个字母表示，如AB⌢），半圆是圆的一半，既不是优弧也不是劣弧；圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角；圆周角：顶点在______圆上______，两边都与圆相交的角；弦心距：从圆心到弦的垂直距离；圆内接四边形：四个顶点都在圆上的四边形。关键性质圆的对称性：中心对称图形：对称中心为______圆心______，绕圆心旋转任意角度都与自身重合；轴对称图形：有无数条对称轴，对称轴为______过圆心的直线______（直径所在直线）。垂径定理及推论（中考必考）垂径定理：垂直于弦的直径______平分弦______，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径______垂直于弦______，并且平分弦所对的两条弧；（核心：“过圆心”“垂直于弦”“平分弦”“平分弧”四个条件中，任意两个成立，其余两个必成立，注意“平分弦”时弦不能是直径）。圆心角定理及推论圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______相等______，所对的弦______相等______，所对的弦心距______相等______；推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，则其余各组量都相等（“知一推三”）。圆周角定理及推论（中考必考）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______一半______；推论1：同弧或等弧所对的圆周角______相等______；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______直角______（90∘）；反之，90∘的圆周角所对的弦是______直径______；推论3：圆内接四边形的对角______互补______（∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘），且任一外角等于它的内对角（∠ABE=∠D）。二、核心能力二、核心能力题型1垂径定理的应用（求弦长、半径、弦心距）解题思路：构造直角三角形：连接圆心与弦的一端，过圆心作弦的垂线，形成“半径r、弦心距d、半弦长12a”的直角三角形（核心模型：r结合已知条件：利用垂径定理得出“垂直即平分”或“平分即垂直”，转化线段长度；列方程求解：设未知量（如半径r），通过勾股定理建立方程，求解弦长、半径或弦心距。题型2圆心角与圆周角的关系计算（角度求解）解题思路：找“同弧/等弧”：明确待求角与已知角所对的弧是否相同或相等，这是应用定理的前提；区分角的类型：判断是圆心角还是圆周角，牢记“同弧所对圆周角=12结合推论转化：若出现直径，优先用“直径所对圆周角为直角”；若出现圆内接四边形，利用“对角互补”转化角度；复杂图形拆分：多个角交织时，标注相等的弧，逐步推导角的数量关系。题型3圆内接四边形的性质应用解题思路：识别圆内接四边形：确认四边形四个顶点是否都在圆上（题目通常直接给出或隐含）；核心性质应用：求角：利用“对角互补”计算未知角；证角相等：利用“外角等于内对角”转化角的关系，辅助证明全等或相似；结合其他定理：与圆周角定理、三角形内角和定理结合，解决综合角度问题。题型4圆的对称性应用（折叠、旋转问题）解题思路：折叠问题：折叠前后圆的部分重合，对应弧相等、对应弦相等、对应角相等，利用垂径定理或圆心角定理转化线段和角度；旋转问题：圆绕圆心旋转任意角度后与自身重合，旋转后对应的圆心角、弧、弦都相等，结合旋转性质和圆的基本性质求解；对称性质应用：利用圆的轴对称性找最短路径（如圆上一点到直线的最短距离），或利用中心对称性转化线段位置。三、易错警示三、易错警示垂径定理应用误区错误：忽略垂径定理的前提条件，如“平分弦的直径垂直于弦”未强调“弦不是直径”；应用时只考虑“垂直于弦”，忘记“过圆心”的条件，导致结论错误。提醒：垂径定理的四个核心条件（过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弧）必须满足“任意两个”，且“平分弦”时弦不能是直径（直径互相平分但不一定垂直）；解题时务必画出图形，标注圆心、垂线，避免遗漏条件。圆心角与圆周角关系混淆错误：颠倒圆心角与圆周角的倍数关系（误记为“同弧所对圆心角是圆周角的一半”）；不同弧所对的圆心角与圆周角盲目套用倍数关系。提醒：牢记“同弧或等弧所对的圆周角=12圆内接四边形性质误用错误：将圆内接四边形的“对角互补”记为“邻角互补”；忽略“外角等于内对角”的条件，错误转化角的关系。提醒：圆内接四边形的对角之和为180∘，邻角之和不一定为180∘（除非是矩形）；外角是与内角相邻的角，其度数等于对角的度数，而非邻角的补角。弧的表示与计算错误错误：表示优弧时只用两个字母（如将优弧ABC⌢误写为AC⌢）；计算弧长时，将圆周角的度数当作圆心角代入公式。提醒：优弧必须用三个字母表示（起点、中间点、终点），劣弧用两个字母表示；弧长公式中的n是“圆心角”的度数，若已知圆周角，需先乘以2转化为圆心角。弦与弦心距关系混淆错误：认为“弦越长，弦心距越大”；忽略“同圆或等圆”的前提，比较不同圆中弦与弦心距的关系。提醒：在同圆或等圆中，弦越长，弦心距越短（反之亦然）；不同圆中，弦的长度与弦心距无直接关系，需结合半径比较。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·广东中考）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30∘．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

）A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定【答案】C【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60∘，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O【解答】解：如图，令OC与AB的交点为D，

∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，

∴AD=12AB=23，

∵∠ABC=30∘

∴∠AOC=2∠ABC=60∘，

在△ADO中，∠ADO=90∘，∠AOD=60∘，AD=23，

∵sin∠AOD=ADOA，

∴OA=ADsin60∘=2332=4，即2.（24-25·浙江模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB=8，OC=5．则OD的长是（

）

A.3 B.2 C.6 D.5【答案】A【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．

由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理解答即可．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=8，

∴AD=12AB=12×8=4，

又∵OA=OC=5，

∴在Rt△OAD中，OD=OA2−A3.（23-24·达州模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30∘，则∠BOC=（

）

A.30∘ B.45∘ C.60∘【答案】C【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．

先根据垂径定理得到∠ADC=∠BDC=30∘，再根据圆周角定理即可得到∠BOC=60【解答】解：连接BD．

∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，

∴∠ADC=∠BDC=30∘，

∴∠BOC=2∠BDC=60∘，

故选：C．4.（22-23·山东中考）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB=40∘,∠OCA=30∘，则∠BCOA.40∘ B.45∘ C.50∘【答案】C【解析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠ACB=12∠AOB=【解答】解：∵∠AOB=40∘,∠OCA=30∘，

∴∠ACB=12∠AOB=20∘，

∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=5.（23-24·福建中考）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC⌢=BC⌢，则∠DA.30∘ B.45∘ C.60∘【答案】B【解析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90∘，进而由AC⌢=BC【解答】解：连接AC、BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵AC⌢=BC⌢，

∴∠CAB=∠CBA=45∘，

∴∠D=∠CBA=45∘6.（24-25·广东中考）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=24∘，则∠ABD=（

）

A.54∘ B.56∘ C.64∘【答案】D【解析】根据圆周角定理得到∠ADB=90∘，∠A=∠BCD=24∘，然后利用互余计算【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘，

∵∠A=∠BCD=24∘，

∴∠ABD=90∘−∠A=90∘−7.（24-25·江苏模拟）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB⌢=BC⌢=CD⌢，点P在CD⌢A.105∘ B.100∘ C.90∘【答案】B【解析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接OB，OC，证明△AOB和△BOC都是等边三角形，求得∠BPC=30∘，利用三角形内角和定理求得∠PBC=20【解答】解：连接OB，OC，

∵AD是半圆O的直径，AB⌢=BC⌢=CD⌢，

∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60∘，

∴△AOB和△BOC都是等边三角形，

∴∠OBC=∠OBA=60∘，

∵BC⌢=BC⌢，

∴∠BPC=12∠BOC=30∘，

8.（24-25·山东中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130∘，则∠ECD的度数是（

）

A.50∘ B.55∘ C.65∘【答案】C【解析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=130∘，

∴∠BAD=12∠BOD=65∘，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD+∠BAD=180∘且∠BCD+∠ECD=180∘，

∴∠ECD=∠BAD=9.（23-24·四川中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB⌢于点C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（

）

A.50cm B.35cm C.25cm 【答案】C【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解答】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，

∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．

Rt△OBD中，BD=12AB=20cm，

根据勾股定理得：

OD2+BD2=OB2，即：

(OB−10)2+20210.（24-25·云南模拟）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42∘，则∠OED的度数是（

）

A.61∘ B.63∘ C.65∘【答案】B【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得∠AOC=∠BOC=42∘，利用圆周角定理求得∠D=1【解答】解：∵半径OC⊥AB，

∴AC⌢=BC⌢，

∴∠AOC=∠BOC=42∘，∠AOB=84∘，

∵AC⌢=AC⌢，

11.（24-25·四川模拟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30∘，BC=23，则OC=（）

A.1 B.2 C.23 D.【答案】B【解析】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB=30∘，得∠AOB=60∘，根据OA⊥BC，BC=23，得BE=12【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：

∵∠ADB=30∘，

∴∠AOB=60∘，

∵OA⊥BC，BC=23，

∴BE=12BC=3，

在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，

∴sin60∘=3OB，12.（24-25·辽宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）

A.4 B.27 C.6 D.【答案】C【解析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得AC⌢=CF⌢=BF⌢，进而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60∘，∠BOM=∠AOC=60∘=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，

∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，

∴AC⌢=CF⌢=BF⌢

∴∠AOC=∠COF=∠BOF，

∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180∘，

∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60∘，

∴∠BOM=∠AOC=60∘=∠BOF，

∴点F关于AB的对称点为点M，

∴PM=PF，

∴PE+PF=PE+PM≥EM,

当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，

∵∠AOC=60∘，AD⊥AB，

∴∠D=30∘，

∴OD=2OA，

∵CD=4，

∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，

∴OC=OA=OB=OM=OF=4，

∵AF⊥OC，∠AOC=60∘，13.（23-24·湖南中考）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90∘，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（

）

A.6 B.62−5 C.3【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使DH=22.过点H作HK⊥AD于点K，连接BH,FH,AG,EG，则∠BDH=∠DKH=90∘，根据正方形性质，得C(6,0),D(6,6),A(0,6)，得G(3,3)，和BG=32，BGDH=32，根据EG=AG=BG=DG=32，得点B、E、A、D在⊙G上，得∠ABE=∠ADE，得∠EBG=∠FDH，根据BEDF=32，得△BEG∽△DFH，得FH=DH=22，得点F在以点H【解答】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，

设BD的中点为G，过点D作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH,FH,AG,EG，则∠BDH=∠DKH=90∘，

∵正方形ABCD边长为6，

∴C(6,0),D(6,6),A(0,6)，

∴G(3,3)，

∴BG=32+32=32，

∴BGDH=32，

∵∠E=∠BAC=90∘，

∴EG=AG=BG=DG=32，

∴点B、E、A、D在⊙G上，

∴∠ABE=∠ADE，

∵∠ABD=∠ADB=45∘，

∴∠HDK=∠BDH−∠ADB=45∘，

∴∠HDK=∠ABD=45∘，

∴∠ABE+∠ABD=∠ADE+∠HDK，

即∠EBG=∠FDH，

∵2BE=3DF，

∴BEDF=32，

∴BEDF=BGDH，

∴△BEG∽△DFH，

∴FH=DH=22，

∴点F是在以点H为圆心，22为半径的圆上运动，

∵∠DHK=90∘−∠HDK=4514.（24-25·四川模拟）如图，四边形ABCD是边长为12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90∘的圆心角所对的弧组成的．其中，DA1⌢的圆心为A，半径为AD；A1B1⌢的圆心为B，半径为BA1；B1C1⌢的圆心为C，半径为CB1；CA.4045π2 B.2023π C.2023π4 【答案】A【解析】由观察规律可得A2023B2023⌢的半径为【解答】解：由已知可得，A1B1⌢的半径为为1，B1C1⌢的半径为32，C1D1⌢的半径为2，D1A2⌢的半径为52...，

∴后一段90∘的圆心角所对的弧比相邻的前一段90∘的圆心角所对的弧的半径大12，

∴A2B2⌢的半径为3，A15.（23-24·四川中考）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90∘，AB=4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD=22CE，则下列结论：①AEBD=2；②∠DFE=135∘；③△ABF面积的最大值是A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】D【解析】过点B作BM⊥AC于点M，证明△ABE∽△BMD，根据相似三角形的性质即可判断①；得出∠BAE=∠MBD，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，以OA为半径作⊙O，根据定弦定角得出F在⊙O的AB⌢上运动，进而根据当OF⊥AB时，△ABF面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F在OC上时，FC最小，过点O作OH⊥BC交CB的延长线于点H，勾股定理，即可求解．【解答】解：如图所示，过点B作BM⊥AC于点M，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90∘，AB=4，

∴AB=BC,AC=AB2+BC2=2BC，

∵AD=22CE，

∴DM=12AC−AD=12×2BC−22CE=22(BC−CE)=22BE

∴DMBE=ADCE=22

又∵∠DMB=∠EBA=90∘

∴△ABE∽△BMD，

∴AEBD=ABBM=2，故①正确；

∵△ABE∽△BMD，

∴∠BAE=∠MBD，

∴∠BAE+∠ABD=∠MBD+∠ABD

即180∘−(∠BAE+∠ABD)=180∘−(∠MBD+∠ABD)

在△ABF中，∠AFB=180∘−(∠BAE+∠ABD)

即∠AFB=180∘−(∠MBD+∠ABD)

∵△ABC是等腰直角三角形，BM⊥AC

∴BM平分∠ABC

∴∠ABM=∠CBM=12∠ABC=45∘

∴∠AFB=180∘−(∠MBD+∠ABD)=180∘−∠ABM=135∘

∴∠AFB=180∘−(∠BAE+∠ABD)=135∘，

∴∠DFE=135∘，故②正确，

如图所示，

在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，以OA为半径作⊙O，且AB=4

∴∠AOB=90∘，OA=OB,AB=OA2+OB2=2OA=4

∵∠AFB=135∘

∴∠DFE+12∠AOB=180∘

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·陕西中考）如图，AB为⊙O的直径，BC⌢=BD⌢，∠CDB=24∘，则∠ACD的度数为_____【答案】66∘【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据AB为⊙O的直径，BC⌢=BD⌢，则∠A+∠ACD=90∘，再根据BC⌢【解答】解：∵AB为⊙O的直径，BC⌢=BD⌢，

∴AB⊥CD，

即∠A+∠ACD=90∘，

∵BC⌢=BC⌢，

∴∠A=∠CDB=24∘，

17.（24-25·四川中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，OC=5，则DC的长为____2____。

【答案】2【解析】连接OA，根据垂径定理，结合勾股定理求出OD的长，则DC长可求【解答】解：如图，连接OA，

:OC⊥AB

∵AD=12AB=4

∵OD=OA2−AD2=52−18.（24-25·江苏模拟）如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____90°___________​∘．

【答案】90【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180∘，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．【解答】∵AB是圆的直径，

∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180∘，

∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=12×180∘=90∘，19.（24-25·山东中考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢​2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB的值为______0.8______．

【答案】45/0.8【解析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，

由题意：AB=8,HC=2，

设OA=x，由OC=x，

∴OH=x−2，

∵OH⊥AB，OC为半径，

∴AH=BH=12AB=4，

在Rt△OAH中，

由勾股定理得AH2+OH2=OA2，

∴42+(x−2)2=x2，

20.（22-23·湖南中考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢长l的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA.当OA=2，∠AOB=90【答案】0.1【解析】由已知求得AB与CD的值，代入s=AB+CD2【解答】∵OA=OB=2,∠AOB=90∘，∴AB=22,

∵C是弦AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB，

∴延长DC可得O在DC上，OC=12AB=2，

∴CD=OD−OC=2−2，

∴s=AB+CD2OA=2221.（22-23·辽宁中考）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E，若AC=5，CD=6，则AE=

4

．

【答案】4【解析】利用圆的性质得出AP垂直平分CD和AD=AC=5，运用勾股定理便可解决问题.【解答】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，∴AP垂直平分CD,即∠AED=90∘，

∴DE=12CD=3，

又∵在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，其中AC=5，

∴AD=AC=5，

在△ADE中，AE=AD222.（22-23·山东中考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度为

26寸．

【答案】26【解析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE=12AB=5寸，由勾股定理得到r2=(r−1【解答】解：连接OA，

设⊙O的半径是r寸，

∵直径CD⊥AB，

∴AE=12AB=12×10=5寸，

∵CE=1寸，

∴OE=(r−1)寸，

∵OA2=OE2+AE2，

∴r2=(r−1)2+523.（24-25·贵州模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则DF的长度为_______3_________，EH的长度为_______13_________．

【答案】3,13413【解析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．

由垂径定理以及勾股定理可得CG=GF=5，即CF=2CG=10、AC=13，由菱形的性质可得CD=AC=13，进而得到GD=8、DF=3、AD=413；如图：连接BC,BH，由圆周角定理可得∠ACB=90∘、∠AHB=90∘，再解直角三角形可得AB=16912、AH=13413；由菱形的性质以及平行线的性质可得∠DAE=∠CDA，如图：过H作HM⊥AE于【解答】解：∵AB⊥CD，AG=12，GF=5，

∴CG=GF=5，即CF=2CG=10，

∴AC=AG2+CG2=122+52=13，

∵菱形ACDE，

∴CD=AC=13，

∴GD=CD−GC=13−5=8，DF=CD−CF=13−10=3；

∴AD=AG2+GD2=122+82=413

如图：连接BC,BH，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，∠AHB=90∘

∴cos∠CAB=AGAC=ACAB，即1213=13AB，

解得：AB=16912；

cos∠DAB=AGAD=AHAB，即12413=AH16912，

解得：AH=13413；

∵菱形24.（23-24·吉林中考）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC⌢的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：

①∠ABD=∠DAC；

②AF=FG；

③当DG=2，GB=3时，FG=142；

④当BD⌢=2AD⌢，AB=6时，△DFG的面积是3．

【答案】①②③【解析】如图：连接DC，由圆周角定理可判定①；先说明∠BDE=∠AGD、∠ADE=∠DAC可得DF=FG、AF=FD，即AF=FG可判定②；先证明△ADG∽△BDA可得ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,代入数据可得AD=10，然后运用勾股定理可得AG=14，再结合AF=FG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，易得∠AOD=∠DOC=60∘，从而证明【解答】解：如图：连接DC，

∵D是AC⌢的中点，

∴AD⌢=DC⌢,

∴∠ABD=∠DAC，即①正确；

∵AB是直径，

∴∠ADB=90∘，

∴∠DAC+∠AGD=90∘，

∵DE⊥AB

∴∠BDE+∠ABD=90∘,

∵∠ABD=∠DAC，

∴∠BDE=∠AGD，

∴DF=FG，

∵∠BDE+∠ABD=90∘，∠BDE+∠ADE=90∘,

∴∠ADE=∠ABD，

∵∠ABD=∠DAC，

∴∠ADE=∠DAC，

∴AF=FD，

∴AF=FG,即②正确；

在△ADG和△BDA,

∠ADG=∠BDA=90∘∠DAG=∠DBA ，

∴△ADG∽△BDA，

∴ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,

∴AD2+3=2AD，即AD=10,

∴AG=AD2+DG2=14,

∵AF=FG，

∴FG=12AG=142，即③正确；

如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，

∵BD⌢=2AD⌢，AB=625.（23-24四川中考）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90∘得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45∘；④ANCN=2−1【答案】①③④【解析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

由旋转性质得△CBE≅△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，进而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90∘即可判断①；由CF=BC+BF=AB+BF>AF即可判断②；由A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，可以证明∠CAD=∠CMD=45∘，即可判定③，设AD=CD=BC=a，由勾股定理解三角形可得AN=(2【解答】解：由旋转可知：△CBE≅△ABF，

∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，

∵在正方形ABCD中，

∴∠ABC=90∘，AB=BC，

又∵∠AEM=∠BEC，

∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90∘，

∴∠AMC=90∘，即CM⊥AF，故①结论正确，

∵AB+BF>AF，CF=BC+BF=AB+BF，

∴CF>AF，故②结论错误；

如图：

∵在正方形ABCD中，

∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45∘，

∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90∘，

∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，

∵CD⌢=CD⌢，

∴∠CAD=∠CMD=45∘，故结论③正确；

如图：过N点作NG⊥AC，交AD于G，

∵CE平分∠ACB，∠ACB=45∘，

∴∠ACM=22.5∘，

∵AM⌢=AM⌢，

∴∠ACM=∠ADM=22.5∘，

∵∠CAD=45∘，

∴∠AGN=90∘−∠CAD=45∘，∠DNG=180∘−∠CAD−∠ANG−∠ADN=22.5∘，（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·吉林中考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ADB，使∠ADB=∠ACB．（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180【答案】见解答（答案不唯一）见解答（答案不唯一）【解析】（1）取格点D，连接AD,BD，根据AB⌢=AB⌢得到（2）取格点E，连接AE,CE，根据圆内接四边形对角互补即可得到∠AEC+∠ABC=180【解答】（1）解：如图，点∠ADB即为所求：

（2）解：如图，∠AEC即为所求：

27.（24-25·浙江模拟）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180∘．

（1）求证：OC∥AD；（2）若AD=2，BC=23，求AB【答案】详见解答6【解析】（1）由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC，则可证明∠DAB+∠AOC=180∘，据此可证明OC∥AD．（2）连接BD，交OC于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90∘，即AD⊥BD，则可证明OC⊥BD，由垂径定理可得点E为BD的中点，则OE是△ABD的中位线，即可得到OE=12AD=1．设半圆的半径为r【解答】（1）解：证明：∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180∘，

∴∠DAB+∠AOC=180∘，

（2）解：连接BD，交OC于点E．由题意知，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90∘，即AD⊥BD，

∵OC∥AD，

∴OC⊥BD，

∴点E为BD的中点，

又∵O是AB的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE=12AD=1．

设半圆的半径为r，则CE=r−1．

由勾股定理知，OB2−OE2=BE2=BC2−CE28.（23-24·河南中考）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．

（1）求证：∠ADB=∠AOP；（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=12，求【答案】见解答；DE长为【解析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠ADB=12∠AOB（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE长．【解答】（1）解：证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，

∴OP平分∠AOB，

∴∠AOP=12∠AOB，

又∵AB⌢=AB⌢，

∴∠ADB=1延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF=90∘，

∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，

∴PA⊥OA,

∵C为OP的中点，

∴PC=OC，

∴AC=OC=12OP，

又∵AP=10，tan∠AOP=12，

∴AO=APtan∠AOP=20，

OP=AO2+AP2=202+102=105，

AC=OC=12OP=55，AF=2AO=40，

∵AC=OC，

∴∠CAO=∠AOC，

又∵∠PAO=∠ADF=29.（22-23·江苏中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65∘,BC=CD．

（1）求证：△BOC≅△DOC；（2）求∠ABD的度数．【答案】详见解析40∘【解析】（1）根据已知条件利用SSS证明全等即可；（2）根据OC=OB，求出∠COB，再利用全等求出∠DOB，最后利用等边对等角即可求．【解答】（1）解：证明：∵⊙O的半径为OD,OB,OC,OA，

∴OA=OB=OD=OC，

∵OC=OC，BC=CD，

∴△BOC≅△DOCSSS（2）解：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠ABC=65∘，

∴∠COB=180∘−65∘×2=50∘，

∵△BOC≅△DOC，

∴∠DOC=∠COB=50∘，

∴∠DOB=10030.（24-25·湖北中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45∘．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G．

（1）求证：FD=FG；（2）若AB=12,FG=10，求⊙O的半径．【答案】证明过程见详解⊙O的半径13【解析】（1）根据垂直，切线的性质得到AB∥GF，可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）根据垂径定理得到AE=BE=6，△ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10，则EF=4，如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，由此勾股定理即可求解．【解答】（1）解：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，

∴AB∥GF，

∴∠BAC=∠G=45∘，

∴∠FDG=90∘−45∘=（2）解：∵DF⊥AB，

∴AE=BE=12AB=6，

∵∠BAC=45∘，

∴∠ADE=90∘−45∘=45∘，即△ADE是等腰直角三角形，

∴EA=ED=6，

由(1)得FD=FG=10，

∴EF=DF−DE=10−6=4，

如图所示，连接OA，设OE=x，则OF=OE+EF=x+4=OA，

∴在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE31.（22-23·宁夏中考）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E．连接AC．

（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC=5，tan∠ACE=34，求【答案】见解答⊙O的半径为25【解析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥DE，证明OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠CAO=∠CAE即可；（2）连接OC，过点O作OF⊥AC于F，证明∠ACE=∠COF，根据正切的定义列式求出OF，再根据勾股定理求出OC即可．【解答】（1）证明：连接OC，

∵直线DC是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AE⊥DC，

∴OC//AE，

∴∠OCA=∠CAE，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠CAO，

∴∠CAO=∠CAE，即AC平分∠BAE；（2）解：连接OC，过点O作OF⊥AC于F，则CF=12AC=52，

∵∠OCE=∠OCF+∠ACE=90∘，∠OCF+∠COF=90∘，

∴∠ACE=∠COF，

∴tan∠COF=tan∠ACE=34，

∴CFOF=52OF=32.（24-25·河南模拟）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．

问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30∘，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．

问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据2≈1.414，3【答案】45∘；0.3（米），

【解析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．【解答】（1）解：由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360∘÷120=3∘，

（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，

在Rt△AOD中，∠AOD=30∘，OA=2米，

∴OD=32OA=3（米）．

在Rt△BOC中，∠BOC=45∘，OB=2米，

∴OC=22OB=2（米），

33.（22-2