2025-2026年高中数学高一上册第5章数列专项练习题

2025-2026年高中数学高一上册第5章数列专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_{n+1}=3a_n-1（n∈N），则该数列的通项公式为（）A.a_n=3^n+1B.a_n=2•3^{n-1}C.a_n=3^n-1D.a_n=2•3^n-1解析：由a_{n+1}=3a_n-1，得a_{n+1}-1=3(a_n-1)，令b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，即{b_n}是首项为1，公比为3的等比数列，b_n=1•3^{n-1}=3^{n-1}，故a_n=b_n+1=3^{n-1}+1，选项A正确。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_{n+1}=S_n+1（n∈N），则该数列的前5项分别为（）A.1，2，4，8，16B.1，1，2，3，5C.1，3，6，10，15D.1，-1，-3，-5，-7解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}-a_n=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=2a_n+1，故a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，即{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，b_n=2^n，故a_n=b_n-1=2^n-1，前5项为1，3，7，15，31，选项C错误，正确答案为1，3，7，15，31。3.若数列{a_n}满足a_1+a_2+a_3=15，a_2+a_3+a_4=3，则a_4-a_1的值为（）A.-12B.-9C.9D.12解析：由题意得a_1+a_2+a_3=15①，a_2+a_3+a_4=3②，②-①得a_4-a_1=-12，选项A正确。4.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_7=18，a_3=5，则该数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质得a_5+a_7=2a_6=18，故a_6=9，又a_3=5，故d=a_6-a_3=9-5=4，选项D正确。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则a_4的值为（）A.13B.14C.15D.16解析：a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，当n=4时，a_4=4×4-5=11，选项均错误，正确答案为11。6.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2n（n∈N），则a_10的值为（）A.190B.191C.192D.193解析：由a_{n+1}=a_n+2n，得a_{n+1}-a_n=2n，故a_2-a_1=2，a_3-a_2=4，…，a_{10}-a_9=18，以上n-1个式子相加得a_{10}-a_1=2+4+…+18=2×(1+2+…+9)=2×45=90，故a_{10}=a_1+90=91，选项均错误，正确答案为91。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则b_5的值为（）A.16B.24C.32D.64解析：由等比数列性质得b_3=b_1q^2，即8=2q^2，解得q=±2，当q=2时，b_5=b_1q^4=2×2^4=32；当q=-2时，b_5=b_1q^4=2×(-2)^4=32，故b_5=32，选项C正确。8.已知数列{c_n}的前n项和为T_n=n(n+1)，则c_3的值为（）A.6B.9C.12D.15解析：c_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)-[(n-1)n]=2n，当n=3时，c_3=2×3=6，选项A正确。9.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n+3n（n∈N），则该数列的前n项和为（）A.n^2B.n^2+1C.n^2-1D.2n^2解析：由d_{n+1}=d_n+3n，得d_{n+1}-d_n=3n，故d_2-d_1=3，d_3-d_2=6，…，d_n-d_{n-1}=3(n-1)，以上n-1个式子相加得d_n-d_1=3(1+2+…+(n-1))=3×n(n-1)/2，故d_n=3n(n-1)/2+1=3n^2/2-3n/2+1，S_n=∑(3k^2/2-3k/2+1)=3/2∑k^2-3/2∑k+n=3/2×n(n+1)(2n+1)/6-3/2×n(n+1)/2+n=3n^3/12+3n^2/4-3n^2/4+3n/2=n^3/4+3n/2，选项均错误，正确答案为n^3/4+3n/2。10.已知数列{e_n}的前n项和为U_n=2^n-n，则e_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：e_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=4时，e_4=2^3-1=7，选项均错误，正确答案为7。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=2f_n+1（n∈N），则该数列的通项公式为________。解：由f_{n+1}=2f_n+1，得f_{n+1}+1=2(f_n+1)，令g_n=f_n+1，则g_{n+1}=2g_n，即{g_n}是首项为2，公比为2的等比数列，g_n=2^n，故f_n=g_n-1=2^n-1。2.在等差数列{g_n}中，若a_1=3，d=-2，则该数列的前10项和为________。解：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(3+(3+9×(-2)))×10/2=-140。3.已知数列{h_n}的前n项和为V_n=n^2+n，则该数列的第5项h_5的值为________。解：h_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=5时，h_5=2×5=10。4.在等比数列{h_n}中，若h_1=1，h_4=16，则该数列的公比q为________。解：h_4=h_1q^3，即16=1×q^3，解得q=2。5.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+3（n∈N），则该数列的前n项和为________。解：由i_{n+1}=i_n+3，得{i_n}是首项为2，公差为3的等差数列，i_n=2+3(n-1)=3n-1，S_n=(a_1+a_n)×n/2=(2+(3n-1))×n/2=3n^2/2+1/2。6.已知数列{j_n}的前n项和为W_n=2^n-n^2，则该数列的第3项j_3的值为________。解：j_n=W_n-W_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+n^2-2n+1=2^{n-1}-2n+1，当n=3时，j_3=2^2-2×3+1=-1。7.若数列{k_n}满足k_1=1，k_{n+1}=k_n+n（n∈N），则该数列的前5项分别为________。解：由k_{n+1}=k_n+n，得k_{n+1}-k_n=n，故k_2-k_1=1，k_3-k_2=2，…，k_n-k_{n-1}=n-1，以上n-1个式子相加得k_n-k_1=1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2，故k_n=n(n-1)/2+1，前5项为1，3，6，10，15。8.在等比数列{l_n}中，若l_1=2，l_3=8，则该数列的前4项和为________。解：由l_3=l_1q^2，即8=2q^2，解得q=±2，当q=2时，S_4=2+4+8+16=30；当q=-2时，S_4=2-4+8-16=-10，故S_4=30或-10。9.已知数列{m_n}的前n项和为X_n=n^2+n+1，则该数列的第2项m_2的值为________。解：m_n=X_n-X_{n-1}=n^2+n+1-[[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n，当n=2时，m_2=2×2=4。10.若数列{n_n}满足n_1=1，n_{n+1}=2n_n（n∈N），则该数列的前3项和为________。解：由n_{n+1}=2n_n，得{n_n}是首项为1，公比为2的等比数列，n_n=2^{n-1}，S_3=1+2+4=7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{p_n}的前n项和为Y_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：p_n=Y_n-Y_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故{p_n}是首项为2，公差为2的等差数列，正确。2.在等比数列{q_n}中，若q_1=1，q_4=16，则该数列的公比q为2或-2。（）解：q_4=q_1q^3，即16=1×q^3，解得q=2或q=-2，正确。3.若数列{r_n}满足r_1=1，r_{n+1}=r_n+1（n∈N），则该数列的前n项和为n(n+1)/2。（）解：由r_{n+1}=r_n+1，得{r_n}是首项为1，公差为1的等差数列，r_n=n，S_n=(a_1+a_n)×n/2=(1+n)×n/2=n(n+1)/2，正确。4.在等差数列{s_n}中，若a_1=3，d=-2，则该数列的前10项和为-140。（）解：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(3+(3+9×(-2)))×10/2=-140，正确。5.若数列{t_n}的前n项和为Z_n=2^n-n^2，则该数列的第3项t_3的值为-1。（）解：t_n=Z_n-Z_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+n^2-2n+1=2^{n-1}-2n+1，当n=3时，t_3=2^2-2×3+1=-1，正确。6.在等比数列{u_n}中，若u_1=2，u_4=8，则该数列的公比q为2或-2。（）解：u_4=u_1q^3，即8=2q^3，解得q=2或q=-2，正确。7.若数列{v_n}满足v_1=1，v_{n+1}=v_n+n（n∈N），则该数列的前5项分别为1，3，6，10，15。（）解：由v_{n+1}=v_n+n，得v_{n+1}-v_n=n，故v_2-v_1=1，v_3-v_2=2，…，v_n-v_{n-1}=n-1，以上n-1个式子相加得v_n-v_1=1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2，故v_n=n(n-1)/2+1，前5项为1，3，6，10，15，正确。8.在等差数列{w_n}中，若a_1=5，d=2，则该数列的前n项和为n(n+6)。（）解：S_n=(a_1+a_n)×n/2=(5+(5+(n-1)×2))×n/2=n(n+6)，正确。9.若数列{x_n}的前n项和为A_n=n^2+n+1，则该数列的第2项x_2的值为4。（）解：x_n=A_n-A_{n-1}=n^2+n+1-[[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n，当n=2时，x_2=2×2=4，正确。10.在等比数列{y_n}中，若y_1=3，y_3=12，则该数列的公比q为3或-3。（）解：y_3=y_1q^2，即12=3q^2，解得q=2或q=-2，错误，正确答案为2或-2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{z_n}的前n项和为B_n=n^2+n，求该数列的通项公式。解：z_n=B_n-B_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n。2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的公差d。解：由a_5=a_1+4d，即14=2+4d，解得d=3。3.已知数列{b_n}的前n项和为C_n=2^n-n，求该数列的第3项b_3。解：b_n=C_n-C_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=3时，b_3=2^2-1=3。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=1，c_4=16，求该数列的公比q。解：由c_4=c_1q^3，即16=1×q^3，解得q=2。5.若数列{d_n}满足d_1=3，d_{n+1}=d_n+2（n∈N），求该数列的前5项和。解：由d_{n+1}=d_n+2，得{d_n}是首项为3，公差为2的等差数列，d_n=3+2(n-1)=2n+1，S_5=(a_1+a_5)×5/2=(3+(2×5+1))×5/2=35。6.已知数列{e_n}的前n项和为D_n=n^2+n，求该数列的第4项e_4。解：e_n=D_n-D_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=4时，e_4=2×4=8。7.在等差数列{f_n}中，若f_1=5，f_3=9，求该数列的前6项和。解：由f_3=f_1+2d，即9=5+2d，解得d=2，S_6=(a_1+a_6)×6/2=(5+(5+5×2))×6/2=54。8.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=2g_n（n∈N），求该数列的前3项和。解：由g_{n+1}=2g_n，得{g_n}是首项为1，公比为2的等比数列，g_n=2^{n-1}，S_3=1+2+4=7。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，求该数列的前10项和。解：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(3+(3+9×2))×10/2=140。2.已知数列{i_n}的前n项和为J_n=n^2+n，求该数列的第5项i_5。解：i_n=J_n-J_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=5时，i_5=2×5=10。3.在等比数列{k_n}中，若k_1=2，k_3=8，求该数列的前4项和。解：由k_3=k_1q^2，即8=2q^2，解得q=2，S_4=2+4+8+16=30。4.若数列{l_n}满足l_1=1，l_{n+1}=l_n+3（n∈N），求该数列的前5项和。解：由l_{n+1}=l_n+3，得{l_n}是首项为1，公差为3的等差数列，l_n=1+3(n-1)=3n-2，S_5=(a_1+a_5)×5/2=(1+(3×5-2))×5/2=35。5.已知数列{m_n}的前n项和为K_n=2^n-n^2，求该数列的第6项m_6。解：m_n=K_n-K_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+n^2-2n+1=2^{n-1}-2n+1，当n=6时，m_6=2^5-2×6+1=25。6.在等差数列{n_n}中，若n_1=5，n_3=11，求该数列的前8项和。解：由n_3=n_1+2d，即11=5+2d，解得d=3，S_8=(a_1+a_8)×8/2=(5+(5+7×3))×8/2=104。7.已知数列{p_n}的前n项和为L_n=n^2+n+1，求该数列的第7项p_7。解：p_n=L_n-L_{n-1}=n^2+n+1-[[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n，当n=7时，p_7=2×7=14。8.在等比数列{q_n}中，若q_1=3，q_4=81，求该数列的前5项和。解：由q_4=q_1q^3，即81=3q^3，解得q=3，S_5=3+9+27+81+243=363。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.D5.无正确选项（应为11）2.无正确选项（应为91）7.C8.A9.无正确选项3.无正确选项（应为7）二、填空题1.2^n-12.-1403.104.25.3n^2/2+3n/22.-17.1，3，6，10，158.30或-109.410.7三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√2.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.z_n=2n2.d=33.b_3=34.q=25.S_5=356.e_4=87.S_6=548.S_3=7五、应用题1.S_{10}=1402.i_5=103.S_4=304.S_5=355.m_6=256.S_8=1047.p_7=148.S_5=363【解析】一、单项选择题1.解析：由f_{n+1}=3f_n-1，得f_{n+1}+1=3(f_n+1)，令g_n=f_n+1，则g_{n+1}=3g_n，即{g_n}是首项为2，公比为3的等比数列，g_n=2×3^{n-1}，故f_n=g_n-1=2×3^{n-1}-1。2.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。3.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。4.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。5.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。6.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。7.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。8.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。9.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。10.解析：由a_{n+1}=S_n+1，得a_{n+1}=S_n-a_n+1，即a_{n+1}=a_n+1，故{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，a_n=n，前5项为1，2，3，4，5，S_5=1+2+3+4+5=15，选项均错误，正确答案为15。二、填空题1.解析：由f_{n+1}=2f_n+1，得f_{n+1}+1=2(f_n+1)，令g_n=f_n+1，则g_{n+1}=2g_n，即{g_n}是首项为2，公比为2的等比数列，g_n=2^n，故f_n=g_n-1=2^n-1。2.解析：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(3+(3+9×(-2)))×10/2=-140。3.解析：p_n=B_n-B_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n。4.解析：q_4=q_1q^3，即16=1×q^3，解得q=2或q=-2。5.解析：由d_{n+1}=d_n+2，得{d_n}是首项为1，公差为2的等差数列，d_n=1+2(n-1)=2n-1，S_5=(a_1+a_5)×5/2=(1+(2×5-1))×5/2=25。6.解析：由l_{n+1}=l_n+3，得{l_n}是首项为1，公差为3的等差数列，l_n=1+3(n-1)=3n-2，S_5=(a_1+a_5)×5/2=(1+(3×5-2))×5/2=35。7.解析：由m_{n+1}=m_n+3，得{m_n}是首项为1，公差为3的等差数列，m_n=1+3(n-1)=3n-2，S_5=(a_1+a_5)×5/2=(1+(3×5-2))×5/2=35。8.解析：由n_{n+1}=2n_n，得{n_n}是首项为1，公比为2的等比数列，n_n=2^{n-1}，S_3=1+2+4=7。三、判断题1.解析：由z_n=B_n-B_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n，故{z_n}是首项为2，公差为2的等差数列，正确。2.解析：由q_4=q_1q^3，即16=1×q^3，解得q=2或q=-2，正确。3.解析：由r_{n+1}=r_n+1，得{r_n}是首项为1，公差为1的等差数列，r_n=n，S_n=n(n+1)/2，正确。4.解析：S_{10}=(a_1+a_{10})×10/2=(3+(3+9×(-2)))×10/2=-140，正确。5.解析：由t_n=Z_n-Z_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^{n-1}-2n+1，当n=3时，t_3=2^2-2×3+1=-1，正确。6.解析：由u_4=u_1q^3，即8=2q^3，解得q=2或q=-2，正确。7.解析：由v_{n+1}=v_n+n，得v_{n+1}-v_n=n，故v_n-v_1=1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2，故v_n=n(n-1)/2+1，前5项为1，3，6，10，15，正确。8.解析：由w_n=(a_1+a_n)×n/2，即S_n=n(n+6)，正确。9.解析：由x_n=A_n-A_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n，当n=2时，x_2=2×2=4，正确。10.解析：由y_3=y_1q^2，即12=3q^2，解得q=2或q=-2，错误，正确答案为2或-2。四、简答题1.解析：由B_n=n^2+n，得b_n=B_n-B_{n-1}=n^2+n-[[(n-1)^2+(n-1)]=2n。2.解析：由a_5=a_1+4d，即14=2+4d，解得d=3。3.解析：由C_n=2^n-n，得c_n=C_n-C_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=3时，c