被控对象的数学模型课件

被控對象的數學模型第一節生產對象特點及其描述方法生產對象的特點:大,複雜,時間常數大.滯後大,具有非線性分佈參數和時變特性,建模困難。對象特性:對象的內在規律。研究對象特性:用數學的方法來描述對象的輸入量與輸出量之間的函數關係,即數學模型。對象的數學模型分為靜態數學模型和動態數學模型特性。靜態數學模型是描述對象在靜態時的輸入量與輸出量之間的關係;動態數學模型是描述對象在輸入量改變以後輸出量變化情況。輸入量:干擾和控制作用看作對象的輸入量。通道:由對象的輸入變數至輸出變數的信號聯繫。(通道不同,特性不同)控制通道:控制作用至被控變數的信號聯繫。

干擾通道:干擾作用至被控變數的信號聯繫。

研究對象特性框圖干擾作用和控制作用都是引起被控變數變化的因素。用於控制的數學模型和用於工藝的數學模型二者的區別：相同之處:基於同樣的物理和化學規律,原始方程可能相同。區別:用於控制的數學模型是在工藝流程和設備尺寸等確定的情況下,研究對象的輸入變數如何影響輸出變數的,研究的目的是為了使所設計的控制系統達到更好的控制效果。用於工藝的數學模型(一般是靜態)是在產品規格和產量確定的情況下,通過模型的計算,來確定設備的結構、尺寸、工藝流程和某些工藝條件,以達到最好的經濟效益。數學模型的主要形式:非參數模型和參數模型非參數模型:描述對象在受到控制作用或干擾作用後被控變數的變化規律,用曲線或數據表格等來表示的。特點是形象、清晰,比較容易看出其定性的特徵。根據輸入形式的不同,主要有:階躍反應曲線、脈衝反應曲線、矩形脈衝反應曲線。參數模型:用數字方程式來表示的。描述對象輸入、輸出關係的數學運算式:微分方程式、偏微分方程式、狀態方程式,對於線性的集中參數對象,可用常係數線性微分方程來描述：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y’(t)+a0y(t)=x(t)被控對象的特性對控制品質的影響很大,是確定控制方案的主要依據;只有先瞭解對象的特性,即內在規律,才能根據工藝對控制質量的要求,設計合理的控制系統,選擇合適的被控變數和操縱變數、選擇合適的測量元件及控制器。描述對象特性的主要方法數學模型法——機理建模和實驗建模

第二節、對象數學模型的建立一、建模目的(1).控制系統的方案設計:深入和全面地瞭解對象特性,是設計控制系統的基礎。(2).控制系統的調試和控制器參數的確定:為了控制系統安全投運並進行必要的調試,必須瞭解被控對象的特性。(3).制定工業過程操作優化方案:操作優化在不增加投資的情況下,獲得可觀的經濟效益。(4).新型控制方案及控制演算法的確定:用電腦構成新型控制系統時,離不開被控對象的數學模型。(5).電腦仿真與過程培訓系統:利用仿真技術,使操作人員在電腦上模仿實際的操作,安全、高效地培訓工作人員。(6).設計工業過程的故障檢測與診斷系統:利用開發的數學模型可及時發現工作過程中控制系統的故障及其原因,並提供正確的解決途徑。二、機理建模根據被研究對象或生產過程的內部機理,寫出各種有關平衡方程,如物料平衡方程.能量平衡方程.動量平衡方程及化學反應規律.電路基本定律等,獲得對象的數學模型。機理建模的方法：1.一階對象:用一階微分方程式描述的對象,為一階對象。(1).水槽對象:對象的輸入量是流入水槽的流量Q1;液位高度h為對象的輸出量;Q2隨液位高度變化,是中間變數;閥門2相當於負載,RS為出水閥的阻力係數;水槽橫截面積為A;Q2=h/RS

。靜態時:流入水槽的流量Q1等於流出水槽的流量Q2,系統處於平衡狀態,即液位h保持不變。動態時:Q1變化了,不再等於Q2,則h就變化。設Q1.

Q2.h為偏離初始平衡狀態的變化值。找出h與Q1的關係。根據物料平衡的原則:Q1dt=Adh＋Q2dt又因:Q2=h/RS

代入上式中,

整理得:

令T=RSAT稱為時間常數;k=Rs稱為放大係數。則有:此方程是一階常係數微分方程。(2).RC電路:ei為對象的輸入量,eo為輸出量,i為流過電阻R的電流,即中間變數。根據基爾霍夫定律有：

消去中間變數i得：令T=RC,K=1,則有：上式也是一階常係數微分方程。

2.積分對象積分對象:對象的輸出參數與輸入參數對時間的積分成比例關係,稱積分對象。如左圖液體貯槽,Q0為常數。有：Qidt=Adh

則有:具有積分特性。

3.二階對象當對象的動態特性可用二階微分方程來描述時,為二階對象。(1).串聯水槽對象如圖為兩貯槽串聯。對象的輸入量Qi,輸出量h2;R1為第一貯槽出水閥的阻力係數;R2第二貯槽出水閥的阻力係數;Q=h1/R1,Q0=h2/R2

；根據物料平衡的原則:Qidt=Adh1+Qdt,Qdt=Adh2+Q2dt其中h1.Q.Q2為中間變數。

(1).串聯水槽對象消去中間變數,整理得：

設T1=AR1第一貯槽的時間常數,

T2=AR2第二貯槽的時間常數,

K=R2

整個對象的放大係數。得：3.二階對象(2).RC串聯電路根據基爾霍夫定律有：

消去中間變數i1.i2整理得微分方程為：

上式是二階常係數微分方程。三.實驗建模實驗建模原則上是把被研究對象看作為一個黑箱,通過施加不同的輸入信號,研究對象的輸出回應信號與輸入激勵信號之間的關係,估計出系統的參數和數學模型,亦稱為系統辨識方法或黑箱方法。實驗建模不需要深入瞭解對象的內部機理。對複雜的對象,實驗建模比機理建模要簡單和省力。黑箱X1Xm輸入信號…….Y1…..輸出信號Ym對象特性的實驗測取法:在要研究的對象上,加一個輸入量後,用儀錶測取並記錄表證對象特性的物理量(輸出量)隨時間變化的規律,得到一系列實驗數據(或曲線),對這些數據或曲線再加以必要的數據處理,使之轉化為描述對象特性的數學模型。對象特性的實驗測取法按加輸入信號的形式不同來分：1.階躍反映曲線法當對象處於穩定狀態時,施加一階躍信號至輸入端,記錄輸出端的變化曲線。1.階躍反映曲線法在t=t0時,改變Q1值為A時,記錄h隨時間的變化規律,如右下圖。特點:較容易實現測試對象的動態特性,但精度不高。為了提高精度,要加大輸入作用的幅值,但影響正常工作,工藝上不允許。一般所加輸入作用的大小是額定值的5%-10%。2.矩形脈衝法當對象處於穩定狀態時,加入一個矩形脈衝干擾,這時測得輸出量y隨時間變化規律。特點:因加在對象上的干擾幅值可取得較大,可提高實驗精度,且時間短對生產影響小。是常用的方法之一。若已知系統的模型結構,可通過實驗來確定模型的某些參數,該法又稱系統的參數估計。週期擾動法:在對象的輸入端加入一系列頻率不同的週期性信號,如正弦波等。正弦波對工藝生產影響小,測試精度高,數據處理簡單直觀;但需有複雜的正弦信號發生器,測試工作量大。統計相關法:在生產正常情況下,直接利用正常運行所記錄的數據進行統計分析,建立數學模型,獲取對象的特性參數。需較長時間記錄數據,經分析篩選後進行複雜的計算,由於生產正常進行時數據波動不大,統計分析的精度不高。以上幾種實驗方法,都是在對象上加干擾作用(干擾量小、時間短),得到對象的動態特性的。通過實驗獲得對象的動態特性的注意事項：(1).加測試信號前,對象的輸入量和輸出量應盡可能穩定一段時間,否則影響測量結果的精度。(2).在反應曲線的起始點,對象輸出量未開始變化,而輸入量則開始作階躍變化。用碼錶測取從施加輸入作用的時刻到輸出量開始變化的時間。(3).為保證測試精度,排除干擾的影響,測試曲線應是平滑無突變的。(4).加測試信號後,注意各干擾與被控量的變化盡可能把與測試無關的干擾排除,被控量的變化應在工藝允許範圍內,一旦有異常,及時處理。(5).測試和記錄工作應該持續進行到輸出量達到新穩態值為止。(6).在反應曲線測試工作中，要注意工作點的選取。總之,機理建模和實驗建模各有特點,現將兩者結合起來,稱為混合建模。先由機理分析的方法得到數學模型,然後對未知或不確定的參數利用實測的方法加以確定。參數估計:在已知模型結構的基礎上,通過實測數據來確定其中的某些參數,稱為參數估計。

第三節描述對象特性的參數在一階躍輸入信號作用下,對象的特性可通過其數學模型來描述,但在實際工作中,用下麵三個物理量來描述對象的特性。稱對象的特性參數。一、放大係數(K)1.定義:對象重新穩定後,輸出變化量與輸入變化量的比值。如圖水槽對象:Q2不變,輸入量Q1有一階躍變化後,液位h也有相應的變化,但最後會穩定在某一數值上。在靜態(穩定狀態)時,一定的輸入對應著一定的輸出。這種特性稱為靜態特性。動態時:設Q1的變化量用ΔQ1表示,h的變化量用Δh表示。在一定的ΔQ1下,h的變化情況如右圖,在重新達到穩定狀態後,一定的ΔQ1值,對應著一定的Δh值。令K等於Δh與ΔQ1值比。即2.放大係數的物理意義放大係數是不隨時間變化的,是對象的靜態特性。自動控制系統中,各量與被控變數之間的放大係數有大有小。放大係數K越大,對輸出量的影響越大,被控變量對這個量的變化就越靈敏。2.放大係數的物理意義以合成氨廠的變換爐為例,說明各個量的變化對被控變數的放大係數是不同的。變換爐:一氧化碳和水蒸氣在觸媒作用下生成氫氣和二氧化碳。生產過程要求一氧化碳的轉化率高,蒸氣消耗量少,觸媒壽命長。生產上用變換爐的一段反應溫度作為被控變數,間接地控制轉換率和其他指標。其中主要影響溫度的因數有:冷激流量(1)、蒸汽流量(2)、和半水煤氣流量(3)。但三者對爐子反應溫度的影響不同。2.放大係數的物理意義冷激流量的變化對被控變數溫度的影響最大.最靈敏,其次是蒸汽流量的變化,最後是半水煤氣流量的變化。如果改變冷激量.蒸汽量.半水煤氣量的百分數是相同的,則變換爐一段反應溫度的變化情況如圖。在自動控制過程中,當允許有幾種控制手段時,應選放大係數大的操縱量,因為控製作用的放大係數大,控制作用強。對於干擾通道的放大係數,其值越大,干擾越大,越不易控制。二、時間常數（T）1.

定義:對象受到干擾後,被控變數達到新的穩態值所需要的時間,稱為時間常數(T)。2.物理意義:時間常數越大,對象受到干擾後,被控變數變化越慢,到達新的穩態值所需的時間越長。在生產實踐中發現,有的對象受到干擾後,被控變數變化很快,迅速達到新的穩態值;而有的對象受到干擾後,慣性很大,被控變數經過很長時間才達到新的穩態值。如下圖。(a)(b)(c)(d)圖(a)和圖(b),當進口流量改變量相同時,圖(a)中的液位變化慢,經過長時間才能穩定,而圖(b)中的液位變化快,迅速達到新的穩態值。圖(c)和圖(d),當蒸氣流量改變量相同時,圖(c)中的溫度變化快,迅速達到新的穩態值,圖(d)中的溫度變化慢,很長時間才能達到新的穩態值。在相同的控制作用下,時間常數大,則被控量的變化比較緩慢,這種過程比較穩定,容易控制,但控制過程緩慢。3.一階對象放大係數(K)和時間常數(T)的求法以貯槽對象特性為例,已知微分方程為：設Q1(Q1=A)為階躍作用,解微分方程得：h—t曲線為階躍反應曲線,如下圖。由反應曲線可知,當t→∞時,被控量達到新穩態值h(∞),由微分方程解得:h(∞)=KA,即K=h(∞)/A。K是對象靜態特性。一階對象時間常數（T）的求法將t=T代入式中,得:則,當對象受到階躍輸入後,被控變數達到新的穩態值的63.2%所需的時間,就是時間常數T。當t=∞時,h(∞)=KA當t=3T時,理論上,t=∞時,達到穩態值,但t=3T時,就近似地達到穩態值。圖2-17中,四條曲線分別表示在相同的階躍輸入信號作用下,不同的時間常數的被控變數的反應曲線。可見,T4>T3>T2>T1,對象的時間常數越大,對輸入的反應越慢,慣性越大,達到穩定時所需時間長。三、滯後時間有的對象,受到輸入作用後,迅速作出回應;而有的對象,受到輸入作用後,不能立即作出回應。1.滯後現象當對象的輸入信號發生變化後,輸出信號不會立即出現回應,而是過一段時間再作出回應,這種現象稱為滯後現象。根據滯後性質的不同分為傳遞滯後和容量滯後。2.傳遞滯後傳遞滯後又叫純滯後,純滯後時間(てo)的產生是由於介質的輸送需要一段時間而引起的。如下圖溶解槽,以料斗的加料量為對象的輸入,溶液濃度作為輸出時,其反應曲線如下圖左。純滯後時間(てo)與皮帶輸送機的傳送速度ν和傳送距離L的關係。如右圖,以進入的蒸汽量q為輸入量,輸出量為離槽距離為L的測溫點的溶液溫度。當q變化時,實測溫度T要經過てo後才變化。造成傳遞滯後的原因:從測量方面來說,由於測量點選擇不當、測量元件安裝不合適等。在實際工作中,要避免因儀器的取樣管線太長,取樣點太遠等原因引起的較大純滯後時間。無純滯後的對象特性方程yζ(t)=0y(t-ζ)t

>

ζt≤ζy

(t)=yζ(t+ζ)t

>

0t≤0yζ(t+ζ)=0有、無純滯後的一階階躍回應曲線如圖。X為輸入量,y(t)為無純滯後時的輸出量,yζ(t)為有純滯後時的輸出量。有純滯後的對象特性方程3.容量滯後定義:被控對象在階躍輸入x作用下,被控變數y開始變化很慢,後來才逐漸加快,最後又變慢直至逐漸接近穩定值,這種現象叫容量滯後。其反應曲線如右圖。原因:由於物料或能量的傳遞需要通過一定的阻力而引起的。3.容量滯後以水槽串聯