概率论与数理统计期末考试试题及答案

一、单项选择题(每题3分共18分)

若事件4、8适合尸(48)=0,则以下说法正确的是().

(A)A与8互斥(互不相容)；

(B)尸(4)=0或P(B)=0;

(C)在与8同时出现是不可能事件；

⑴(D)尸(4)〉0,则尸(44)=0.

(2)设随机变量X其概率分布为X-1012

P

则P[X<1.5}=()。

1

(A)(B)1(00(D)-

设事件A与A2同时发生必导致事件人发生，则下列结论正确的是()

(A)P(A)=P(AA)(B)P(A)>RA)+P(A)—1

1212

(C)P(A)=P(AA)(D)P(A)<P(A)+P(A)-1

1212

\xe-xx>0

1.D2.A3.B4.A5.A6.B填空题1.尸(B)2.

[0x<0

,（1）如果P（A）>0,P（B）>0,P（48）=P（A）,则门（pA）=

（2）设随机变量X的分布函数去

则X的密度函数f（x）=,P（X>2）=

ABP（A）=0.7P（AB）=0.88P（A-B）

三、（6分）设相互独立，，，求^

四、（6分）某宾馆大楼有4部电悌，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在

运行的概率均为，求在此时刻至少有I台电梯在运行的概率。

Le-x,x>0

五、（6分）设随机变量X的概率密度为f（M=<,

10,其它

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

六、（8分）已知随机变量X和V的概率分布为

（I）而且RXY=0}=i.求随机变量x和v的联合分布;（2）判断x与y是否相互独立？

七、（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

求；（1）R0<X«l,0<Y<2）；（2）求X的边缘密度。

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出

售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方

需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。

十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用

电量（单位：度）服从［0,20］上的均匀分布，利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超

过10100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数①（X）的值表示）

三、解：=P(48)=P(A)+P(8)—P(/W)

=尸⑷+P(B)-P(A)P(B)(因为.B相互独立)....2分

=0.7+P(B)-0.7P(B)................................................3分

则P(B)=0.6.......................................................4分

=0.7-0.7x0.6=0.28......................................6分

解.：用X表示时刻7运行的电梯数，则X~以4,0.7)................2分

所求概率p{x>1)=1-p{x=o!4分

=1-CO(O.7)O(1-O.7)4=..........................6分

4

解：因为＞'二2戈+1是单调可导的，故可用公式法计算.........1分

当xNO时，r>i.......j..-..i............彳'.....................2分

由y=2x+1,得x=------炉=口分

2,2

fy-11

A仔4

从而丫的密度函数为/()，)=(15分

*0y<1

h士y>1

,—1e2

2

-1.............6分

0y<1

解：因为p{xy=o}=i,所以p{xr工。}二0

⑴根据边税概率与联合概率之间的关系得出

-101

0000

1

............4分

111

(2)因为p{x=o,y=o}=o*p{x=o}p{y=o}=x=

224

所以X与丫不相互独立

...........8分

解：用X表示第i户居民的用电量，则X~30,20]

//

0+20（20-0）2100

EX==10DX==一.....2分

/12，123

则1000户居民的用电量为X=^X,由独立同分布中心极限定理

i

；=1

p{x>10100}=1-p{x<10100).........3分

解：（1）P（0<X<1,0<K<2）=Jdx]12e-（3.r+4v）6/y..2分

f2[°°][]

=J3e-^dxJ4e-^）dy--e-3x1-e-4y2

0000

=[1-^-3][1-6»-8].......................................................4分

（2）f（x）=J+F2e-（3.r+4））dy..........................................6分

X-X.

[3e-3tx>0、一，vJ\

=\......................8分因为X~e（_）得

[0x<04

x

[1e--x>0

/a）=〈44.............2分

|0x<Q

用y表示出售一台设备的净盈利

j100x>1

r=...........3分

[100-3000<X<1

p（y=100）=J+C：

则_e4dx4

P(r=-200)=fl1<=1-e\

丁e54...........................4分

o4

111

Er=100xe-+(-200)x(1-e-)=300^-200«33.64

所以444(元)

一、填空题(每小题3分，共30分)

1、”事件A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为_________________.

2、设尸⑷=0.7,P(AB)=0.3:则=□.

3、袋中有6个白球,5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的概率__________

4,设随机变量X的分布律为P(X=%)=；，伙=1,2,・..,8),则

O

5,设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布，则P(—2WX<4)=.

6、设随机变量X的分布律为，则y=X2的分布律是.

7、设随机变量X服从参数为九的泊松分布，且已知耳(X-1)(X-2)]=1,则九=.

8、设X,X，…,X是来自正态总体N(-2,9)的样本,X是样本均植，则¥服从的分布是

二、：本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,

乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放，现从中任取1

件进行检验.求：

(1)求取出的产品为次品的概率；

⑵若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率.

三•.(本题12分)设随机变量X的概率密度为

[kx,0<x<3

/W=<2—]，3<x<4(1)确定常数&;(2)求X的分布函数尸(»；(3)求

0,其它

四、(本题12分)设二维随机向量(x,y)的联合分布律为

试求:(1)«的值；(2)x与y的边缘分布律;(3)x与y是否独立?为什么？

五、(本题12分)设随机变量x的概率密度为

x,0<x<1,

/(x)=«2-x,1<x<2,求E（X）,O（X）

0,其他.

一、填空题(每小题3分洪30分)

014

C2。41X2

1、A4C或HU月U。2、3、H或五或4'15、6、1317、18、

3

ii555

N(-2,1)

二，解设A，A分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产，B表示取出的零件为次品，则由已知有

606505121101

尸①)==_，尸①)==_,P(8|A)=_=_,P(B\A)=_=02分

11101121101116052505

⑴由全概率公式得

P⑻=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)=lxL+£xl=l....................

1122711511557分

（2）由贝叶斯公式得

乐35

P（A产）=1幽幺=

______分

P⑻111

5

三、（本题12分）

解（1）p概率密度的性质知

故攵二K3分

6........................................

（2）当x00时,F（x）=J1=0；

x

当0vx<3时，F（x）=Pf（t）dt=i\tdt=^_X2.

当3Kx<4时，F(x)=Jv/⑺力="$

+'、力=—[X2+2X-3；

f1。64

当xN4时，F(x)=fx=J3%+

06▲2)

故X的分布函数为

,x<0

,0<x<3

9分

,3<x<4

,x-4151

-F(1)=10-=41

⑶

16124812分

2f2

四、

解（1）由分布律的性质知

故〃=0.3............................4分

（2）（x,y）分别关于x和y的边缘分布律为

X012

6分

P0.40.30.3

Y12

分

p0.40.6....................................................................................8

(3)由于尸{*=0,丫=1}=0.1,P{乂=0}。{丫=1}=0.4乂0.4=0.16,故

所以X与y不相互独立..........................................12分

五、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

求E(X),O(X).

n「A3"I2

100M(x)cLvJx2dxJx(2-x)dx=

解E(X)X2-_16分

-<X-01修1■3

凤X2)J+8x2f(x)6xJlsck+J

X2(2-x)dx=_9分

-oo016

-D(X)=E(X2)-[项X)]2=12分

6

填空题

(每空3分，共45分)

1、已知P(A)=,P(B)=,P(B|A)=,则P(A|豆)P(AUB)

1

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为9,A发生且B不发生的概率与B发生

且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率:

没有任何人的生日在同一个月份的概率

Aev,x<0

(P(x)=-1/4,0<x<2

0,r>2

4、己知随机变量X的密度函数为:，则常数A二,分

布函数F(x)=,概率P{-0.5<X<1}=

5、设随机变量X“B(2,p)、Y〜B(l,p),若P{X2l}=5/9,则p=，若

X与Y独立，则Z初ax(X,Y)的分布律：:

6、设X~B(200,0.01),y~P(4),且X与Y相互独立,则D(2X-3Y)=

1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为：

0<x<2

W)」上

[o.其它求：1)P{|2X—1卜2}；2)y=X2的密度函数Q(y)；3)

E(2X-1)；

2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1/4,|y|<x,0<x<2,

<p8y)=

i)0,其他求边缘密度函数力⑴即；

2)问X与Y是否独立？是否相关？计算Z=X+Y的密度函数中2仁)

1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是

3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概

率分别是1/4,1/3,l/2o现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

f1

x<0

2

Y

j.,0<x<2

24

CiC4X112Ce6!1,x>2

1一—1-

1、，；2、2/3；3、126,126；4、i/2,F(x)=I,

--------------T^f._o5---------------------------

P(-0.5<X<1}=4-2

：5、D=1/3,Z初ax(X,Y)的分布律：Z01

2P8/2716/273/27；

6,D(2X-3Y)=_____,

二...............777............................................................计算题

(35分)

Q

P{\2X-11<2}=P{-0.5<X<1.5}^J

1、解1)16

m\577=((P(「+、(-"))，>,>0

<Py3=仔//XY

0,y<0

0<y<4

2)I。，其它

45

E(2X-1)=2EX-1=2xJ-1=<

3)33

x

0<x<2-50<x<2

’2

其它0,其它

2)显然，帼，)')工、(那\()'),所以x与Y

不独立。又因为EY=0,EXY=0,所以,

C0V(X,Y)=0,因此X与Y不相关。

(P(z)=J+"(p(x,z—x)公

Z

[/Ja%o<z<4

0<z<4

T2了其它啮心

其它

3)⑼

1、解：设事件ALA2,A3,A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率

分别等于3/10,1/5,1/10和2/5,事件B表示“迟到”，

己知概率片8|《｝,，=123,4分别等于"*1/3,1/2,0

P{B)=p(A)P(BIA)=23

则j'f120

P(A)P(B\A)9P(A)P(B\A)8

P(A\B)=_i______i_=_P(A|8)二22

1P(B)232P⑻23

P(A)P(B|A)6,P(A)P(8|A)

P(A\B)=3尸(A|B)=44=0

3P(B)23AP(B)

由概率判断他乘火车的可能性最大。

一、填空题（每小题4分，共20分）

1、设事件A,8独立，且尸（4）=0.5,0（8）=0.6,则P（4R）=

[kx2f0<x<2

/W=1

2、设随机变量X的分布密度为10，其它，则女二--------

X-p

3