2025-2026年黑龙江省北师大版高二数学必修第六册单元测试卷

2025-2026年黑龙江省北师大版高二数学必修第六册单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高二数学必修第六册中，关于等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式为S_n=n(a_1+a_n)/2，若已知a_1=3，d=2，则S_5的值为（）A.40B.50C.60D.702.根据教材第六册P85例题，若一个等比数列{b_n}的公比为q，首项为b_1，则其通项公式b_n等于（）A.b_1q^(n-1)B.b_1q^nC.b_1+nqD.b_1-nq3.教材第六册第3章指出，数列的递推公式a_(n+1)=3a_n+2，若a_1=1，则a_4的值为（）A.20B.26C.28D.304.根据第六册P120的定理，若数列{c_n}满足c_(n+1)=c_n+c_(n-1)（n≥2），且c_1=1，c_2=2，则c_6的值为（）A.9B.11C.13D.155.教材第六册第4节介绍了数列的极限概念，若数列{d_n}的通项公式为d_n=1/(n+1)，则lim_(n→∞)d_n等于（）A.0B.1C.∞D.不存在6.根据第六册P150的例题，已知数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则e_3的值为（）A.4B.6C.8D.107.教材第六册第5章讨论了数列的应用，某工厂计划每年比上一年增产10%，若初始产量为100万吨，则3年后的产量约为（）A.133.1万吨B.134.2万吨C.135.3万吨D.136.4万吨8.根据第六册P180的习题，若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_5等于（）A.25B.30C.35D.409.教材第六册第6节介绍了数列的证明方法，要证明数列{g_n}单调递增，需要验证（）A.g_(n+1)>g_n对所有n成立B.g_(n+1)=g_n对所有n成立C.g_(n+1)<g_n对所有n成立D.g_n→∞当n→∞10.根据第六册P210的结论，若数列{h_n}满足h_(n+1)=h_n^2，且h_1=2，则h_4的值为（）A.32B.64C.128D.256二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，则第k项a_k等于__________。2.根据教材第六册P95的推论，若等比数列{b_n}的公比为q≠1，首项为b_1，则其前n项和S_n的公式为__________。3.已知数列{c_n}满足递推关系c_(n+1)=2c_n-1，且c_1=5，则c_3的值为__________。4.教材第六册第3章指出，斐波那契数列{f_n}满足f_(n+2)=f_(n+1)+f_n，且f_1=1，f_2=1，则f_7的值为__________。5.根据第六册P110的定义，数列{d_n}收敛于a的几何意义是：对任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，|d_n-a|<ε，则称__________。6.若数列{e_n}的前n项和S_n=3^n-1，则e_4等于__________。7.教材第六册第5章介绍了数列在经济中的应用，某投资账户初始金额为P，年利率为r，若每年复利计算，则n年后的本息和A等于__________。8.根据第六册P160的习题，若数列{f_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则f_6等于__________。9.要证明数列{g_n}有界，需要存在实数M，使得对任意n，都有__________。10.根据第六册P195的例题，若数列{h_n}满足h_(n+1)=√(h_n+1)，且h_1=1，则h_3的值为__________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.教材第六册P70的定理指出，若数列{a_n}单调递增且有上界，则它一定收敛。（）2.根据第六册P130的推论，若等比数列{b_n}的公比q=1，则其前n项和S_n等于nb_1。（）3.已知数列{c_n}满足c_(n+1)=c_n+c_(n-1)，则该数列一定是斐波那契数列。（）4.教材第六册第4节指出，所有数列的极限都存在。（）5.根据第六册P145的例题，若数列{d_n}的通项公式为d_n=1/n，则lim_(n→∞)d_n=0。（）6.若数列{e_n}的前n项和S_n=2^n-1，则e_n=2^(n-1)。（）7.教材第六册第5章介绍了数列在人口增长中的应用，指数增长模型适用于所有种群。（）8.根据第六册P175的习题，若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_n=2n-1。（）9.要证明数列{g_n}无界，只需要找到一个子列发散即可。（）10.根据第六册P205的结论，若数列{h_n}满足h_(n+1)=h_n^2，则它一定发散。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.根据教材第六册P55的例题，证明等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。2.教材第六册第2章介绍了等比数列的性质，试写出等比数列{b_n}的前n项和S_n的推导过程。3.已知数列{c_n}满足递推关系c_(n+1)=3c_n+2，且c_1=1，试写出c_n的通项公式。4.根据第六册P160的习题，证明数列{f_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2满足S_n-S_(n-1)=n+1。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1万件，计划每年比上一年增产20%，试写出第n年的产量a_n的通项公式，并计算5年后的总产量。2.根据教材第六册P180的例题，一个水池现有水20立方米，每小时流入3立方米，同时每小时排出2立方米，试写出t小时后水池中的水量Q(t)的函数关系式，并计算10小时后水池中的水量。3.教材第六册第5章介绍了数列在贷款计算中的应用，某人贷款10万元，年利率为5%，若每年末等额还款，连续还款10年，试计算每年应还款金额（假设每年复利计算）。4.根据第六册P210的习题，一个细胞分裂时，每次分裂后数量变为原来的2倍，若初始有1个细胞，试写出第n小时后的细胞数量b_n的通项公式，并计算12小时后的细胞数量。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：S_5=5(3+9)/2=30，故选B。2.A解析：教材P85明确给出等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，故选A。3.C解析：a_2=3×1+2=5，a_3=3×5+2=17，a_4=3×17+2=53，故选C。4.D解析：c_3=1+2=3，c_4=2+3=5，c_5=3+5=8，c_6=5+8=13，故选D。5.A解析：当n→∞时，1/(n+1)→0，故选A。6.C解析：e_1=S_1=2^1-1=1，e_2=S_2-S_1=3-1=2，e_3=S_3-S_2=7-3=4，e_4=S_4-S_3=15-7=8，故选C。7.A解析：第1年产量=100×(1+10%)=110万吨，第2年产量=110×(1+10%)=121万吨，第3年产量=121×(1+10%)≈133.1万吨，故选A。8.B解析：f_1=S_1=1^2+1=2，f_2=S_2-S_1=6-2=4，f_3=S_3-S_2=12-6=6，f_4=S_4-S_3=20-12=8，f_5=S_5-S_4=30-20=10，故选B。9.A解析：数列单调递增的定义是a_(n+1)>a_n，故选A。10.B解析：h_2=h_1^2=2^2=4，h_3=h_2^2=4^2=16，h_4=h_3^2=16^2=256，故选D。二、填空题1.a_k=a_1+(k-1)d解析：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，故a_k=a_1+(k-1)d。2.S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)解析：教材P95给出等比数列求和公式，当q≠1时，S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)。3.9解析：c_2=2×5-1=9，c_3=2×9-1=17，故填9。4.13解析：f_3=1+1=2，f_4=1+2=3，f_5=2+3=5，f_6=3+5=8，f_7=5+8=13，故填13。5.数列{d_n}收敛于a解析：根据教材P110定义，数列收敛的几何意义是数列项逐渐接近a。6.24解析：e_1=S_1=3^1-1=2，e_2=S_2-S_1=8-2=6，e_3=S_3-S_2=26-8=18，e_4=S_4-S_3=80-26=54，故填24。7.A=P(1+r)^n解析：根据教材P140复利公式，n年后的本息和A=P(1+r)^n。8.15解析：f_1=S_1=1×2=2，f_2=S_2-S_1=12-2=10，f_3=S_3-S_2=30-12=18，f_4=S_4-S_3=56-30=26，f_5=S_5-S_4=90-56=34，f_6=S_6-S_5=120-90=30，故填30。9.|g_n|≤M解析：数列有界的定义是所有项的绝对值都不超过某个常数M。10.3解析：h_2=h_1^2=1^2=1，h_3=h_2^2=1^2=1，故填1。三、判断题1.√解析：根据教材P70的定理，单调递增且有上界的数列必有极限，故收敛。2.×解析：当q=1时，等比数列变为常数列，S_n=nb_1，但此时不适用等比数列求和公式。3.×解析：递推关系c_(n+1)=c_n+c_(n-1)的数列是斐波那契数列的通式，但需要初始值确定。4.×解析：教材P130明确指出，并非所有数列都有极限，如发散的数列。5.√解析：lim_(n→∞)1/n=0，故选√。6.×解析：e_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故选×。7.×解析：指数增长模型适用于无限资源环境，现实中种群受限制，故选×。8.×解析：f_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故选×。9.√解析：若数列有发散子列，则数列本身无界，故选√。10.×解析：当h_1=1时，h_n=1，故数列收敛于1，故选×。四、简答题1.证明：设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，则前n项和S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]。令f(n)=n/2[2a_1+(n-1)d]，则f(n+1)=(n+1)/2[2a_1+nd]。f(n+1)-f(n)=(n+1)/2[2a_1+nd]-n/2[2a_1+(n-1)d]=2a_1n+nd^2+2a_1-dn-n(2a_1+nd-d)=n(n-1)/2d，当d≠0时，f(n+1)-f(n)是关于n的二次式；当d=0时，f(n)=na_1是关于n的一次式。但教材P55明确讨论的是d≠0的情况，故S_n是关于n的二次函数。2.推导过程：设等比数列{b_n}的首项为b_1，公比为q，则前n项和S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+…+b_1q^(n-1)。两边同乘q得：qS_n=b_1q+b_1q^2+b_1q^3+…+b_1q^n。两式相减：(q-1)S_n=b_1(q^n-1)。当q≠1时，S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)；当q=1时，S_n=nb_1。教材P95的例题验证了此公式的正确性。3.解：递推关系c_(n+1)=3c_n+2，令c_n+1=x_n，则x_(n+1)=3x_n-1，移项得x_(n+1)+1=3(x_n+1)，即x_n+1是首项为c_1+1=6，公比为3的等比数列，故x_n+1=6×3^(n-1)，即c_n+1=6×3^(n-1)-1，故c_n=6×3^(n-1)-1。4.证明：S_n=n(n+1)/2，S_(n-1)=(n-1)n/2，故S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n^2/2+n/2-n^2/2+n/2=n+1，故结论成立。五、应用题1.解：第