云南省昭通市市直中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

云南省昭通市市直中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数,则z的虚部为(

)A. B. C.2 D.2．如图,在三棱柱中,设,,,是的中点,则可表示为(

)A. B.C. D.3．已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为(

)A. B. C. D.4．已知事件A和B互斥,满足,,则(

)A. B. C. D.5．若平面向量两两的夹角相等,且,,,则(

)A.2 B.5 C.2或5 D.或6．如图,在长方体中,,M为中点,则直线与所成角的余弦值为(

)A. B. C. D.7．在中,边上的高等于,则(

)A. B. C. D.8．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为(

)A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共

18

分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．五位同学每人各掷一次骰子,记录骰子出现的点数,下列选项中可能出现点数6的是(

)A.中位数为3,众数为3 B.平均数为3,众数为4C.平均数为3,中位数为3 D.平均数为2,方差为10．已知的内角A、B、C的对边分别为,则下列命题中正确的是(

)A.若,则一定是等边三角形B.若,则一定是等边三角形C.若,则一定是等边三角形D.若,则一定是锐角三角形11．如图,四棱锥的底面为正方形,平面,,,动点M在线段上,则(

)A.四棱锥的外接球表面积为B.存在点M,使得C.的最小值为D.点M到直线的距离的最小值为三、填空题（本大题共3

小题，每小题5

分，共

15

分)12．已知向量,,与垂直,则实数____________.13．甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,,若,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为_______________.14．如图,在边长为2的正方形中,点E是的中点,点F是的中点,将,,分别沿折起,使三点重合于点,则三棱锥的体积是___________,三棱锥的内切球的体积是______________________四、解答题15．（13分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~五组区间分别为,,,,）.(1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值；(2)利用频率分布直方图,估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；(3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.16．（15分）已知在三棱柱中,平面,,,分别是线段,的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.17．（15分）在中,已知,三角形外接圆半径为.(1)求的大小；(2)求面积的最大值.18．（17分）近年来,共享电动车在许多城市迅速流行起来,成为人们日常出行的重要选择.已知某品牌共享电动车收费标准如下：按租车时间t（分钟）分段计算,时,收费3元,时,收费4元,时,收费5元.现甲,乙两人各租了一辆该品牌电动车,甲,乙两人的租车时间的概率分别为,,的概率分别为,两人的租车时间都不超过60分钟,甲乙租车相互独立.(1)求甲乙两人所付租车费用相等的概率；(2)求甲乙两人所付租车费用和不大于8元的概率.19．（17分）在中,,,,D、E分别是、上的点,满足且,将沿折起到的位置,使,M是的中点,如图所示.(1)求证:平面;(2)求与平面所成角的大小;(3)在线段上是否存在点N,使平面与平面所成角的余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：C2．答案：A3．答案：C4．答案：C5．答案：C6．答案：A7．答案：B8．答案：A9．答案：AC10．答案：AC11．答案：ABD12．答案：13．答案：14．答案：;15．(1)由题意可知,年龄在内的频率为,故年龄在内的市民人数为.由图可得,解得.(2)由题意得平均数为,前三组的频率和为,第四组的频率为,所以第80百分位数在第四组,第80百分位数为.(3)由题意得第3组的人数,第4组人数都多于20,且频率之比为,所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈,所以应从第3,4组中分别抽取3人,2人.记第3组的3名分别为,,,第4组的2名分别为,,则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为,,,,,,,,,,共有10种.其中第4组的2名,至少有一名被选中的有,,,,,,,共有7种,所以至少有一人的年龄在内的概率为.16．(1)证明：取的中点F,连接,.因为在中,E是线段的中点,F是线段的中点,所以,.又在三棱柱中,,D是线段的中点,所以,.所以,,所以四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)取的中点G,连接,在四边形中,G是的中点,F是线段的中点,所以,又平面,,平面,所以,,又,所以,,在中,,所以是以为底边的等腰直角三角形,又F是线段的中点,所以.以F为坐标原点,,,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,,设平面的法向量为,由得,令,则；设平面的法向量为,由得,令,则,设二面角为,则,结合图象可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值是.17．(1)因为,所以.在中,,所以.所以或.因为,所以,则.(2)由正弦定理得.由余弦定理得即又因为,所以,则,当且仅当时等号成立.所以.即面积的最大值为.18．(1)甲、乙两人所付费用相同即同为3,4,5元.都付3元的概率为；都付4元的概率为；都付5元的概率为；故所付费用相同的概率为.(2)设两人费用之和为6、7、8的事件分别为事件A、B、C；则,,.设两人费用之和不大于8的事件为M,则,所以两人费用之和不大于8的概率.19．(1)因为在中,,,且,所以,,则折叠后,,,又,、平面,所以平面,因为平面,所以,又因为,,、平面,所以平面.(2)由(1)可知,平面,,以点C为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,翻折前,在中,,则,则,则,则,,翻折后,因为平面,平面,则,所以,,,则,故,,,,,,,,,设平面的法向量为,则,不妨令,则,,则.设直线与平面所成角的大小为,则有,则,直线与平面所成角的