海南省三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

海南省三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列关于空间向量的说法中错误的是（

）A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（

）

A． B．C． D．3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（

）A． B． C． D．4．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（

）A． B．事件与事件互斥C．事件与事件相互独立 D．6．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（

）A． B． C． D．7．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是B．若A，B是互斥事件，则C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若构成空间的一个基底，则，，必共面B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角D．点关于平面对称的点的坐标是11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（

）A．B．直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．存在实数使得三、填空题12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______.13．已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________．14．把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________．四、解答题15．的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．16．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值；(2)求甲队得分与乙队得分为1:2的概率.17．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点.

(1)求证：；(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.18．某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求出图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(3)若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生：（ⅰ）写出该试验的样本空间；（ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率．19．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．C2．B3．C4．D5．C6．B7．C8．D9．AC10．ABD11．BD12．/2.513．414．/15．（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.16．（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且，，乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且（2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为，则，即甲队得分与乙队得分为1:2的概率为.17．(1)证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，则，所以，即（2）由（1）可得，，设平面的法向量为则，解得，取，则所以平面的一个法向量为，又因为，设AB与平面所成角为，所以，所以直线AB与平面所成角的正弦值为.18．（1）解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，可得，解得.（2）解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为，所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人.（3）解：成绩来自的学生人数为人，记为，成绩来自的学生人数为人呢，记为，则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点，设“两名学生数学成绩至多有一名及格”，则，其中含了9个样本点，所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率.19．(1)证明：在梯形中，，，，P为的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，故，而平面，平面，平面.（2）由（1）得，，，故，，而平面平面