2027版三维设计 高中总复习数学第三章重难专攻3　不等式的证明问题_第1页
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文档简介

重难专攻3不等式的证明问题重难解读在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题.作差构造函数证明不等式（师生共研过关）

（2023·新高考Ⅰ卷19题）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.（1）讨论f（x）的单调性；解：

f'（x）＝aex－1，x∈R.

当a≤0时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；当a＞0时，令f'（x）＞0，得x＞－ln

a；令f'（x）＜0，得x＜－ln

a，所以函数f（x）在（－∞，－ln

a）上单调递减，在（－ln

a，＋∞）上单

调递增.综上，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（－∞，－ln

a）上单调递减，在（－ln

a，＋

∞）上单调递增.

作差构造法证明不等式的基本步骤（1）作差或变形：将不等式f（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））变

形为f（x）－g（x）＞0（或f（x）－g（x）＜0）；（2）构造新函数：构造函数h（x）＝f（x）－g（x）；（3）利用导数研究函数h（x）的性质，得到所证不等式.训练1

（2026·湖南长沙模拟节选）已知函数f（x）＝x2ln

x.（1）求函数f（x）的极值；

（2）证明：对任意的x∈（0，＋∞），f（x）≥x－1.

构造双函数证明不等式（师生共研过关）

已知函数f（x）＝xln

x＋x.（1）求函数f（x）的最小值；

若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个

函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.一般地，ex与ln

x要

分离，常构造xn与ln

x，xn与ex的积、商的形式.训练2已知函数f（x）＝axln

x＋x2，g（x）＝ex＋x－1，0＜a≤1，求

证：f（x）＜g（x）.

双变量不等式的证明（师生共研过关）

将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数

的单调性及最值，从而得到所证不等式，或者要求证的不等式等价变形，

然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性证得不等式.训练3

（2026·江苏连云港模拟节选）若x1，x2是h（x）＝x2＋ln

x－bx的

两个不同的极值点，证明：h（x1）＋h（x2）＜－3－ln

2.

课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：50分）

1234

1234

1234

1234

12344.

（15分）已知函数f（x）＝（a＋1）ln

x＋ax2＋1.（1）讨论函数f（x）的单调性；

1234

1234（2）设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈

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