【《永磁同步电机数学模型分析》4900字】

永磁同步电机数学模型分析目录TOC\o"1-3"\h\u28140永磁同步电机数学模型分析 1318241.1永磁同步电机工作原理 1248391.2正弦波永磁同步电机数学模型 222191.2.1三相交流坐标系下永磁同步电机数学模型 2164061.2.2坐标变换与变换矩阵 6163201.2.3永磁同步电机模型 7317971.2.4永磁同步电机模型 101.1永磁同步电机工作原理当由三相逆变器经脉宽调制的三相交流电压通入永磁同步电机的三相定子电枢绕组部分时，定子电枢会形成一个空间旋转磁场,由于永磁体作为转子其自身也会产生固定的旋转磁场,两个磁场相互作用,产生与定子旋转磁场旋向相同的电磁转矩输出,向外界输送能量,当输出的转矩超过转子的摩擦转矩以及由于永磁体的阻尼转矩时,电机开始向外做功,促使电机转动,并不断加速直至同步。对于永磁同步电机而言，永磁体产生转子磁通，三相定子绕组通入三相对称交流电产生定子旋转磁动势。磁动势等于磁通与磁阻的乘积，对于转子其自身也产生了一个旋转磁动势。由于定子绕组作为电枢绕组起到磁关系与电关系的枢纽作用,将磁能量转换为电能量,通过绕组输送给外界,实现机电能量转换，即定子是永磁同步电机里的电枢结构，因此定子旋转磁动势又被称作电枢旋转磁动势。因为转子永磁体产生的磁通是励磁磁通，所以转子旋转磁动势又被称作励磁旋转磁动势。图2-1定子磁动势及转子磁动势1.2正弦波永磁同步电机数学模型1.2.1三相交流坐标系下永磁同步电机数学模型研究永磁同步电机矢量控制技术的基础是先对电机建立数学模型。实际工程中永磁同步电机磁化特性曲线呈非线性，一定程度后会呈现饱和现象，而不会一直递增。其动态方程是一个高阶微分方程，很难对它进行准确求解，需要进行一定程度的简化才能有效分析。因此先做如下假设：（1）气隙磁场呈正弦分布；（2）定子绕组为Y型接法，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°，产生理想正弦磁动势；（3）电机参数（绕组电阻和电感）恒定；永磁体不受阻尼影响；（4）忽略铁心饱和效应的作用，不计磁滞损耗和涡流损耗带来的影响。下图是定子三相绕组轴线组成的ABC坐标系,各相绕组轴线在空间上互差120°。假设在某时刻定子电流的参考方向如图里所示,用一对磁极模拟永磁铁作为转子,可以观察到转子磁极在定子里,。图2-2定子三相空间坐标系电压方程为：（2-1）、、为定子绕组端电压,、、为定子绕组相电流,为定子绕组电阻,P为微分算子(d/dt),、、为三相绕组全磁链。磁链方程为：(2-2)中是转子轴线与三相坐标系的空间位置角，是转子旋转角速度，，，为定子各相绕组自感，，，，，，为定子各相绕组间互感，，，为转子磁链在定子每相绕组中产生的交链。由假设(2)可得如下关系：(2-3)当用表示以a相电枢绕组为基准往电机旋转方向取的转子磁极的角度(电角度)时，不考虑由谐波磁通、谐波磁势、谐波磁场产生的电磁转矩和对应的谐波电势，转子磁链在三相绕组里产生的交链(2-4)式中,为当转子磁极正好分别与三相电枢绕组轴线重合时交链的磁链,即、、的最大值,对于具体的永磁同步电机是定值。转子角速度(电角度)与转子位置角之间的关系(2-5)转子角速度与转子磁极机械角速度之间的关系为(2-6)式中p为极对数。此时定子相绕组电动势为(2-7)电压方程为(2-8)当定子电枢绕组为形联结,以及没有引出中性线时,流过三相绕组的电流对称(2-9)将式(2-9)代入式(2-8)得到电压方程(2-10)以电励磁三相隐极同步电机的物理模型为依据，则电磁转矩为(2-11)为转子磁链矢量，为定子电流矢量，为转矩角也就是转子磁链到定子电流的夹角。式(2-11)同理可用于电机为永磁同步电机的情况,与此同时永磁体提供转子磁场。定子电流为(2-12)运算子,,且有。电磁转矩可以用与定子绕组交链的永磁体磁链与定子绕组电流乘积的和来计算，电磁转矩方程：(2-13)/结合式(2-7)化简可得三相坐标系下的电磁转矩：(2-14)运动方程为(2-15),J为转动惯量，B为阻尼系数，是负载转矩。由于为摩擦损失在电机比例中所占比例小不到1%,此处为简化不考虑它的影响。运动方程为(2-16)从式(2-16)可以分析到在负载转矩和转动惯量恒定时,唯一能影响转矩的是电磁转矩。对电磁转矩的调整控制成为了调速系统性能的关键。式(2-2)、式(2-10)、式(2-13)和式(2-16)一共4个特性方程构成了abc坐标系中PMSM数学模型。在电压方程和磁链方程里面，定子磁链是一个关于转子位置角的函数,当定子和转子之间的相对位置随着时间发生改变时,定子磁链也会跟着改变。在内部结构上来看永磁同步电机定子和转子之间存在磁电结构不对称的情况,这就导致在该坐标系下的电压方程和磁链方程尤其变得复杂。在磁链方程里既存在着定转子绕组之间互相耦合，又存在着定子三相绕组的相互耦合，转矩方程除此之外还有着磁场与定子电流转子电流之间的互相影响，这些耦合关系源于方程里面存在一个变系数电感矩阵,磁链方程里的自感系数随着转子角而周期性变化,转子角又是时间的函数,故而一些自感系数和互感系数也将随着时间而周期性变化。电压方程是由磁链方程代入化简的,则电压方程也是一组以时间的周期函数为系数的微分方程。从数学表达式来看电压方程里含有算子P，转矩方程含有,由此可见,则电压方程和转矩方程在数学角度来看也是变系数微分方程。与转矩方程、磁链方程和电压方程过于复杂的表达式相比运动方程则显得较为简单。由上述方程可知,磁同步电机的数学模型是一组与转子角有关的非线性时变微分方程，是一个过于复杂还互相耦合的多变量系统。在该坐标系对这类方程组的求解是颇为困难的，要想使其具有直流电机那样的数学模型,必须选择合适的坐标变换对数学模型进行降阶和解耦变换，只有在不同坐标平面通过方程的化简才能对其进行处理。1.2.2坐标变换与变换矩阵对于永磁同步电机,矢量控制借助于对定子电流等交流量的控制实现对转矩的控制。在定子侧的各物理量都是交流量，其空间矢量以同步转速在空间旋转，对其调节、控制和计算均不方便。因此，需借助于坐标变换的方法，使各物理量从静止坐标系转换到同旋转坐标系。从同步旋转坐标系观察，电动机的各空间矢量都变成了静止矢量。对于永磁同步电机定义坐标系的轴与定子a相绕组重合，轴逆时针超前轴90°空间电角度。由于轴固定在a相绕组轴线上，故坐标系为两相静止坐标系。同时定义由坐标系的d轴与转子磁极轴线重合，q轴逆时针超前d轴90°空间电角度，是直轴与重合的定子绕组之间的夹角,该坐标系跟着转子一起旋转,旋转的角度被称为电角速度，故dq坐标系称为两相旋转坐标系。通用变量为abc坐标系中的三阶矩阵，为坐标系中的二阶矩阵，这些向量可以替换为电压、磁链和电荷等，坐标系之间的变换即为Clark变换，坐标系之间的变换即为Clark逆变换。abc坐标系与坐标系相互变换关系为(2-17) (2-18)通用变量为坐标系中的二阶矩阵，为坐标系中的二阶矩阵，以上变量可以替换为电压、电流、磁链、电荷等；坐标系与坐标系夹角为，从静止坐标系到旋转坐标系的变换叫作2s/2r变换，也叫Park变换，为Park逆变换，关系式如下：（2-19）（2-20）设通用变量为ABC坐标系中的三阶矩阵,为坐标系中的二阶矩阵,同理参数可替换为其他交流量。定子坐标系与坐标系互相变换关系为(2-21)(2-22)以上变换是采用磁场等效的原则，在旋转变换时保持磁通不变从而使磁动势守恒。1.2.3永磁同步电机模型两相静止坐标系即在同一平面上，用一个匝数相同、电阻相等、互相正交的对称两相绕组，代替匝数相同、电阻相等、互差120°的三相定子绕组，这两个坐标系分别称为两相静止坐标系和三相静止坐标系abc,坐标之间互相变换时，将abc坐标系的a轴与坐标系的轴重合,轴与轴逆时针正交，abc坐标系坐标轴按照逆时针方向旋转。将三相交流坐标系abc变换到坐标系，当采用幅值不变作为约束条件时,变换前的系数是。对于三相对称系统，在计算坐标系下的变量时，零序分量可忽略不计。图2-3abc坐标系与坐标系的空间矢量关系三相对称绕组通入三相对称电流、、，各相磁势分别为、、，总磁势为；两相对称绕组通入两相电流、，两相磁势为、，总磁势为。将两个绕组的匝数及电流互相转换，便能够让它们产生的磁势完全等效，为简化方便，将及的旋转方向设置为同向，同时将及重合。这样三相绕组产生的磁势可与两相绕组产生的磁势完全等效。为了化简电机在三相坐标系里的方程，三相定子绕组的有效匝数记为,两相对称绕组的有效匝数记为。以幅值不变作为前提，根据磁场等效原则，得到。换而言之abc坐标系与之间虽然坐标系的相数改变了，但是磁动势的分量依然保持一致,可得两轴坐标系上的表达式为(2-23)(2-24)二者变换的表达式为(2-25)(2-26)将式(2-17)和式(2-18)代入到定子坐标系下永磁同步电机的各个方程，就可计算出坐标系下的各个方程。(2-27)(2-28)电压方程为(2-29)磁链方程为(2-30)因为表贴式永磁同步电机结构比较特殊存在，所以对式（2-30）改写：(2-31)转矩方程表示为(2-32)为永磁磁极产生的与定子绕组交链的磁链,为当转子磁极正好分别与、相电枢绕组轴线重合时的磁链，代表直轴电感、表示交轴电感。以上公式可知，相比较于abc坐标系下的模型得到了一定简化，将三相坐标系的三个分量转换为坐标系的两个分量，即实现了矩阵降阶，减弱了系统的非线性和耦合程度，在该模型下的运动方程与abc坐标系下的方程相似，因与电机运动感状态有关，不涉及电机的电、磁参量，其表述简单。但对于内置式永磁同步电机，其，使得电压方程、磁链方程、转矩方程仍是具有一定耦合的非线性方程组。由此需要继续对方程组简化。1.2.4永磁同步电机模型坐标系是围绕着电机内部的转子旋转的动态旋转坐标系。d轴与转子的励磁磁链方向在同方向，q轴逆时针超前d轴90°空间角,变换关系如图2-4。图2-4()与坐标系的空间矢量关系磁链方程为(2-33)式中：，为永磁同步电机d,q轴主电感；，为永磁同步电机d,q轴主电流；为永磁转子在定子上产生的磁链。电压方程为(2-34)将磁链方程式(2-33)带入电压方程式(2-34)并整理得(2-35)式中：和为定子电阻和电角速度。根据上式可以画出图2-5,为永磁同步电机的电压等效电路，从图中可以直接看出永磁同步电机的数学模型可以分开控制,也就是实现了不完全解耦,因为电角度和电感电流仍存在一定的耦合。图2-5永磁同步电机的电压等效电路电磁转矩方程为(2-36)可将式(2-36)表示为(2-37)于是有(2-38)为dq坐标系下的定子磁链矢量,为dq坐标系下的定子电流矢量。式(2-38)为dq坐标系下的电磁转矩方程，由于和在电机内不是虚拟量而是客观存在的实际量，当坐标系发生转换时，两者之间的相互作用并不受此影响,所以转矩值也不会改变，式(2-38)是可适用于abc坐标系、坐标系和坐标系的通用式子具有普遍性。对于表贴式PMSM,由，可将式(2-38)表示为(2-39)为定子磁链方程,是与电枢磁场相对应的电枢磁链,。转矩可分为两部分：(2-40)在式（2-40）里面转矩可分为两部分，前面部分叫做电磁转矩,是永磁体气隙磁链与交轴电流作用的1.5倍乘积，后面部分称为磁阻转矩,是由于转子凸极效应导致定子电流的两个分量分别是转矩分量和励磁分量共同作用产生的。（2-41）（2-42）根据这些式子可得永磁同步电机在dq坐标系下的矢量图。图2-6永磁同步电机矢量图与表贴式电机结构不同,内置式永磁同步电机的结构存在的关系,当直轴电流的流向为负的时候,磁阻转矩与电磁转矩同方向叠加,共同成为输出转矩的一部分。从图2-6可看出，直