【《静电场的计算方法概述》3200字】

PAGE51大学硕士学位论文静电场的计算方法概述针对不同情况的电场分布，下面主要对单个点电荷和两个点电荷部分电力线分布运用不同计算方法进行求解。电场线的直接计算法若对单个正的点电荷（略掉其他系数和电量）所形成的电位分布进行研究，设它在坐标原点的话(6)该电位是圆对称分布的，那么它的每一条电力线都是直线并且从中心出发，直至无穷远。下面对计算该电荷的电力线进行验证，使用NDSolve[]函数。单个点电荷电场线的直接法计算由于不可能算到无穷远，那么以两个同心圆设定为要求解的区间，两圆心均为原点，圆中较小的半径为r，较大的就为R，所求的电力线是从小圆周上某些点出发的，到大圆终止。在程序中用forceline储存每次所画出的一条电力线，最后用Show[]函数将所有画出来的电力线一起显示出来，结果显示是呈现放射状的，说明了该电荷的电力线就是从中心射向无穷远的直线。位于原点的正电荷的电力线分布用直接法计算程序代码如图1所示点电荷电力线分布直接法计算程序代码位于原点的正电荷用直接法计算结果的电力线分布如图2所示点电荷直接法计算结果的电力线分布计算过程中要注意三点：①在用导数求出电场强度后，在进入equ之前，应将y替换成，才能正确求解。K为储存替换的结果，0ut［4］显示了这个结果。②Do[]循环以为变量：在小圆周上取了11个初始点，其中有两个是重合的，其余的等间隔分布在圆周上，每个点的坐标是，用角度表示为。由于小圆半径r很小，画出来的小圆就成了一个点，因此仔细观察是可以看见的。③在下次循环之前要清除y的值。两个点电荷电场线的直接法计算下面来计算由两个电荷形成的电力线分布。若按照直接计算法来计算的话，需要满足这样的条件：由于单值函数是若对定义域每一个自变量x，其对应的函数值f(x)是唯一，意味着只朝着一个方向，无法出现如图3那样“迂回”的情况。非单值函数曲线根据中学物理所学习到的，若是两个电荷产生的电场，电力线就可能是平面上的双直曲线，所以就不能用NDSolve[]函数来求解了。不过可以只对为单值曲线这部分的电力线进行研究。那么用直接计算法的话，正电荷位于，负电荷位于，它们所产生的电位分布为(7)从正电荷出发开始计算，起始点为，r为小圆半径。正电荷产生的电力线直接法计算程序代码如图4所示正电荷产生的电力线直接计算程序代码正电荷产生的电力线用直接法计算如图5所示正电荷直接法计算结果的电力线Out[19]呈现的就是这两个电荷产生的电力线，这部分电力线的范围是根据、限定的：。电场线的折线计算法由于NDSolve[]函数不能求解非单值函数的微分方程，接下来研究一个近似方法，来解决面对复杂的电力线的计算求解。图6表示该近似法的计算路径，虚线表示实际的电力线，实的折线表示计算出来的电力线。先把该法称为“折线法”，它的原理是：从电力线上一点出发，先计算点处电场强度的方向角；取一个很小的弦长（又叫步长）step，此弦的方向角也是；在弦的末端，其坐标为；把近似作为电力线上的点；重复上一步的计算步骤，可得点的坐标。以此类推，这样就能计算电力线上其他点的坐标，一直计算到结束的点为止。然后从到，用折线将这些点连起来，作为计算出的电力线。“折线计算法”的原理用此法计算要注意两个问题：①计算的起始点要从正电荷开始，如果从负电荷开始，方向角要加上；②方向角的计算有两个特别的点，就是，因为在该处，，在它附近方向角的计算会出现较大的误差，引起弦的方向与实际的电力线相比偏差较大，随后就不再靠近要计算的电力线，而是越离越远，导致计算失败。如果出现了这种情况，就要根据具体问题采取变通的措施。两个点电荷电场线的折线法计算下面用“折线法”重新来计算两个点电荷的电力线分布。在计算中，规定了电力线所涉及到的最大范围，到最大范围的边界时，该条电力线的计算就停止。因此，如果只从正电荷出发，有些电力线就可能到不了负电荷，负电荷一方的电力线条数将减少，看起来不对称。同时计算也不能从电荷所在的位置出发或终止，而是要离开此位置一点点距离，否则，场函数将为，计算无法进行。两个点电荷的电力线分布折线法计算程序代码如图7所示两个点电荷的电力线分布折线法计算程序代码两个点电荷折线法计算结果的电力线分布如图8所示两个点电荷折线法计算结果的电力线分布在这次的程序中，为了用Arg[]函数求电场强度的方向角，定义了复数field。计算一条电力线的过程是在非固定次数循环Label[ss]...Goto[ss]内进行的，ss是标记。Last[]函数是取一个表的最后一项。计算终止的条件有3个，即进入了距离每个点电荷为的范围或者大于的范围。距离的计算采用了函数，它能求矢量的长度。把一条线的全部计算点放在single中，全部电力线放在forceline储存起来。用Show[Graphics[Line@/forceline]]来显示一个表内的多条折线（若显示一条线就可以用Show[Graphics[Line[single]]]QUOTEShow[Graphics[Line[single]]]）。正如Out[36]显示出来的，有的电力线是完整的，有的只计算了一部分。而与用直接计算法进行求解的程序相比，折线法计算的结果更多地显示了两个点电荷的电力线分布。三个点电荷电场线的折线法计算为了检验折线法的有效性，下面计算3个电荷产生的电力线分布，3个电荷的位置分别用、、表示，电荷分别用、、表示。这一次的计算是从负电荷开始的，因此，需要在弦的方位角加个，相当于step要变成负的。3个电荷产生的电力线分布折线法计算程序代码如图9所示三个电荷产生的电力线分布折线法计算程序代码3个电荷折线法计算结果产生的电力线分布如图10所示三个电荷折线法计算结果产生的电力线分布电场线的参数方程计算法如果要改变参数或者改变电荷个数进行运算的话，有时候“折线法”是无效的，因为计算的路径可能不收敛，计算会无限期地进行下去，直到内存耗尽为止。接下来用一种新的计算方法进行运算。电场线的参数方程由于电力线的方程是一个简单的一阶微分方程，就用经典的求解微分方程的方法来求解电力线，是最可靠的。下面，将方程(5)中的坐标看成某个参数t的函数，把“y关于x的微分方程”看成是“x、y关于t的微分方程”，方程变换如下(8)由于参数t的含义不确切，所以把这个参数方程写成两个联立的微分方程，并且令(9)(10)若是能顺利求解出和，则就可以用参数作图从而画出电力线，这种方法叫做“参数方程法”。在Mathematica6.0以后的版本中，增加了一个求解微分方程的新功能，即在NDSolve[]函数中添加一个“事件探测器”的选项Method，其基本格式是其中expr是函数、函数的导数以及自变量等构成的表达式，当该表达式的值从非0变为0，或者其逻辑值从True变为False(或者相反)时，就算一个“事件”发生了，系统自动停止微分方程的求解；然后用系统定义的一个函数来求出自变量末态的值。由此，就可以在NDSolve[]函数中将t的求解范围设置到。这就可以解决由于不知道t的确切含义，在NDSolve[]函数中，如何确定t的范围的问题。如果当电力线接近点电荷时，场函数会变为，此时求解失败，解决途径可以在expr中，将电力线接近到电荷附近的某个位置作为expr为0的条件，求解到此为止。三个点电荷电场线的参数方程法计算下面，继续以上面求解3个电荷的电力线为例，写出参数方程法的求解程序，其中，为了使用求自变量末端的函数InterplolatingFunctionDomain[]，需要事先读入几个“包文件”，因为该函数存在于“包文件”中。读入的方法是使用读入函数Needs["..."]，被读的“包文件”在系统默认的搜索目录中，但目录之间需要用“'”来分割，末尾也要加“'”。Mathematica除了系统内建的函数以外，还定义了一些扩展函数，它们被放在目录AddOns中。而本例所用到的“包文件”和扩展函数，它们都被放在了目录AddOns/ExtraPackages/DifferentialEquations中。3个点电荷的电力线利用“事件探测器”并使用参数方程法计算程序代码如图11所示三个点电荷的电力线参数方程法计算程序代码3个点电荷的电力线利用“事件探测器”并使用参数方程法计算结果如图12所示三个点电荷的电力线参数方程法计算结果Out[50]是程序运行的结果，该图与用“折线法”画出的Out[28]基本是