初中九年级数学《反比例函数》第1课时教学设计

初中九年级数学《反比例函数》第1课时教学设计一、教学设计依据本课时是沪科版九年级数学上册第二十一章第五节《反比例函数》的起始课。本节课的核心任务，是让学生在已经掌握正比例函数、一次函数、二次函数的基础上，认识一种新的函数模型，理解反比例函数的概念，会判断一个函数是否为反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的表达式，能从实际问题中抽象出反比例关系。《义务教育数学课程标准》对函数内容的要求呈现出"由数到形、由模型到应用、由抽象到直观"的螺旋递进。学生在八年级已有正比例函数与一次函数的学习经历，本章前面又学习了二次函数，已经初步形成了"函数是刻画变量之间依赖关系的数学模型"这一基本认识。反比例函数是初中阶段学生认识的第四种基本函数模型，它的引入不是因为教科书编排的需要，而是因为现实中存在大量"一个量变化、另一个量随之反向变化"的依赖关系，如速度一定时路程与时间的关系、面积一定时长与宽的关系、压力一定时压强与受力面积的关系。这些关系既不能用正比例函数刻画，也不能用函数的一般增减变化来解释，必须通过新的模型来描述。基于此，本节课的设计立足三个基点：一是从学生已有的函数认知出发，沟通新旧知识的联系与区别；二是通过具体情境的对比分析，突出反比例函数的本质特征——两个变量的乘积为定值；三是通过辨析、构造、应用的梯度训练，深化学生对概念的理解，渗透模型思想、对应思想和分类讨论思想。整堂课力图做到概念的形成有理有据，概念的理解有层次递进，概念的应用有情有境。二、学情分析授课对象是九年级学生。在此之前，学生已经学习了正比例函数y＝kx（k≠0）、一次函数y＝kx＋b（k≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），对函数的概念、自变量与因变量、表达式、图像、性质等已有较为系统的认识，具备了用字母表示变化规律、用表格和图像描述函数关系的基本能力。但是，学生对反比例关系的认识存在三个潜在的困难。第一，认知负迁移。学生容易把"两个量反向变化"直观理解为"一个增大另一个减小"，进而将之等同于反比例关系，忽视了反比例关系对"乘积为定值"这一数量特征的严格要求。第二，形式辨识困难。反比例函数可以写成y＝k/x，也可以写成xy＝k，还可以写成y＝kx⁻¹，变换形式多样，学生往往只认得标准形式，遇到变量在分母、字母系数、复合表达式等情况时判断失误。第三，自变量取值范围的忽视。反比例函数中自变量x不能为零，且在实际问题中往往还受到实际意义的限制，学生容易与以前学过的函数混淆，在求表达式或列关系时忽略这一点。因此，本节课的教学不能把反比例函数当作一个孤立的新定义灌输给学生，而应当把它放在函数概念发展的脉络中，通过与已学函数的对比、通过具体数据的运算、通过表达式变形的辨识，让学生真正理解"为什么这是又一种新的函数"。三、教学目标（一）知识与技能理解反比例函数的概念，能准确说出反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）中各字母的意义；能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并能指出其中的比例系数k；会用待定系数法，根据一对对应值求出反比例函数的表达式；能从简单的实际问题中抽象出反比例函数关系，并标注自变量的取值范围。（二）过程与方法经历"情境列举—数据观察—特征归纳—概念抽象—辨析深化—应用建模"的学习过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法；在与正比例函数、一次函数、二次函数的对比中，发展分类与比较的数学能力；在把实际问题转化为函数表达式的过程中，体会数学建模的基本步骤。（三）情感态度与价值观感受数学概念来源于现实生活的需要，体会函数作为刻画变化规律的工具性价值；在合作交流与辨析讨论中养成严谨求实、言之有据的表达习惯；在观察两个变量"此消彼长"的变化中，初步感受数学中的对立统一思想。四、教学重点与难点教学重点是反比例函数概念的理解与表达式的确定。学生只有真正理解了"两个变量的乘积为定值"这一本质，才能谈得上判断、求表达式和应用。教学难点有两个。一是反比例函数三种等价表达形式y＝k/x（k≠0）、xy＝k、y＝kx⁻¹之间的转化与辨识，特别是当表达式经过变形、含字母参数时，能否通过恒等变形回到本质特征。二是从实际问题中抽象出反比例函数关系，并正确标注自变量取值范围，这要求学生同时处理数量关系与现实意义两个层面的信息。五、教学方法与课前准备教学方法上，采用情境导入法、问题引导法、小组合作探究法与变式训练法相结合的方式。概念的形成阶段以情境和数据驱动，概念的理解阶段以辨析和对比推进，概念的巩固阶段以分层练习落实。课前准备方面，教师准备多媒体课件，其中包含三个生活情境的数据表格、一组辨析题卡片、一组分层练习题；学生准备好之前学习函数时整理的笔记，课桌上备好铅笔、直尺和坐标纸，为后续画图、列表等操作留有余地。六、教学过程（一）情境导入——为"反向变化"寻找数学表达（约6分钟）课的开始，教师不直接给出反比例函数的名称，而是先后呈现三个学生熟悉的问题情境，让学生把注意力集中到"两个量怎么变"上来。情境一：一辆汽车以80千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系是什么？学生口答：s＝80t。教师追问：这是一个什么函数？学生回答：正比例函数。教师板书：s＝80t，并追问其结构特征——两个变量的比值是定值。情境二：甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，行驶速度v（千米/小时）与行驶时间t（小时）之间有怎样的关系？学生容易想到：由路程＝速度×时间，得vt＝240，即t＝240/v。教师板书：t＝240/v，并追问：这还是一个正比例函数吗？为什么？情境三：用一根长为40厘米的绳子围成一个矩形，矩形的长a（厘米）与宽b（厘米）之间有怎样的关系？学生得出：2(a＋b)＝40，即a＋b＝20，b＝20－a。教师板书：b＝20－a。三个情境并列在黑板上后，教师提出核心问题：这三个函数s＝80t、t＝240/v、b＝20－a，都是我们学过的函数吗？如果不是，它们和我们已学的正比例函数、一次函数、二次函数相比，差别在哪里？学生讨论后能够发现：第一个是正比例函数，第三个是一次函数，而第二个t＝240/v与前面都不同——速度v出现在分母上，或者说速度与时间的乘积是一个固定不变的数240。教师顺着这一发现指出：像这样"两个变量的乘积是定值"的关系，在生活与科学中大量存在，仅用今天之前学过的函数，我们无法描述它。这就需要引入一种新的函数，这就是本节课要研究的对象——反比例函数。教师板书课题：21.5反比例函数（第1课时）。（二）探究归纳——从"乘积为定值"到概念抽象（约12分钟）概念的形成必须建立在充分的感性材料之上。教师在情境二的基础上，引导学生完成一个数据观察活动。教师给出表格：当速度v分别取40、60、80、120（千米/小时）时，对应的行驶时间t各是多少？学生计算得：t分别为6、4、3、2（小时）。教师引导学生观察这组数据的两个特征：第一，速度v越大，时间t越小，变化的方向相反；第二，每一组v与t的乘积都等于240，固定不变。教师强调：反比例关系的本质不是单纯的"一个变大另一个变小"，而是它们的乘积始终等于同一个常数。像"一个增加另一个就减少"但乘积不定的关系，如a＋b＝20，虽然也是反向变化，却不是反比例关系。在此基础上，教师请学生模仿正比例函数的定义方式，尝试用自己的语言概括这种函数的特征。学生可能说出："两个变量的乘积是一个定值""一个量等于一个常数除以另一个量"等。教师在学生表达的基础上规范语言：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么y就叫做x的反比例函数。其中，x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数，自变量x的取值范围是x≠0。教师继续引导，让学生把这个定义与已学函数放在一起作结构性比较：正比例函数y＝kx（k≠0）——两个变量的商是定值；反比例函数y＝k/x（k≠0）——两个变量的积是定值。学生由此可以直观感受到，正比例函数和反比例函数正好构成一组"对称"的模型，一个刻画"同向同步放大缩小"的关系，一个刻画"此消彼长、乘积守恒"的关系。概念的抽象不能止步于标准形式，教师紧接着引导学生认识反比例函数的另外两种等价表达：由y＝k/x两边同乘x，可得xy＝k（k≠0）；把除法改写成负指数幂，可得y＝kx⁻¹（k≠0）。教师强调：这三种形式本质相同，可以互相转化。判断一个函数是否为反比例函数，最根本的办法就是看它能否化成这三种形式之一，且k≠0。同时，教师特别点明自变量的取值范围：因为分母不能为零，所以x≠0；而在实际问题中，x往往还要符合实际意义，例如速度、长度、时间等通常取正值。（三）辨析深化——在"是"与"不是"中厘清边界（约10分钟）概念是否被理解，最直接的检验是辨析。教师给出一组辨识题，让学生先独立思考、再小组交流、最后全班核对，并说明理由。判断下列函数中，y是否为x的反比例函数。若是，写出比例系数k；若不是，说明理由。（1）y＝4/x；（2）y＝－7/x；（3）y＝x/3；（4）y＝8/x²；（5）xy＝－5；（6）y＝2x⁻¹；（7）y＝3/(2x)；（8）s＝10/t。全班核对时，教师引导学生逐一说理：（1）是，k＝4；（2）是，k＝－7；（3）不是，这是正比例函数，y与x的比是定值而非积是定值；（4）不是，虽然变量在分母，但分母是x²，若要成为反比例函数，应是y与x²成反比例，而不是与x成反比例；（5）是，由xy＝－5可化为y＝－5/x，k＝－5；（6）是，形式为y＝kx⁻¹，k＝2；（7）是，可化为y＝(3/2)/x，k＝3/2；（8）把字母换成s与t，s是t的反比例函数，k＝10。通过这组辨析，教师帮助学生建立三条判断要领：一看能否通过恒等变形化为y＝k/x、xy＝k或y＝kx⁻¹三种形式之一；二看变形后k是否为不等于0的常数；三看自变量x是否恰好在分母（或指数为－1），而不是其平方、倍数经过未经处理的其他结构。辨析之后，教师趁热打铁，给出一道含字母参数的逆向判断题：已知y＝(m－2)x^(m²－5)是反比例函数，求m的值。学生需要先抓住反比例函数的形式特征y＝kx⁻¹，得到两个条件：指数m²－5＝－1，系数m－2≠0。由m²＝4得m＝±2；由m≠2，舍去m＝2，最后得m＝－2。教师强调这里"既要让指数为－1，又要保证系数不为零"两个条件缺一不可，这道题也再次提示学生：判断一个函数是不是反比例函数，本质是判断它能否严格符合定义的结构。（四）方法建构——用待定系数法求反比例函数表达式（约8分钟）学生已经会用待定系数法求一次函数、二次函数的表达式，本环节的任务是把这一方法迁移到反比例函数。例1：已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝4。（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x＝2时，求y的值。教师引导学生按步骤完成：第一步，设。设所求反比例函数为y＝k/x（k≠0）。第二步，代。把x＝3、y＝4代入，得4＝k/3，所以k＝12。第三步，写。所求函数表达式为y＝12/x。第四步，用。当x＝2时，y＝12/2＝6。教师总结待定系数法的四步口诀——设、代、解、写，并强调反比例函数只有一个待定系数k，因此只需要一对x与y的对应值就可以确定表达式，这一点与一次函数需要两对值、二次函数一般需要三对值形成对比。例2：在温度不变的条件下，一定质量的气体，其压强p（千帕）与体积V（毫升）成反比例。当体积V＝200毫升时，压强p＝50千帕。（1）写出p与V之间的函数表达式；（2）当气体体积压缩到100毫升时，压强是多少？学生能够列出：设p＝k/V，把V＝200、p＝50代入，得k＝10000，故p＝10000/V；当V＝100时，p＝100。教师补充说明：这个关系在物理中称为玻意耳定律，是反比例函数在自然科学中的典型应用，学生由此可以看到反比例函数绝不是纯粹的符号游戏，而是刻画自然规律的重要工具。（五）学以致用——从实际问题中建立反比例模型（约6分钟）在本环节，教师安排两道具有现实背景的建模练习，让学生在解决问题中体会反比例函数的应用价值与注意事项。练习一：某住宅小区要修一个面积为360平方米的矩形花坛，设花坛的长为x米，宽为y米。（1）求y关于x的函数表达式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）若花坛的长为30米，则宽是多少米？学生解答：由矩形面积xy＝360，得y＝360/x；由于长和宽均为正，x＞0；当x＝30时，y＝12。教师借机强调实际问题中自变量取值范围的双重来源：一是数学本身的要求（x≠0）；二是实际意义的限制（长度为正数，有时还要符合题目的其他条件）。这也是反比例函数应用中极容易被忽略却极重要的一环。练习二：学校用一笔固定金额为4800元的经费购买同一种图书作为奖品，设每本图书的单价为x元，可购买的数量为y本。写出y与x之间的函数表达式，并说明这个函数的图像只会出现在哪个象限。学生列出xy＝4800，即y＝4800/x。由于单价和数量都为正数，x＞0，y＞0，对应图像只能在第一象限。学生由此初步感受到，实际问题中的反比例函数通常只取第一象限的一支，这为下一课时研究反比例函数的图像与性质埋下了伏笔。（六）总结提升——在对比中构筑函数认识的整体图景（约3分钟）课堂的收尾，教师不采用教师独白式的总结，而是请学生完成一个"四个一"的回顾，由学生说、教师补。一个定义：形如y＝k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。三种形式：y＝k/x，xy＝k，y＝kx⁻¹（k≠0）。一个本质：两个变量的乘积为定值；这与正比例函数"比值为定值"形成对照。一种方法：用待定系数法求表达式，只需一对对应值即可确定k。教师把正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数四种函数的标准形式并列板书，形成一张初中阶段函数知识的结构图，让学生直观看到自己函数认识的版图又扩展了一块，也为后续研究反比例函数的图像与性质、以及与一次函数的综合应用做好准备。（七）布置作业——分层设计，巩固概念并适度前瞻基础巩固层：完成教材课后相应习题中关于反比例函数概念识别与表达式求解的题目；判断并写出下列函数中y是x的反比例函数时的比例系数k：y＝5/x，y＝－3/(2x)，xy＝7，y＝2/x²。技能发展层：已知y是x的反比例函数，且当x＝－2时，y＝6。求函数表达式，并计算当y＝3时x的值。问题探究层：已知y＝y₁＋y₂，其中y₁与x成正比例，y₂与x成反比例；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5。求y关于x的函数表达式。（提示：设y₁＝k₁x，y₂＝k₂/x，有两个待定系数，需要两组条件分别求出。）这道题适度超前，意在让学有余力的学生体会"组合模型"的处理方式，也为后续综合应用作铺垫。七、板书设计板书依据"左—中—右"三栏设计，力求结构清晰、重点突出。左栏——情境与数据：s＝80t（正比例，比值为定值）t＝240/v（？）b＝20－a（一次函数）观察：40×6＝60×4＝80×3＝120×2＝240中栏——概念核心：21.5反比例函数（第1课时）定义：y＝k/x（k为常数，k≠0）三种形式：y＝k/xxy＝ky＝kx⁻¹自变量：x≠0右栏——方法与应用：例1：待定系数法四步——设、代、解、写关键：反比例函数只有一个待定系数，给一对对应值即可确定强调：实际问题中自变量取值要符合实际意义八、教学预设与可能生成的问题教学设计不是表演的脚本，教师应预设学生可能出现的问题，做好课堂调控的准备。预设一：部分学生会把"两个量反向变化"直接等同于反比例函数。教师应在辨析题（3）和（4）处放慢节奏，用具体数字说明"和为定值"或"y与x²成反比