30.2三角形的内切圆 教学课件 2026-2027学年九年级数学人教版九上

第三十章直线与圆的位置关系30.2三角形的内切圆

学习目标：1.理解三角形内切圆、内心的概念，掌握内心的核心性质。2.能利用内心性质、切线长结论进行角度、线段的计算与证明。3.区分三角形内心与外心，提升几何综合解题能力。教学重点：三角形内心的性质理解与基础应用。教学难点：灵活运用内切圆相关公式、性质解决几何综合计算与证明问题。切线的性质与判定性质定理圆的切线垂直于过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.温故知新过三点的圆确定圆的条件三角形的外接圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形.三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径.温故知新

类似地，我们来研究是否存在于三角形的三边都相切的圆？

如图，是一张三角形的铁皮，如何从上面截下一个面积最大的圆？这个圆与三角形三边有什么位置关系？圆心和半径怎样确定？导入新课D

E

F

A

B

C

P

N

M

知识回顾结论1.三角形的三条内角平分线交于一点，这一点叫三角形的内心。结论2.三角形的内心都在三角形内部，并且到三边的距离相等。结论3.三角形的一条内角平分线与另外两个外角的角平分线交于一点，这一点叫三角形的旁心，它到三角形身边所在直线的距离相等。

同学们知道怎样用尺规作三角形的内切圆吗？来和老师一起操作！在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆.步骤作法图示(1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心如图，作∠ABC，∠ACB的平分线l1，l2交于点I(2)定半径：以圆心到边的距离为半径画圆如图，过点I作边BC(或AB，AC)的垂线，垂足为D，以I为圆心，ID长为半径作圆，⊙I即为△ABC的内切圆。感悟新知作图题中，这句话不可缺少动手操作特别提醒：一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.．o三角形外接圆三角形内切圆．oAABBCC知识类比内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外解圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离例1.△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9例题分析·BDEFOCA例2.如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r

例题分析·ABCEDFO例3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径

r.设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2

例题分析·ABCEDFO例4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径

.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。例题分析（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。例题分析（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。例5.如图，AB

是⊙O

的直径，△ABC内接于⊙O，点I

为△ABC的内心，连接CI

并延长交⊙O于点D，E是BC

上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；(2)找出图中所有与DI

相等的线段，并证明；解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°.∵∠ABC=25°，∴∠CAB=90°-25°=65°.∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，∴∠CEB+∠CAB=180°.∴∠CEB=180°-∠CAB=115°.例题分析(2)找出图中所有与DI

相等的线段，并证明；解：DI=AD=BD.证明如下：如图，连接AI.∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI.∴AD=BD.∴∠DAB=∠ACI，AD=BD.∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI，∴∠DAI=∠DIA.∴DI=AD.∴DI=AD=BD.⌒⌒例题分析

解：如图，过点I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P.∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点.∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP.例题分析

例题分析三角形的内切圆三角形的内切圆定义作法内心性质与外心区别课堂小结1.三角形的外接圆与内切圆中“接”与“切”的含义：三角形的顶点都在圆上叫“接”，三角形的边都与圆相切叫“切”.2.利用三角形的内心计算时常用到：

(1)内心到三角形三条边的距离相等；

(2)三角形顶点与内心的连线平分对应的内角.（3）有时只出现内心，画出内切圆有助于解题.课堂小结3.三角形的内心和外心是两个容易弄混的概念，内心是内切圆的圆心，是三个内角平分线的交点；外心是外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点.1.如图，D

是△

ABC的内心，AD

的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠BCA=50°，则∠BDE=________.65°2.下列关于“三角形内心”的说法错误的是()A.三角形的内心是三角形两内角平分线的交点B.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等C.三角形的内心到三角形的三边距离相等D.三角形的内心是三角形内切圆的圆心B基础练习3.

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是()B4.如图，点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC的度数为()A.60°

B.65°C.70°

D.80°D基础练习5.如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形纸片，BC=7cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为()A.12cm

B.11cm

C.10cmD.随直线MN的变化而变化C6.如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC.当AB=4，BC=5，AC=6时，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3=______________.4∶5∶6基础练习7.如图，AB是⊙O的直径，AC交⊙O于点G，E是AG上一点，点D为△BCE的内心，BE交AD于点F，且∠DBE=∠BAD.求证：(1)BC是⊙O的切线；(2)DF=DG.证明：∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC.∴∠EBD=∠CBD.又∵∠DBE=∠BAD，∴∠CBD=∠BAD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CBD+∠ABD=90°，即∠ABC=90°.∴BC⊥AB.又∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线.提升练习(2)求证：DF=DG.证明：如图，连接DE.则ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED.∵四边形ABDG为⊙O的内接四边形，∴∠EGD=180°-∠ABD=180°-(90°-∠CBD)=90°+∠CBD=90°+∠EBD.∵∠EFD=∠ADB+∠EBD=90°+∠EBD，∴∠EFD=∠EGD.又∵DE=DE，∴△DFE≌△DGE(AAS).∴DF=DG.提升练习

8.如图30.2-7，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F,∠DOE=120°，∠EOF=150°.考法(1)求△ABC的三个内角的大小；(2)设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC-B