山东省临沂市三校2027届高三上学期9月学习质量综合评估数学试卷（含答案）

临沂市三校2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题一、单选题1．设，则（

）A． B． C． D．2．抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．3．刚刚过去的十一国庆节，某旅行团共有人来重庆旅游，每人至少要去洪崖洞、仙女山、白公馆中的一个地方游玩，其中去洪崖洞的有人，去仙女山的有人，去白公馆的有人，三个地方都去的有人，则至少去其中两个地方的有（

）人．A． B． C． D．4．双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且，若，则双曲线离心率的取值范围是A． B． C． D．5．如图，在体积为的四棱锥中，底面ABCD为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为（

）A． B． C． D．6．数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（

）A．数据，，，…，的平均数是；B．数据，，，…，的平均数是；C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数：D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数.7．已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为A． B． C． D．8．设方程的两根分别为（），方程的两根分别为（），若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分;类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分.已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答类问题（

）A．且 B．C．且 D．10．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．存在点，使得平面B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球表面积为11．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．是以4为周期的周期函数C．的图象关于直线对称 D．三、填空题12．已知A，B是两个集合，定义，若，，则_______________.13．已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为___________.14．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．四、解答题15．某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：宣传费（十万元）3456销量（百万件）2.5344.5(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；(2)若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.16．定义为个正数、、、的“均倒数”.已知正项数列的前项的“均倒数”为.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，试求实数的取值范围；（3）令，问：是否存在正整数使得对一切恒成立，如存在，求出值，否则说明理由.17．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB＝3，BC＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点．（1）证明CD⊥平面POC；（2）求二面角C—PD—O的平面角的余弦值．18．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0．的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均好有，则称区间A为和的“区间”．（1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）（2）若是和的“区间”，判断是否为偶函数，并证明；（3）若．且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．19．已知椭圆的两焦点分别为的离心率为上有三点，直线分别过的周长为8．(1)求的方程；(2)①若，求的面积；②证明：当面积最大时，必定经过的某个顶点．

《临沂市三校2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题》参考答案题号12345678910答案BBBDABBDACDACD题号11答案AD12．13．214．215．（1）由题知，，所以，所以.所以关于的经验回归方程为.（2）设甲､乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为，则的所有可能取值为，又，，，所以，，令，即，解得.又，所以的取值范围为.16．（1）设数列的前项和为，由于数列的前项的“均倒数”为，所以，，当时，；当时，.也满足，因此，对任意的，；（2），对一切恒成立，所以，解之得或，即的取值范围是；（3）解法一：，由于，当时，此时，数列单调递增；当时，此时，数列单调递减.所以，当时，取得最大值，即存在正整数使得对一切恒成立；解法二：，假设存在正整数使得，则为数列中的最大项，由

得，解得，又，，即存在正整数使得对一切恒成立17．（1）根据平面平面，，可证底面，根据边长，可得，，根据线面垂直的判定定理，得证；（2）取CD的中点F，连接OF，则OF⊥平面PAB．建立如图的空间直角坐标系O—xyz，分别求两个平面的法向量，求法向量夹角的余弦值．试题解析：（1），O是AB的中点，．平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO平面PAB，PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．①∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BAD＝90°．在Rt△OBC中，OB=BC=1，在Rt△OAD中，OA=1，AD=3，OD=．过C作CE⊥AD，垂足为E，易得DE=CE=2，CD=，即CD⊥OC．②由①②得，CD⊥平面POC．4分（2）取CD的中点F，连接OF，则OF⊥平面PAB．建立如图的空间直角坐标系O—xyz．易知，则P（0，0，），D（—1，3，0），C（1，1，0），，7分设平面OPD的法向量为，则取=（3，1，0）设平面PCD的法向量为，则10分取=（2，2，）．11分依题意二面角O—PD—C的余弦值为．12分考点：1．线面垂直的判定定理；2．空间向量的应用．18．（1）解：由题意得和的定义域为，当时，，满足“区间”的定义，所以在上的一个“区间”可以是及其非空子集；（2）不是偶函数，证明：由题意，当时，，故；当时，，故，因为在任意区间上不恒为零，所以存在，使得，因为，所以，所以不是偶函数；（3）证明：当时，，当时，因为，且在区间上单调递增，所以存在唯一，使得，且当时，，当时，，所以当时，，则且存在使得，当时，，则且存在使得，所以存在，使得，所以在区间上存在零点．19．（1）依题意可得的周长，又椭圆的离心率为，则，解得，所以的方程为；（2）①由上可知：，所