山东省烟台龙口市（五四制）2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

山东省龙口市2025-2026学年八年级上学期期中数学试题一、单选题1．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（

）A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．3．下列说法正确的是（

）A．代数式是分式 B．当时分式有意义C．分式的值为0，则的值为 D．无论为何值，总有意义4．定义：．已知，，则（

）A． B．8 C． D．325．如果，那么代数式的值是（

）A． B．0 C．1 D．26．若关于的分式方程无解，则的值是（

）A． B．或 C．或 D．或7．中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米/时，根据题意列方程正确的是（

）A． B．C． D．8．将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（）A． B． C． D．9．网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020年到2030年中国直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据如图提供的信息，下列推断不合理的是（

）A．2024年直接经济产出比间接经济产出少3万亿元B．2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长C．2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的9倍D．2024年到2025年，间接经济产出的增长率和直接经济产出的增长率相同10．如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空题11．分解因式：_______．12．在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____．13．若分式有意义，则的取值范围是_______．14．已知a满足方程，并且关于x的不等式组只有3个整数解，那么b的取值范围是________________.15．已知一组数据的方差为，则关于数据的平均数为___________；16．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论：①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变；其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．计算(1)因式分解：；(2)因式分解：(3)解方程：；(4)解方程：18．化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．19．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，.(1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；(2)若点的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则点坐标为______，点坐标为______；(3)若点是点关于原点的对称点，则的坐标为______20．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等．则，两种型号充电桩的单价各是多少？21．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：．根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用公式法）：；(2)求多项式的最小值；(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．22．2025年4月24日17时17分，火箭点火发射，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某校八年级举办以“大国航天筑梦星辰”为主题的航天知识竞赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是分，分，分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．信息一：评委给甲同学打分的条形统计图信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表同学面试成绩评委打分的中位数评委打分的众数甲

8c乙a910丙

b8根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：______分，______分，______分；(2)在面试中，评委对______的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是______（①平均数，②中位数，③众数，④方差）（填序号，填一个即可）；(3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学．23．如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是．(1)若，求的度数．(2)若，当时，则．24．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．分析：要直接求∠A的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等边三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．（3）拓展应用．如图4，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．参考答案1．D【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，故选：D．2．D【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意；B、，原因式分解错误，不符合题意；C、，原因式分解错误，不符合题意；D、，属于因式分解，符合题意；故选：D．3．D【详解】解：A、不符合分式的定义，代数式不是分式，故该选项不符合题意；B、要分式有意义，则，即，故该选项不符合题意；C、要使分式的值为0，则且，即，故该选项不符合题意；D、因为无论为何值，始终不等于0，所以无论为何值，总有意义，故该选项符合题意；故选：D．4．B【详解】解：∵∴，∴故选：B5．B【详解】,，，∵，∴，，，故选：B6．B【详解】解：方程两边乘以，得，整理得，，当，即时，，此时方程无解；当时，解得，∵分式方程无解，∴，即，解得；综上，的值是或，故选：．7．B【详解】解：设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为千米//时，根据题意得，故选：B．8．B【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，则点P坐标为，由点P正好落在x轴上知，解得，则，点P坐标为，故选：9．D【详解】解：A、2024年直接经济产出比间接经济产出少万亿元，原推断合理，不符合题意；B、2020年到2030年，直接经济产出和间接经济产出都是逐年增长，原推断合理，不符合题意；C、2030年间接经济产出大约为2020年间接经济产出的倍，原推断合理，不符合题意；D、2024年到2025年，间接经济产出的增长率为，直接经济产出的增长率为，二者不相同，原推断不合理，符合题意；故选：D．10．A【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值，∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，，∵是等边三角形，，，，即，，，∴当时，线段取最小值，过点作于点，交于点，，∴，由勾股定理得，根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且，，，，在中，由勾股定理得，，，，，，，故选：A．11．【详解】解：．12．18【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x，∴数据共有6个数，20为中间的一个数，∵该组数据的中位数是19，∴，解得．故答案为：18．13．【详解】解：要使分式有意义，则，即．故答案为：14．2≦b<3【详解】分式方程去分母得：整理得：解得：或，,经检验是增根，故分式方程的解为，已知不等式组解得：，∵不等式组只有3个整数解，∴；故答案为.15．或【详解】解：设数据的平均数为，∴数据的方差为，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴的平均数，∴的平均数为或，故答案为：或．16．①②④【详解】解：作于，于，如图所示：，，，，，平分，于，于，，在和中，，∴，，在和中，，，，，，为定值，故①正确，∵，设，则，∴，∵，∴，∴，故②正确；∵，，定值，故④正确，在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误；则正确的有①②④．故答案为：①②④．17．(1)(2)(3)(4)原方程无解【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：；方程两边乘，得，解得：，检验：当时，，原分式方程的解为；（4），方程两边同乘以得，解得，检验：当时，．不是原方程的解，原方程无解．18．，0【详解】解：原式；当时，；19．(1)如图，为所作；(2)，(3)【详解】（1）略（2）直角坐标系如图，则，；（3）∵点是点C关于原点的对称点，C点坐标为，∴,故答案为：．20．型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元【详解】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．21．(1)(2)(3)12【详解】（1）解：；（2）解：，多项式的最小值是；（3）解：，即，，，，，，∴的周长为．22．(1)，，8(2)丙，④；(3)综合成绩最高的是乙同学，乙同学将代表年级参赛；【详解】（1）解：；丙同学的得分为5个8分，3个9分，2个10分，中位数为第、两个数据的平均数，则；由条形统计图知，甲同学得分中8分出现的次数最多，故；故答案为：，，8；（2）解：由条形统计图和折线统计图知，甲同学的最低分为5分，最高分为10分；乙同学的最低分为6分，最高分为10分；丙同学的最低分为8分，最高分为10分；显然丙同学的得分极差最小，波动程度也最小，即方差最小；故面试中，评委对丙的评价更一致，依据是方差；故答案为：丙；④；（3）解：甲的综合成绩：；乙的综合成绩：；丙的综合成绩：；则乙的综合成绩最高，故乙同学将代表年级参赛．23．(1)(2)【详解】（1）解：∵沿射线方向平移，得到，∴，∴，∴，∴，∵∴；（2）解：∵沿射线方向平移，得到，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，解得，即的长为．故答案为：．24．（1）PD，∠CAD，∠APB，90；（2）∠APB＝135°；（3）．【详解】（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等边三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP≌△ACD（SAS）∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图3，∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，∵∠PBD＝90°∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，∵12+(2)2＝32，∴AP2+PD2＝BD