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2025绵阳市绵中初升高自主招生考试数学考试题目及答案1.题目：已知函数f(x)=x^22ax+1，其中a是实数。

（1）求函数f(x)的顶点坐标；

（2）若f(x)的最小值是0，求实数a的值；

（3）若f(x)的图像上存在两个不同的点A、B，使得∠AOB=90°（O为坐标原点），求实数a的取值范围。

答案：

（1）顶点坐标为(a,1a^2)；

（2）a=±1；

（3）a的取值范围为[1,1]。

解析：

（1）函数f(x)可以写成f(x)=(xa)^2+1a^2，所以顶点坐标为(a,1a^2)；

（2）函数f(x)的最小值为1a^2，要使最小值为0，则1a^2=0，解得a=±1；

（3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0。因为A、B在f(x)的图像上，所以有：

x1^22ax1+1=y1^22ay1+1，

x2^22ax2+1=y2^22ay2+1。

相减得(x1x2)(12a)=(y1y2)(1+2a)。

由于∠AOB=90°，所以x1x2+y1y2=0，代入得：

(x1x2)^2(1a^2)=0。

因为x1≠x2，所以1a^2=0，解得a=±1。但a=±1时，A、B重合，所以a的取值范围为[1,1]。

2.题目：在三角形ABC中，BC=6，AC=8，AB=10。

（1）求三角形ABC的面积；

（2）若∠BAC=60°，求三角形ABC的周长。

答案：

（1）面积S=24；

（2）周长P=24。

解析：

（1）由题意知，三角形ABC为直角三角形，所以面积S=1/2BCAC=1/268=24；

（2）由余弦定理得，AB^2=AC^2+BC^22ACBCcos(∠BAC)，

所以10^2=8^2+6^2286cos(60°)，

解得cos(60°)=1/2，所以∠BAC=60°。

三角形ABC的周长P=BC+AC+AB=6+8+10=24。

3.题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n^2+n。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证数列{an}是等差数列；

（3）求证数列{an}的前n项和Sn是二次函数。

答案：

（1）an=2n+1；

（2）数列{an}是等差数列；

（3）数列{an}的前n项和Sn是二次函数。

解析：

（1）当n=1时，a1=S1=2；

当n≥2时，an=SnSn1=(n^2+n)[(n1)^2+(n1)]=2n+1。

所以数列{an}的通项公式为an=2n+1；

（2）数列{an}的相邻两项之差为an+1an=(2n+3)(2n+1)=2，

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