1.2 空间向量基本定理 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理教学设计一、教学目标1.理解空间向量基本定理的意义.2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.二、教学重难点1、教学重点空间向量基本定理.2、教学难点对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.三、教学过程1、新课导入我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理）.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢？2、探索新知我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.如图所示，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得，从而.而在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得.从而.因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得.我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量.在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来，进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.3、课堂练习1.在空间四点中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()A.四点不共线 B.四点共面，但不共线C.四点不共面 D.四点中任意三点不共线答案：B解析：选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量构不成基底.2.如图所示，在四面体中，点在上，且为的中点，则()A. B. C. D.答案：B解析：，故选B.3.已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，表示，则等于()A.B.C.D.答案：D解析：，故选D.4.已知是空间五点，且任何三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论：①不能构成空间的一个基底；②不能构成空间的一个基底；③不能构成空间的一个基地；④能构成空间的一个基底.其中正确的有_________个.答案：3解析：由题意知空间五点共面，故①②③正确，④错误.5.如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为基底，则___________.答案：解析：连接交于点，连接，则6.如图，分别是四面体的边的中点，是的三等分点.用向量表示答案：4、小结作业小结：本节课学习了空间向量基本定理及其应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计1.2空间向量基本定理空间向量基本定理.：如果三个向量a，b，c不共面.那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.由此可知，如果三个向量a，b，c不共面，那