应用基础数值 2

应用数值分析第十二讲插值法（二）2分段插值

34教学小结提纲样条插值1问题引入教学目标与重难点教学目标能运用分段线性插值、样条插值解决相关问题。能分析判断分段三次Hermite插值与样条插值的关系。

1.能说出分段线性插值、样条插值的定义；2.能说出分段线性插值、样条插值的解题步骤。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入多项式历来都被认为是最好的逼近工具之一，用多项式作插值函数，就是前面的代数插值，一般情况下，似乎可以靠增加插值结点的数目来改善插值的精度，但插值多项式的次数会随着节点个数的增加而升高，可能造成插值函数的收敛性和稳定性变差，逼近的效果往往是不理想的，甚至发生龙格振荡现象。二分段插值二、分段插值1.Runge振荡现象由插值多项式的余项公式将会随n的增大而减小。所以在适当的时候，可以通过增加插值节点的其中。从上式看出，当M随n的增大变化不是太大时，个数，即提高插值多项式的次数来提高精度。但这种方法并不是很好的方法。例1

对函数在[－1，1]上进行Lagrange插值。二、分段插值该函数在上具有任意阶的导数，在[－1，1]上取等距节点进行插值，其结果如图所示（取n=10）。

由图可知，插值多项式在（－0.363，0.363）内与f(x)有较好的近似，在该区间之外特别在附近，误差很大，称之为Runge振荡现象，而且随着n的增大，振荡越厉害。因此有时通过增加插值节点来提高插值多项式的次数不仅没有提高精度，反而使误差更大。解二、分段插值2.插值多项式数值计算的稳定性则有由于设从基函数的构造可以知道，仅依赖于插值节点，而与被插值函数无关；其证明：将常数1可以看成0次的多项式，再用关于n+1个节点的Lagrange插值基函数线性表出，便可得证。故有设被插值函数在节点

上有准确值为，而实际计算中不可避免地产生误差，设其计算值为，并假设。现考查分别由和产生的Lagrange插值多项式之间的关系。二、分段插值1）当所有Lagrange插值基函数的值非负或非正时，有此时，即数值计算是稳定的。2）当Lagrange插值基函数的值有正有负时此时的就不再满足小于等于ε了，即数值计算不稳定。事实上，只有线性插值时的值是非负的。n≥2的Lagrange插值基函数的值有正也有负，而且n取得越大的值增加也就越大，数值计算也就越不稳定。二、分段插值所谓的分段插值是指将区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上采用低次插值多项式来近似代替f(x)，常见的有分段线性插值和分段三次Hermite插值。3.分段线性插值定义1

设已知点上的函数值为，若有一折线函数y(x)满足1）y(x)在[a,b]上连续。2）3）y(x)在每个子区间上是线性函数。则称y(x)是f(x)的分段线性插值函数。二、分段插值为了将y(x)写成统一的表达式，引入如下定义由插值多项式的唯一性，y(x)在每个小区间上可表示为二、分段插值称为分段线性插值基函数。且当时有定理1

设在[a,b]上存在，对相异节点，y(x)是f(x)的分段线性插值函数，令，则有二、分段插值1）2）则有分段线性插值曲线图：三样条插值三、样条插值前面介绍的分段线性插值多项式具有很大的实用性，但分段线性插值多项式在节点处不具有光滑性。*虽然分段三次Hermite插值多项式满足了光滑性，但插值条件要求给出节点处的一阶导数值，这在应用中具有一定的困难。现在我们想只给出节点处函数值的插值条件和插值区间端点的边界条件，就能构造出具有二阶连续导数的插值函数。即为本节将介绍的样条插值函数。1.样条插值的基本概念为方便起见，今后用表示区间[a,b]上具有k阶连续导数的函数集合。定义2

设∆是[a,b]一个划分若函数S(x)满足三、样条插值3）S(x)在每个子区间上为次数不超过m次的多项式，且至少在一个子区间上为m次多项式。则称S(x)是关于划分∆的一个m次样条函数。实用中，常考虑m=3的情形，称之为三次样条插值函数。由定义有：三、样条插值则有：共有4n-2个方程，但有4n个未知数。差两个方程为了唯一确定三次样条插值函数，除了上面各式的4n-2个插值条件外，需在区间[a,b]的端点各补充一个条件，称之为边界条件。常见的有以下三种边界条件三、样条插值1）第一（转角）边界条件2）第二（弯矩）边界条件特别当时，称之为自然边界条件。3）第三边界条件（周期边界条件）当f(x)是以b-a为周期的周期函数时，S(x)也必须是以b-a为周期的周期函数。相应的边界条件为2.三弯矩插值法设S(x)在节点处的二阶导数值为三、样条插值其中Mi是待定参数，S(x)是二阶连续可导的分段三次多项式，是分段连续函数在区间上，可设为其中。对上式两端在区间上两次积分得三、样条插值其中Ai和Bi为待定的积分常数。为方便起见，记f(xi)=fi，由插值条件S(xi)=fi,S(xi+1)=fi+1

得Ai，Bi应满足方程解之得三、样条插值故有因此，只要知道了Mi就可由（11.1）式确定出S(x)。由（11.2）式有故有在(11.2)中用i-1代替i

就可以得到在上的表达式。三、样条插值由,有记，则由(11.5)式得方程组方程(11.6)含有n+1个未知量,但只有n－1个方程，为了确定唯一的解，还需利用边界条件。下面分别加以讨论。三、样条插值1）第一边界条件由(11.3),(11.4)得方程故有方程组三、样条插值其中2）第二边界条件此时有方程组三、样条插值其中3）第三边界条件有方程组（11.6）式中分别取i=1,i=n有其中，三、样条插值其中有方程组例2

利用三弯矩法，求下列数据的三次样条插值多项式x0123f(x)0346边界条件为三、样条插值解通过计算有故有方程组解之有三、样条插值由（11.1）式有三、样条插值设插值点为0.3，0.8，1.2，1.7，2.2，2.7。用matlab程序进行讲算。解：编制matlab程序如下，并运行。x=[0123];%插值节点y=[0346];%插值节点函数值xx=[0.30.81.31.62.22.7];%插值点yy=mspline(x,y,1,0,xx)运行结果：yy=0.64802.42133.34933.68604.42135.673