应用基础数值 3

应用数值分析第十四讲函数逼近和数据拟合（二）2数据拟合与最小二乘法

34教学小结提纲多项式拟合1问题引入教学目标与重难点教学目标运用多项式数据拟合解决相关问题。比较多项式数据拟合与正交多项式拟合的特点，判断二者的优劣。

1.能说出数据拟合的最小二乘原理；2.能说出多项式数据拟合的解题步骤；

3.能运用多项式数据拟合解决相关问题。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入“拟合”与“逼近”，前面学习的逼近，是用较简单函数按一定规则近似代替较复杂函数，是连续函数在区间上的近似。但工程应用中，还有大量以数据存在的函数。如果此时按一定规则有一函数在节点处与数据允许有一定的误差，但从整组数据来说误差能够达到最小，则按这一方法求解的函数，称为“拟合”。二数据拟合与最小二乘法二、数据拟合与最小二乘法1.问题的提出设函数f(x)有一组数据数据是通过实验，测量寻找一条曲线y=y(x)来拟合这n+1个点，因此称之为数据拟合或曲线或计算而得到，通常带有误差。现寻求一个函数y(x)来逼近数据，允许在节点xi处具有误差，但整体误差达到最小。从几何上来说是拟合。“拟合”函数y(x)在节点处与数据允许有一定的误差，但从整组数据来说误差达到最小。二、数据拟合与最小二乘法2.最小二乘法定义1

对f(x)的一组数据,若存在函数使求最小二乘函数的方法称为最小二乘法。简称为最小二乘逼近。其中称为权系数。二、数据拟合与最小二乘法定义2

设函数f(x),g(x)在每个点处均有定义。称为f(x),g(x)在点集{xi}上关于权系数{ωi}的内积称为f(x)在点集{xi}上关于权系数{ωi}的2-范数若(f,g)=0,则称f(x),g(x)在点集{xi}上关于权系数{ωi}正交记为二、数据拟合与最小二乘法定理1

最小二乘逼近存在且唯一证

定义m+1元函数由多元函数极值的必要条件有则有方程组记二、数据拟合与最小二乘法其中称方程组(13.1)为法方程(正则方程,正规方程)。当线性无关时，(13.2)的系数矩阵非奇异。方程组有唯一的解矩阵形式有二、数据拟合与最小二乘法则有由(13.1)式有数据拟合的余项(平方误差)为三多项式拟合三、多项式拟合利用代数多项式作数据拟合,取1.多项式的数据拟合此时法方程为三、多项式拟合例1

已知一组数据如表所示，利用最小二乘法求该组数据的多项式拟合13456789101054211234将表中数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点近似为一条抛物线。法方程为故拟合曲线可取为解三、多项式拟合故所求的多项式拟合曲线为解之得对例1的数据，若使用插值多项式，则多项式的次数为8次，而且效果还不好。在应用中也可逐次增加拟合多项式的次数,寻求效果最好的拟合多项式。%Example1clc;clearn=2;X=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];Y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4];[f,yuxiang]=dxsnihe(X,Y,n)三、多项式拟合例2

设有一组数据如表所示，求其多项式拟合曲线。00.250.50.751.001.00001.28401.64872.11702.7183f=0.2676*x^2-3.605*x+13.46yuxiang=0.4806三、多项式拟合1)先求一次拟合曲线法方程为解解之有拟合曲线为平方误差三、多项式拟合运行结果：f=1.708*x+0.8997yuxiang=0.0119%Example2(1)clc;clearn=1;X=[0,0.25,0.5,0.75,1];Y=[1,1.284,1.6487,2.117,2.7183];[f,yuxiang]=dxsnihe(X,Y,n)symsx;p=sym2poly(f);%把符号多项式转换成向量形式。f1=polyval(p,[0,1]);%求多项式的值。plot(X,Y,‘r’);holdon;%原始数据点。plot([0,1],f1,‘b--’);%拟合函数的曲线。三、多项式拟合2)求二次拟合曲线法方程组为解之得拟合曲线为平方误差比较发现，显然用y2(x)作拟合曲线的效果较好。三、多项式拟合%Example2(2)clc;clearn=2;X=[0,0.25,0.5,0.75,1];Y=[1,1.284,1.6487,2.117,2.7183];[f,yuxiang]=dxsnihe(X,Y,n)symsx;p=sym2poly(f);%把符号多项式转换成向量形式。f1=polyval(p,X);%求多项式的值。plot(X,Y,‘r’);holdon;%原始数据点plot(X,f1,‘b--’);%拟合函数的曲线运行结果：f=0.8437*x^2+0.8642*x+1.005yuxiang=1.2848e-04三、多项式拟合对某些曲线可以通过适当地变换后转化为线性拟合问题,如下表所示

曲线拟合方程

变量转换关系变换后的线性拟合方程三、多项式拟合1234567815.320.527.436.649.165.687.8117.6例3

如表头两行是已知数据，求一个形如的经验公式.两边取对数有令则有构造数据如下表所示解三、多项式拟合115.32.727912.7279220.53.020446.0408327.43.310599.9315436.63.60001614.4000549.13.89392519.4695665.64.18363625.1016787.84.47514931.32578117.64.76736438.138436---29.9787204147.1354正规方程为xiyiYixi2

xiYi三、多项式拟合解之有A=2.4368,b=0.2912故拟合的经验公式为拟合效果如图2.求解法方程存在的问题与最佳平方逼近相似，最小二乘法也有两个方面的问题

从例2可知，当需提高拟合多项式的次数时，法方程组中的每个方程均需增加一项，且还需增加一个方程，且新方程的解与原来所求得的值毫不相关。即当需提高拟合多项式的次数时，所有的多项式系数都必须重新计算，这将增加很大的工作量。另外法方程组的系数矩阵可能是病态矩阵。三、多项式拟合为了方便说明病态性，设所有的节点均在区间[0,1]内，且均匀分布。即取即法方程组的系数矩阵近似为m+1阶Hilbert矩阵H的n倍此时三、多项式拟合而Hilbert矩阵是病态矩阵，使得求解法方程将会产生很大的计算误差。为了克服上述问题，常用正交函数系作曲线拟合3.正交多项式的数据拟合定义3

设函数系满足其中Pk(x)是一个k次多项式，则称函数系{Pk(x)}在点集{xi}上关于权系数{ωi}正交三、多项式拟合当利用正交多项式作曲线拟合时，法方程（13.2）就是对角型方程组，其解为拟合曲线为当需增加一项时，只需求三、多项式拟合拟合曲线为在离散点集{xi}上生成正交多项式序列{Pk(x)}，常用的有两种方法。方法1从线性无关的多项式出发，利用Gram－Schmidt正交化方法构造正交多项式序列。令其中Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，可取为三、多项式拟合方法2

利用相邻三项递推关系的方法，其中为待定参数。其值可取为设递推公式为三、多项式拟合例4

利用正交多项式的方法对例2的数据逐次作曲线拟合解利用方法2构造正交多项式序列。1）由上面公式有三、多项式拟合一次拟合曲线为2）二次拟合三、多项式拟合故二次拟合曲线为与例2的结果是相吻合的。四内容