高一数学竞赛及试题答案

高一数学竞赛试题及答案

时间：2016/3/18

I注意：本试卷均为解答题、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、总分150分,

I考试时间120分钟、

I1.(本小题满分15分)

斑］

I设集合/4=,，-3工+2=()},8=k*+2(4+1)工+«2一5)=0,〃w/?},

I(1)若4n6={2}求4得值；

I(2)若AU台二A，求。得取值范围；

I(3)若(/=凡4「|(6笈)=从，求。得取值范围、

I2、(本小题满分15分)设M={x|f(x)=x},N={x\f［fM］=x},

I(1)求证：McN;

I(2)/(x)为单调函数时，就是否有M=N?请说明理由、

I3.(本小题满分15分)

I已知的数/(幻=2佃山4工+(：05、)+〃小；山3+(：05工)4在工£［0苧有最大值5,

I求实数加得值.

%14.(本小题满分15分)

已知阳教Ax)在R上满足H2-x)=H2+x),H7-x)="7+x)且在闭区间［0,7］上,

只有尸(1)=5(3)=0,(1)试判断函数v=Hx)得奇偶性；

(2)试求方程Hx)=0在用区间［-2011,2011］上根得个数，并证明您得结论.

5.(本小题满分15分)

已知二次函数f\x)=ax2+bx+\(a,bwR,a>0),设方程f{x}=x得两个实数根为七

与x2、

(1)如果$<2<x2<4,设函数/(X)得对称轴为x=X。，求证：>-1；

(2)如果国<2,昆-力=2,求b得取值范围、

6.(本小题满分15分)

如图，直三棱柱A8C-A蜴G中，AC=BC=-AA,,。就是棱得中

2

点，DCJBD。

(1)证明：QG_L8。；S'——二^修

(2)求二面角A—80—G得大小。

7.(本小题满分15分)在平面直角坐标系x0y中，设二次脚数］\

r(x)=M+2x+6(x£R)得图象与两坐标轴有三个走志及过三点得圆记为C、

(1)求实数6得取值范围；/；\

(2)求圆。得方程；/I\

(3)问圆C就是否经过定点(其坐标与6无关)？请证应会论.\

8.(本小题满分20分)设f(x)就是定义在R上得偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任

意X”X2W[0,都有/(X1+x2)=/(X])・/(X2)Hf(1)=a>D.

(।)，/(:)；

24

(II)证明/(幻就是周期的数；

(川)记an=f(2n+—),求lini(lna)

In

9.(本小题满分20分)设f(x)就是R上得奇函数，且当x>0

时，f(x)=lg(.r2-10),a£R、

(1)若f(l)=lg5,求f(x)得解析式；

⑵若。=0,不等式/(人2')+/(4、+攵+1)>0恒成立，求实数攵得取值范围；

(3)若/(%)得值域为R,求a器取值范围、

高一数学竞赛试题参考答案

1、解：A={1,2}

⑴•・,Ap|B={2}2G/?

即，2?+2・(。+1>2+(。2-5)=(),解得。二一3%=一1

①当a=-3时，B={A|X2-4X+4=O}={2}

②当，=-1时,B={X|X2-4=O}={-2,2}

综上ae{-1,-3}

(2)-：A\JB=A

：.

①当8时，则该一元二次方程无解，即△<(),

A\2(a+I)]2一4画一5)<0,即〃<一3

②当时，则该一元二次方程有解，即△》()，即a之一3

1、当〃=-3时，8={2}

2、当。>一3时，该一元二次方程有两个不同实数根1与2

「S

1+2=-2(〃+1),即〃二——

I2

1・2=。2-5,即。=±77(舍)，，综上。£(-8,-3]

(3)V^n(Q.B)=A,

①当△«时，即。<一3,8=。，满足要求

②当△一时，即a=-3,8=，},ADBx。，舍

③当△>()时，即。>一3,所以只需1任8且2任3

将1代人方程中得a=-1土；将2代入方程中得。=一3或。=一1

所以。工一3、。工一1和。工一1±J5

综上，a得取值范图为

(-oo,-3)U(-3-1-V3)U(-1-V3-1)U(-1-1+V3)U(-1+

2、证明：(1)若M=0,显然有MQM

若M手则存在满足/(x0)=玉)，

俄曲哄尹做周最薛琳E潞存敏也由VN,所以以二N;

但七比因此./■(.£)工与，

好/(力卬,由

矛^inx+cosx)’

可尚小(^^cosx)4

令/=sinx+cosx=V2sin(x+—)e[1,V2],

4

则2sinxcosx=/—1,从而f(x)=2-(t2-1)2+mt4=(//!-l)r4+2〃+1

令〃=re[1,2],由题意知g(u)=(m-l)w2+2〃+1在〃£[1,2]有最大值5、

当/〃-1=。时，g(〃)=2"+1在〃=2时有最大值5,故〃z=1符合条件；

当〃]一1>()时，gQOmax2鼠2)>2乂2+1=5,矛盾!

当/〃一1<0时，g®<2w+1<5,矛盾!

综上所述，所求得实数"7=1.

4、解(1)若y=》(x)为偶函数，

则f(—x)=f(2—(x+2))=f(2+(*+2))=f(44-x)=f(6,

/.f(7)=f(3)=0,这与Hx)在闭区间［0,7］上,

只有"1)=六3)=0矛盾；因此Hx)不就是偶函数.

若y=Hx)为奇函数，则5(0)=f(—0)=-HO),

Af(0)=0,这些f［x)在闭区间［0,刀上，

只有/1)=7(3)=0矛盾；因此Hx)不就是专函数.

综上可知：函数，(*)既不就是奇函数也不就是偶函数.

(2)Vf[x)=兀2+(x-2)]=丹2—(x-2)]=f(4-x),

f(G—a7+(x—7)]—f(7—(x—7))—f(14—A),

.\f(14-A)=f(4-A),即f[10+(x-4)]=f(4-x)

；・Hx+10)=Hx),即函数Hx)得周期为10、

又Vf(1)=f(3)=0,"1)=3(1+10而=0(z»eZ),

H3)=H3+10〃)=0S£Z),

即L1+10=与x=3+10〃(〃EZ)均就是方程尸(x)=0得根.

由一2O11W1+1O〃W2011及“WZ可得〃=0,±1,±2,±3,…，±201,共403个;

由一2011W3+10//W2011及“EZ可得〃=0,±1,±2,±3,…，±200,-201,共402

个;所以方程外功=0在闭区间[-2011,2011]上得根共有805个.

5、解:设g(x)=/(x)-x=a/+(〃-l)x+l,则g(x)=0得二根为X1与4、

卜⑵<0,即即

(1)由。>0及X]<2<A<4,可得

2g(4)>0[16rt+4/?-3>0

3+3--—<0,

2a4a

b3c

-4A-2——+——<0,

la4a

两式相加得一<1,所以，x>-1；

2a0

⑵由区一工2/=(生」)2-土可得2々+]="1)2+]、

aa

又=—>0,所以同号、

[0<<2<x2(x2<-2<Xj<0

••・-xj=2等价于4]_一一或)"।-----；—,

[2a+1=70-1)+1[2a+]=[S-+]

g⑵〉0g(-2)>0

即L(0)>0或卜(0)>0

2a+\=yl(b-\)2+\12〃+1=+1

解之得bJ或b>L

44

6、【解析】⑴在中，AD=AC

得：ZADC=45°

同理：NADC,=45nNCDC\=90

得：DC,±DC、DC\工BDnDC}_L面BCDDC,_LBC

(2)g_L8C,CC|_L8C=>8CMACC|A=8C_LAC

取A}B}得中点0,过点O作OH上BD于点、H,连接C℃H

,面面±面

4G=Be=>C0_LAAABC1±A]BD=cxoAIBD

OH1BD=>C]HrBD得：点”与点。重合

且NC|OO就是二面角A—8O—G得平面角

/Z

设AC=m则CO=手，CxD=4ia=2CXO=>ZQIX)=30°

既二面角A-BO-G得大小为30’

7、【解答】(1)令x=0,得抛物线与y轴交点就是(0,5)；

令Hx)=f+2*+b=0,由题意6手0且4>0,解得6V1且6手0、

(2)设所求圄得一般方程为/+/+，/+£?+尸=0、

令y=0得^+Dx+F=Q,这与x+2x+b=0就是同一个方程，

板D=2、F=b、

令x=0得/+£y+Z>=0,此方程有一个根为b,

代入得出£=一6一1、

所以圆C得方程为，+/+2/—（6+1）六卜6=0、

⑶圆C必过定点，证明如下：

假设圆C过定点（的㈤（也皿不依赖于6）,将该点得坐标代入圆C得方程,

并变形为竟+H+2M—乂>+6（1一妙）=0、（*）

为便(*)式对所有满足庆1(6手0)得6都成立，必须有1一皿=0,结合(*)式得三+

网+2必一战=0,

即=0(xo=-2

解得J或，

%=1[y&=1•

经检验知，点(0,1),(—2,1)均在圆。上，因此，圆C过定点.

分析,由人)是定义在及上的偈函数■稿;盘*揶

由图象关于五线x-i对称勾.

由对任意"X■!］，都有［(XX)=/(工)/(X1/U)=C＞。

/U)=/|5NO思维的批判性

电卜代:卜心唱“；)…

为什么还要求的值？(思维的深刻性)

要证明/(X)周期函数，只需证明：/x+T)=/(x)

/(1-X)=/(1+X)

/(x)=/(2-x)

/H)=/(x)

/(-.x)=/(2+x)=/(x)