高一数学寒假讲义（新人教A专用）【预习】第08讲 平面向量基本定理及坐标表示（教师卷）

第08讲平面向量基本定理及坐标表示

【学习目标】

1、掌握平面向量基本定理..

2、学会用平面向量的坐标表示，体会其儿何意义.

.1学A【考点目录】

考点一：平面向量基本定理

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

考点三：平面向量的坐标运算

考点四：平面向量平行的坐标表示

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

考点六：平面向量数量积的综合应用

iiS【基础知识】

知识点一：平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果与4是同i平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量〃，有且只有一对实数4,4，

使〃=4弓+4/，称4弓为华s的线性组合.

①其中华6叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量不,的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果a=4。+%/且a=4q+4/，那么4=4'，儿;=4'・

③当基底与e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

知识点诠释：

平面向量基木定理的件用：平面向量基木定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应

的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映r平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合.

（I）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解

答儿何问题时.，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量

弓、e；,平面上的任何一个向量。都可以用弓、e；唯一表示为。e；,这样几何问题就转亿为

代数问题，转化为只含有e；、e；的代数运算.

知识点二：平面向量的坐标表示

I、正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

知识点诠群：

如果基底的两个基向量的、◎互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底F分解向量，叫做正交

分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.

2、平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量7、/作为基底，对于平面

上的一个向量。，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数苍y,使得。=xi+9.这样，平面内的任

一向量。都可由工〉唯一确定，我们把有序数对（x.y）叫做向量。的（直角）坐标，记作a=（x.y）,x叫做

。在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标.把。=（4,），）叫做向量的坐标表示.给出了平面向量的直角坐

标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联

系，为向量运和数量化、代数化奠定/基础，沟通了数与形的联系.

知识点诠释：

（【）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即。=〃0否=&FLy=%，

其中4=（X，X）,〃=（W，%）•

（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同,比

如,若4(2,3),5(5,8),则48=(3,5)；若C(-4,3),D(—1,8),则CZ)=(3,5),AB=CD,显然A、

B、C、。四点坐标各不相同.

（3）（乂），）在直角坐标系中有.双重意义，它既可以表示一个固定的点，乂可以表不一个向量.

知识点三：平面向量的坐标运算

1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运算坐标语言

记OA=(x，y),08=(孙必)

加法与减法

0A+0B=(x]+&,X+为)，0B-0A=(占一%,y2-y)

实数与向量的乘积记a=(x,y),则4a=(,Ay)

2、如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法

则进行计兑.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐

标得到该向量的坐标.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.但同时注意

以下几个问题：

（I）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点

在原点时，平面向量的坐标。终点的坐标才相等.

（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.

（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的.

（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示

1、平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量〃=/=6，%），则〃〃O（内，）1）=%（工2，）’2），即,"，或与），2-毛乂=°-

知识点诠释：

若。=（凡,则。不能表示成士=2;因为分母有可能为0.

2、三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即己知

,y,),B(X2,y2),C(x3,),A6=(z—5，%一)'i)，AC=(±-玉，为-y),

若(x2-.r,)(y3-J,)-(X3-.r,)(y2-y,)=0,则A,B,C三点共线.

知识点五：向量数量积的坐标表示

I、已知两个非零向量。=(%,)；),b=(x2,y2),ci'b=x{x2+)\y2

2、设a=(x,y),则\af=x2+)/或|a\=yjx2+y2

I->3f

故OM

因为三点共线，所以存在实数2,使得OMn/lOE+a-AjObn/lpW+a—/l)c”，

加方13

消去2,得丁+丁=1.

7Piq

例2.如图，在平行四边形OAOB中，设向量oZ="，OB=b，点M、N是对角线A8上的两点，且

BM=MN=；BA,试用4、〃表示MD与CW.

【解析】

•.•平行四边形。八。&设向量苏=6,而=$,点M、N是对角线43上的两点,且

BM=MN=>BA,

3

I10\

:.MD=MB+BD=-AB+OA=-(OB-OA]+OA^-a+-b,

33、733

ON=OA+AN=OA^-AB=OA+-(OB-OA)=-a+-b.

33、f33

例3.如图，在6AHe中，且AE=2EC，A5=34O，BE交CD干点F.

(1)若BF=/iBE,求义的值：

⑵若AB=3,AC=2,/的。=与，求APE。.

【解析】

(1)VBE=AE-AB=-AC-AB,乂BFZBE,

3

2.

BF=-AAC-XAB,

3

由C,F,D三点共线，设。/=〃Z)C,

..7..I

BF=BD+DF=一一AB+juDC,乂OC=AC-AO=AC——AB,

33

8尸=(二」〃)AB+/MC,

33

・・・泊，,

4

46

(2)由(1)HF=-AC--AB,

•14-

AF=AB^BF=-AB+-AC,

77

I2—

^DE=AD-AE=^AB-^AC,

-14-121-22-8-2

AFED=(-AB+-AC)(-AB一一AC)=—AB+-ACAB-—AC,

7733212121

又A8=3,AC=2,ZBAC=—,

3

2829

AFED=—x9——x3-—x4=一一-

21212121

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

例4.在平行四边形A8CQ中，E,F,G分别为边8C,CD,D/1的中点，B,M,G三点共线.

若4"=6丛石+(6-2")人尸，则实数。的值为

14

【答案】y

【解析】

VAM=aAE+(6-2a)AF,E,F,G分别为边8C,CD.D4的中点,

人Af=a(人8+AG)+(6—2a)(；4B+2AG)=3八8+(12-3a)AG,

V5,M,G三点共线，

3+12-纭=1,解得：«=y.

14

故答案为：y.

例5.己知两个非零向量《与电穴共线，如果A8=q+/，HC=2ei+Se2yCD=2e[-4e2,求证：A,

B,。三点共线.

【解析】

BD=BC+CD=^2e}+配)+(2^-鸨1相+他=49]+^2j=4AB,

..•根据共线向量基本定理得，8。与横共线.乂BD与AB有公共点B,

：.A,B,。三点共线，得证.

考点三：平面向量的坐标运算

例6.已知四边形八BCD的三个顶点为人(0,2),2(-1,-2),C(3,1),且Z?C=2AZ)，则顶点。的坐

标为()

A.(2令B.(2,1)

C.(3,2)D.(1,3)

【答案】A

【解析】

设顶点。的坐标为

•••Z?C=(4.3),AD=(x,y-2),

且BC=2A。，

小Atx=2

2x=4

/.=><7

2.y-4=3y=-

故选：A.

例7.设P是线段PiP2上的一点，点Pi,Pi的坐标分别是5.v),(X2.”).

(I)当P是线段外心的中点时，求点P的坐标：

(2)当P是线段PIP2的一个三等分点时，求点P的坐标.

【解析】

(I)如图，由向量的线性运算可知op=g(o《+o6)=(宥■，”B，

(2)当点尸是线段凸尸2的个三等分点时，有两种情况，「冗或62=2?/”

若＜P=；PR,如图⑴，那么

OP=O4+6P=OK+；1E=Oq+g(OR—04)=：0片+；0622^21),

同理，如果《尸=2/7"如图(2),那么点P的坐标是(土弃,上手

考点四：平面向量平行的坐标表示

西

例8.平面内给定三个向量。=(3,2),/?=(-1,2),c=(4,1)

⑴若(a+kc)//(2。-a),求实数匕

(2)设d=(x,y)满足［d-c)//(«+Z?)且|d-c|=1,求〃.

【解析】

(l)(a+kc)//(2b-a),

又。+kc=(3+4Ar,2+k),2b-a=(-5,2),

2x(3+4幻一(-5)x(2+Q=0,

,16

/.k=----.

13

(2)vJ-c=(x-4,y-1),tz+/?=(2,4),

乂(d-c)〃(a+〃)且|d-c|二l,

4(x-4)-2(>'-l)=0,

(x-4)2+(y-l)2=h

I+g'd石

x=4----,

55

解得或，

5+26

5-2后

y=~^'

)或(4一立3).

55

例9.如图，在平面直角坐标系中，同=2|同=4,ZOAB=y,BC=(-2,275)

（1）求点B.C的坐标；

（2）求证：四边形O4BC为等腰梯形.

【解析】

解：（1）设3（内），则/=|。小+卜目008（」一/048）=5

y=,8卜访（乃一N0A8）=省,

•••可5,百），

OC=OB+BC=(5,73)+(-Z2V3)=(3,3x/3),

.•・C(3,3G)；

（2）证明：连接OC.

0cH3,3&),=

/.OC=3AB，.•.OCMAB且|。。卜网，

又国=4,四=“一2)2+(2何=4,

二囱=|叫

••・四边形Q48C为等腰梯形.

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

乂

例10.已知4=(4,-2),〃=(6,-1),求：

(I)ab\

(2)(2a叫•(〃+2万)；

(3)囚-3H.

【解析】

(I)因为“=(4,一2),/?=(6,-1),所以a/2=4x6+(—2)x(—1)=26.

(2)因为〃=(4,-2),〃=(6,-1),所以2a-〃=(2,-3),。+»=(16，T),

所以(2a-〃),(a+2〃)=2xl6+(-3)x(-4)=44.

(3)因为a=(4,-2),6=(6,-1),所以2a—3〃=(一10,-1),

所以\2a-3陷=7(-10)2+(-1)2=河.

例11.已知A(-2,1),8(2,-2),C(-3,-5),。(3,3).

/,、UlMIUl«l

(I)求证：ABJ.CZ)：

(2)求A。在AB上的投影向量.

【解析】

(I)已知A(—2,l),5(2,-2),48=(4,-3),C(-3,-5),D(3,3),CD=(6,8)

ABCD=24-24=0:.AB1CD.

(2)A(-2,l),8(2,-2),C(-3-5),7X3,3)

AD=(5,2),AB=(4,-3),AO在AB上的投影为爷萨=/

AB=(4,-3)上的单位向量为送j=《，一|)

AD在八川上的…投人影向量I“为I丁4而Afi七(4.3/]=14图(56石M2)

例12.如图，在正方形48CQ中，E,尸分别是边A8,8C的中点，用向量的方法证明:DELAF.

【解析】

解：如图所示，建立平面直角坐标系：

设正方形的边长为2,则A(0,0),。(0,2),£(1,0),/(2,1)

"=(2,1),DE=(l,—2)

AFDE=2xl+lx(-2)=0

AFA.DE•^AFLDE

考点六：平面向量数量积的综合应用

例13.平面内有向量04=(1,7),08=(51)，。P=(2,1),点M为直线OP上的一个动点。

(1)求当M/VM3取最小值时，求的坐标：

(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cos/AMB的值。

【解析】(1)如图，设何(X,)，)。则OM=(x,y),

•・♦点M在直线OP上，.♦.向量0M与OP共线。

又"=(2,1),:.x\-y-2=0,HPx=2y.

OM=(2y,y)。

又M4=OA-OM,OA=(1,7),：.MA=(i-2yJ-y)B

同理MB=OB-OM=(5-2y,l-y)。

于足，MAMB=(l-2>')(5-2y)+(7-y)(l-y)=4/-12y+5+/-8y+7=5/-20y+12

-20

由二次函数的知识，可知当)，=——2=2时，有最小值-8,此时OM=(4,2)。

2x5

(2)当OM=(4,2),即y=2时，有M4=(—3,5),MB=(1,-1),|MA|二后，\MB\=42,

MAMB=(-3)x1+5x(-1)=-8.

MAMB_~8_4717

/.cosZ.AMB

一〃「取xa-—-\7~

例14.己知人BCD是边长为2的正方形，P为平面八88内一点，则(PA+Pq-PC的最小值是

()

A.-2B.--C.-3D.-4

2

【答案】B

【解析】

48C。是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线A'4”分别为x轴，)，轴建立平面直角坐标

系,如图：

131

则A(0,0),3(2,0)。⑵2),设点P(xty),

PA=(f-y),PB=(2-x,-y\PC=(2-x,2-y),

于是得：(P4+PW).PC=(2-2r,-2y)(^-r,2->>)=2(r-1)(r-2)+2y(y-2)=

35

2(x--)2+2(>>-l)2-p

3.5

当x=j.y=l时，（PA+P8）PC取得最小值

所以（P4+P5APC的最小值是-2.

故选：B

例15.如图，点C是半径为6的扇形圆弧AB上的一点，OA-。。=-18,若OC=xOA+y

OB，则3x+2y的最大值为.

B-

【答案］旭

【解析】

由EVM=6X68S/A(用二-18,

则cosNAOB=-

建立如图所示坐标系,则46,0）,3（-3,3®

^OC=xOA+知，

(6cosa,6sina)=x(6,0)+y(-3,3、5)=(6x—3y,3y/3y),

化简得：x=&WCM)，_2色ina

31^3

2^3n\[y

则3x+2y=3(-^-sina+cosa)+2x—sina=-y-sina+3cosa

噜in…,其中⑶配手

则当刖…小时，3依最大值为净

故答案为：过亘

3

【真题演练】

I.(2023•全国•高考真题(文))已知向量a=(2,l)力=(一2,4),则，一,(

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因为a—力=(2,1)-(—2,4)=(4,—3),所以,一0=口7由=5.

故选:D

2.(2023•全国•高考真题)已知向量0=(3,4),b=(l,O),c=0+fb,若<%c>=<b,c>,则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】d=(3+八4),cos("©=cos低c)，即一乖j一=-pp，解得/=5,

故选:C

3.(2023•山东・高考真题)已知点A(4,3),8(T,2),点。在函数)，=d-4x-3图象的对称轴上，若

PAIPB^则点尸的坐标是()

A.12,-6)或(2,1)B.(—2,-6)或(—2,1)

C.(2,6)或(幺-1)D.(—2.6)或

【答案】C

【解析】由题意函数'=/-4"-3图象的对称轴是*=2,设P(2,y),

因为PA1P8，所以PA•4=(2,3-7.(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得y=6或y=-l，所以

P(2,6)或尸(2,-1),

故选：C.

4.(2007.山东•高考真题(理))设向量”=(1,-3),〃=(-2,4),°=(-1,-2),若表示向量

4出40-2c,2(a-c),"的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量4为­)

A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)

【答案】D

【解析】由题可知:4〃+4力—2C+2d—2c；+d=0，

即1=-64-劭+4°=(-6,18)+(8,-16)+(-4,-8)=(-2,-6).

故选：D.

5.(2007•福廷•高考真题(理))已知|OA|=1,|OB|=J5,OAO8=0,点。在/A08内，旦N4OC=30°.

i§tbC=mOA+nOB(m.neR),则'等于()

n

A.-B.3C.—D.73

33

【答案】B

【解析】因为=

所以OA_LOB,

乂因为点。在/A08内，且NAOC=30。，

建立如图所示的坐标系：

则OA=(l,0).O8=(0,®

又因为OC=〃Q/4+〃a?(，〃、〃GR),

所以OC=(m,J5〃)，

所以1工11130。=叵=立，

m3

所以㈣=3.

n

故选：B.

6.(2023•全国•高考真题(文))已知向量〃=(皿3)1=(1,〃?+1).若“,力，则机=.

3

【答案】

4

3

【解析】由题意知：«-/>=/n+3(w+l)=0,解得〃?=-：.

4

3

故答案为：

4

7.(2023•全国•高考真题(理))已知向量〃=(1,3)力=(3,4),若(a-M)JLb,贝叱=.

【答案】|3

【解析】因为。一加=(1,3)—4(3,4)=口一343-4孙所以由(a一祠小可得，

3(l-3A)+4(3-4A)=0,解得％=

3

故答案为：-.

8.(江苏•高考真题)如图，在&A8C中，。是3c的中点，E在边45上，BE=2EA,A。与CE交于点。.

Afi

若ABAC=6AOEC，则力的值是-

A

E

【答案】瓜

【解析】如图，过点。作。月/CE,交48于点凡由8E=2E4,。为8c中点，知8/=/吨=£4<0=0。.

6A0-EC=3AD-(AC-AE)=AB+AC)^AC-AE)

=施8+AC.AC-gABj=|(AB-AC-gAB'+AC-1AB>Ac]

3(2I2.，、I，3，

=-\-AB.AC--AB'+AC\=AB>AC--AB'+-AC'=AB^AC,

2(33)22

得即|AH|=J5|AC|,故组=JJ.

221111AC

9.(2()07•江西•高考真题(文))已知向量d=(l,sinO),B=(l,cos。)，则卜广目的最大值为.

【答案】a

【解析】:a-〃=(O,sin〃-cos0),

.-0=J(sin6-cos，)2=J]-sin2。,

则当sin20=-1时，卜，-可取最大值

故答案为：V2.

10.(2023・北京・高考真题)已知向量〃，,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为1,贝IJ

(a+b)-c=：ab=.

【答案】03

【解析】以小〃交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示:

贝h=(2,1),〃=(2,-1),(?=(0,1),

：.a+b=(4.0).+=4x0+0x1=0.

."b=2x2+lx(-1)=3.

故答案为：0；3.

O

*

【过关检测】

一、单选题

1.(2023,江苏•滨海县五汛中学高一阶段练习)已知向量〃=(工4),〃=若k+4=|。-力|,则x的

值是()

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

【解析】由已知可得，a+/)=(x-l,5),a-/)=(x+l,3),

因为卜+。卜卜_陷，所以J(x-l)2+52=J(x+lf+32,

解得，x=4.

故选；C.

2.(2023・全国•高一课时练习)若向量。与力是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是

()

A.-a与a+bB.a+b2a+b

C.2a-5〃与T〃+IO/)D.2a+b与"+2b

【答案】C

I=-2,

【解析】对于A,假设存在实数使a+方=刈-。），则|八，方程组无解，即不存在实数义，使

«+/?=2（-«）,即-G与a+〃不共线，A不选；

j=2/1

对于B，假设存在实数2,使〃+。=42〃+〃），则《一方程组无解，即不存在实数义，使

I=A

a+b=A（2a+h）,即“+b与2〃+力不共线，B不选；

对于C,假设存在实数2，使%一5〃=4-4〃+1（町，则解得％=—4，即2a—58与Ta+108共

线，选C：

对于D,假设存在实数2,使%+〃=4（"+2方），则（二级，方程组无解，即不存在实数之，使

I=2/t

2a+5=2（“+2b）,即2d+力与4+2》不共线，D不选：

故选：C

3.（2023•上海市浦东中学高一期末）在/BC中，已知。为3c上的一点，且满足8Z）=4OC,则AD=

（）

31731441

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44555555

【答案】C

__4__

【解析】因为用）=4DC,所以BD=1C、

所以八O=A月+80=人8+18C=A8+［（八右一八3）=!人»+1八0.

故选：C.

4.（2023・陕西师大附中高一期中）已知。是平面上的一个定点，4、8、C是平面上不共线的三点，动点、P

满足OP=OA+/l=+=peR）,则点尸的轨迹一定经过.ABC的（）

眄HI

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

ABAC

【解析】因为懑为43方向上的单位向量，位［为AC方向上的单位向量，

Al）AC

则的方向与NB4c的角平分线•致,

|人例\AC\

由°P=QA+2।-■]+।'I,可得。尸一Q4=4r-—i+r-

、网卜qj〔网阿

ABAC

即AP=/l

<H+H

所以点尸的轨迹为NBA。的角平分线所在直线，

故点P的轨迹•定经过ABC的内心.

故选：C.

5.(2023・陕西♦蒲城县蒲城中学高一期末)已知向量)=(-2,2),7=(5,«).若卜+囚不超过5,则氏的取值

范围是()

A.[Y,6]B.[-6.4]C.[-6,2]D.[-2,6]

【答案】C

【解析】因为。=(一2,2),b=(5,k),所以“+〃=(3,2+&),

所以卜十可=府十(2十))2二代川人十门，因为卜+〃|不超过5,

所以42+小+13工5,解得：-6<k<2,

故选：C.

6.(2023•辽宁•东北育才学校高一阶段练习)如图，.38。中，BD=3DC，AE=mABfAF=nAC>

I3

tn>0,〃>0,则一+—=()

mn

43

A.3B.4C.-D.-

34

【答案】B

【解析】由题意得：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC,

44、744

__1-3-

AE-mAB»AF=nAC»--—AE+—AF,

4/〃4n

I3I3

•・・E.D尸三点共线，+/=即上+士=4.

4/〃4〃mn

故选:B.

7.(2023,江苏•滨海县五汛中学高一阶段练习)在“IBC中，A3=4,AC=〃,8O=gBC,则人。=()

A.—(i+-bB.-a+—h

3333

34-43-

C.-a+—bD.-a+-b

5555

【答案】B

【解析】VAB=dfAC=bf

1--

ABC=AC-AB=b-a.乂BD=3BC

AD=AB+BD=a+-BC=a+—(h-a}=—a+—b.

33、33

故选：B.

8.(2023•黑龙江•杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习)向量”=(-1,1),且向量〃与向量〃+幼

方向相同，则的取值范围是()

A.1,1)B.(-1,+cc)

C.(1,+cc)D.(-cc,l)

【答案】B

【解析】因为向吊：“与向吊：a+2b方向相同，则存在实数4%＞。，

使得〃=+2力)

即(1一2)。=2/11

r1_;r

所以b=

因为a=(—1,1),所以J=2

rrr1_2I_J

所以。2•步=一

因为义＞0,所以

故选:B.

二、多选题

9.(2023•江苏•滨海县五汛中学高一阶段练习)设向量Z=(L2)[=(/〃,5〃L3),平面内任一向量c都可唯

一表示为:心+小,则实数〃?的可能取值是()

A.2B.3C.1D.0

【答案】ABD

【解析】根据平面向量的分解定理，两个向量可作为一组基底必须它们不平行，

.二与b不平行，有1x(5/〃-3)H2/%解之h1.

故选：ABD.

10.(2023•黑龙江・哈尔滨市第一二二中学校高一阶段练习)已知。=(1,2)力=(4/)，则下列叙述正确的是

()

A.若〃,。，则f=8B.若a〃，贝卜=2

C.■的最小值为5D.若向量d与向量力的夹角为钝角，则，<-2

【答案】AD

【解析】对于A,若a"b，则lxr-2x4=0,解得：f=8,A正确：

对于B,若a，b，则4+2r=0,解得：t=-2,B错误；

对于C,因为a-〃=(-3,2-/),所以,一匕『=(一3『+(2-/)2=(/-2『+9,则当f=2时，,一耳，=9,

・电-司=3,C错误；

Ihiun

对JD,若向量值与向量人的夹角为钝角，则a$=4+2/<0，解得f<-2,由上可知，此时两向量不共

线，D正确.

故选：AD.

II.(2023・河南•商水县实验高级中学高一阶段练习)已知向量〃=(2,1),Z>=(-3,1),则()

A.若。=»则a_LcB.向量”在向量。上的投影向量为一：。

XZ

C.a与“一〃的夹角余弦值为竽D.(a+A)〃a

【答案】ABC

【解析】对于A选项，若c=(g，一手｝则a-c=2xg+lx-竽=0,所以&上8,A正确：

对于B选项，设向量°在向量方上的投影向量为"，则夕〃=乃2,即2x(—3)+『=l(H,解得/l=-3，故

向量a/上向量b上的投影向量为-],B选项正确：

a\a-lAin2石

对于C选项，a-/?=(5,0),cos<d,d-/>>=-Fp1一^=万一=等，C选项正确；

,6/—ct,5x55

对于D选项，a+b=(-l,2),,.Txlw2x2,所以a+)与“不共线，D选项错误.

故选：ABC.

12.(2023•黑龙江•大庆实验中学高一期末)如图，在等腰直角ABC中,斜边,。=6,且笳=2朋，点

P是线段A。上任一点，则APCP的可能取值是()

A

C.4D.5

【答案】BC

iur211nl1111r

【解析】依题意，|八八。|=3五，因笳=2那.贝ijAD—一八〃十一AC,

33

又点夕是线段AD上任一点，则令AP=/AO=3A5+!AC,CP=AP-AC=MAB+d-l)4C,0<Z<L

3333

而AB/AC

bk|jfty4PCP=(yAB+|AC)[y>4B+(1-l)AC]=^/2AB2+^(|-lMC2=I0/2-6/,

3999

而OSYl,则10/—6，=10"-记)2-记€[-m,4],B|J-—<APCP<4,选项A,D不满足,B,C满足.

故选：BC

三、填空题

13.(2023•黑龙江・哈九中高一期中)已知向量。=(2,2),/>=(1,2)(2GR),若。与〃的夹角为锐角，则:

的取值范围为.

【答案】4>一1且4=4.

【解析】由“〃/>得，2?2I?/0,Z=4.

由已知得，0<对<三所以8$〈"6=崩>。,即〃.>>(),且〃,b不共线.

则a6=2xl+2/l=2+2/l>0,A>-1.

又a为不共线，则义W4.

所以，4的取值范围为4>一1且义工4.

故答案为：2>—1且/lw4.

14.(2023•上海市曹杨中学高一期末)已知。为坐标原点，且A(1,M.8(4.4-〃J),若O,A3三点共线，则

实数加=.

【答案】I4

【解析】因为O,AB三点共线,所以OA//OB，OA=(l,m),08=(4,4—〃?)，

4

所以4一，〃=4〃?，解得：=—.

5

故答案为：I4

15.(2023•上海市大同中学高一期末)是边长为4的正三角形，以A为圆心，2为半径作圆，点。

为圆上一动点，则3PC8的取值范围是.

【答案】［-16.0］

【解析】以A为坐标原点建立如图所示坐标系，

则«(-2,-2N/3),C(2.-2>/3),

设所以8P=(x+2,y+2G),CB=(-4.0),

所以BPCB=(x+2)x(-4)=-4.V-8,

因为-2W2,

所以

故答案为：［-16⑼

16.(2023•安徽省岳西县汤池中学高一阶段练习)如图，A8C。是边长为4的正方形，若。E=R

产为的中点，则用.M=.

【答案】5

【解析】以A为坐标原点，以4力所在的直线分别为X轴，丁轴建立如图所示的平面直角坐标系，则

A(0,0),E(l,4),F(4,2).

>1

则以=(一1,-4),EF=(3.-2),所以/=-lx3+(-4)x(-2)=5.

故答案为：5.

四、解答题

17.(2023•山东东营•高一期中)如匡，在平行四边形/1BC。中，AB=\,4)=2,NBA。=60°,BD,

AC相交于点O,M为BO中点.设向量"=〃，AD=b.

(2)处立适当的坐标系，使得点。的坐标为C(|，¥),求点M的坐标.

【解析】(1)由四边形A8C。是平行四边形，BD,AC相交于点O

--1一1一1-

所以八0=—/9=一(八8+/1。)=一(。+人)，

222

因为M为80中点，,AM=g(AO+AB)=gl；(a+〃)+a]=:4+；0.

(2)如图，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由48=1，AD=2,

/出0=60。,可求得点C的坐标为eg,4),

根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为M(Z,

8

18.(2023•全国•高一课时练习)如图所示，A。是△ABC的一条中线，点。满足4)=200,过点。的直

线分别与射线A8,射线AC交于M,N两点.

(1)若八。=/八8+〃八。，求儿〃的值：

(2)设AM=〃zA8，AN=〃AC，w>0,〃>0,求,+上的值；

mn

【解析】(1)因AO=2OO，

所以AO=£AO,

3

又因。为8C的中点，

所以八£)=；(人8+AC).

—2—1一1—

所以AO=§A£)=§A6+§AC,%AO=AAB+/.lAC,

所以4=；，〃=；：

(2)|i|AM=mAB»AN=〃AC，w>0,〃>O,

所以人B=AC=^AN,^AO=-AB+-AC,

mn33

所以AO=J-AM+-!-AN,

3m3n

乂因M,O,N三点共线，

所以'-+!=l，即L+_L=3.

3M3〃nin

19.(2023•吉林・白城市通榆县毓才高级中学有限责任公司高一阶段练习)已知平面向量。=(1,力,

〃=(2x+3,-x),xeR.

⑴若a〃b，求卜-〃|：

(2)若〃与〃的夹角为锐角，求％的取值范围.

【解析】(1)由题意得：T7(2x+3)=0,解得：x=0或-2,

当x=0时，«-b=(l,0)-(3,0)=(-2,0),所以卜一耳=2：

当x=-2时，«-/?=(1-2)-(-1,2)=(2,M),

所以卜_力|={2?+(-4丫=2逐：

(2)因为“与〃的夹角为锐角，

所以4为=2x+3-J>0，且°与很不同向共线，

即T-X(2%+3)HO,

解得：-1<x<3»且xwO,

综上：x的取值范用是(-1,0)J(O,3).

20.(2023.上海市第三女子中学高一期末)(1)已知点42.4)出(-1.-6),点P是直线4?上一点，且

\AP=^\AB\,求点夕的坐标；

(2)已知|“|=2,|〃|=1，。与〃的夹角为120。刈=2依+7〃,“=〃+小ieR.且m与”的夹角为锐角,求实数/

的取值范围.

【解析】<1)设点P的坐标(x.v),由A(2,4)A-l,-6)，

^AP=(x-2,y-4),Aff=(-3,-10),

因为点。是直线AH上一点，R\AP\=^\AH\,

11

所以AP=—43或AP=—248,

33

即(x-2,y-4)=l(-3,-10)=f-l,-y

(2)因为|a|=2,|b|=l.a与〃的夹角为120°,

所以a.。=|a|||cos120°=2xlx

mn=(2ta+lb)-(ci+lb)=2tcr+{11~+1^a-b+llb'=8/-(2/2+7)+7/

=-2?+15/-7,

因为“与〃的夹角为锐角，所以即_2「+15/-7>0，

解得又