高考数学刷题首秧单元质量测试五不等式推理与证明算法初步与复数理含解析

单元质量测试（五）

0时间：120分钟展：满分：150分

第1卷（选择题，共6（）分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.（2018•南昌摸底：）已知复:数z满足（l+i）z=2,i是虚数单位，则更数z的虚部为

（）

A.1B.-1C.iD.-i

答案B

解析因为/二三二方驾言7=空尸=l—i,则复数z的虚部为一1,故选B.

1十1（1十1）（1—1）Z

2.（2018•太原三模）已知复数z满足iz=---,则复数z在复平面内对应的点在

1I乙1

A.第一—象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

5虻4+3i4+3i（4+3i）（—2—i）—5T0i,~皿…

解析Z=（l+2i）i=-2+i=（-2+i）（-2-i）=-5-=-1—21,所以复数z在复

平面内对应的点在第三象限，故选C.

3.（2018•大庆质检一）若就〃>0,p<q<0,则一定有（）

mnmn

A.->-B.-<-

QPQP

mn

c.->-D.-<-

PQPQ

答案B

解析由析〃>0,小（），可得|p|>|<?|>0,所以而:j均为负

数，所以笠而自为大小则无法比较，故选民

4.（2019•青岛模拟）已知复数z的共挽复数为且z+，（l+i）=3—4i,则在复

平面内，复数z所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析设(a,/)ER)，故z+7.(14-i)-4-(/?—/)i)(I+i)=(2a+/))+

ai=3—4i,则a=-4,6=11,故z=-4+lli,则在复平面内，复数z所对应的点为(-4,

11),位于第二象限.故选B.

5.观察(炉)'=2%(父厂=4咒(cosx);=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R

上的函数/Xx)满足=/.(>),记以力为/tv)的导函数，则式一工)=()

A.f(x)B.—f(x)C.g(x)D.—g{x)

答案D

解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当/’("是偶函数时，

其导函数应为奇函数，故g(一/)=-g(x).

x20,

6.(2017•浙江高考)若x,y满足约束条件，*+/—320,

2K0,

则z=x+2y的取值范围是()

A.[0,6]B.[0,4]

C.[6,+I).[4,+3)

答案D

解析

不等式组形成的可行域如图所小.平移直线/=一%,当直线过点加2,1)时，z有最

小值4.显然z没有最大值.故选D.

7.(2018•长春质检：)设正实数a,。满足a+b=l,则()

A.-+相最大值4B.*7罚有最小值;

C.5+的有最大值，D.有最小值平

答案c

解析由于a>0,b>0,由基本不等式得1=&+522寸^,当且仅当a=6时，等号成立，

；・abW；,因此的最小值为4,才+//=(a+6)"—2泌

v24abababab

=1-2a621—(5+$)2=a+/7+2小=1+2\分<1+1=2,所以—+或有最大

乙乙

值隹.故选C.

8.（2018•福建质检）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历

史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材,

而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对"推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用.卷八

中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序

框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数5为（）

A.120B.84C.56D.28

答案B

解析第一次循环，i=0+l=l,/?=04-1=1,5=04-1=1；;<7,第二次循环，了=1

+1=2,〃=1+2=3,5=1+3=4；水7,第三次循环，>=2+1=3,〃=3+3=6,5=4+6

=10；7<7,第四次循环，J=3+1=4,〃=6+4=10,S=10+10=20：K7,第五次循环，

>=4+1=5,72=10+5=15,5=20+15=35；X7,第六次循环，/=5+1=6,〃=15+6

-21,5-35+21-56；J<7,第七次循环，/-6+1-7,〃一21十7—28,5-56+28-84：i

=7,结束循环，输出S=84.故选B.

9.（2018•湖北武汉调研）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、

丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；

丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中

有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是

（）

A.甲B.乙C.丙D.T

答案B

解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么

甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三

人不是罪犯，显然两个结一念相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真

话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯.

*22,

10.（2018•山东滨州模拟）已知变量x,y满足约束条件，3x一代1,若z=ax-\-

j2x+l，

"（於0,力0）的最小值为2,则成的最大值为（）

A.1B,-C.-D.-

答案D

作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z=a*+/沙（a>0,垃0）,故当x,y均

取最小值时，z取到最小值.即当x=2,y=3时，z=ai+"取得最小值2,即2a+33=2,

所以2a•=1,当且仅当2a=3〃=1,即a=4，时等号成立，所以（6/份皿

/O

—1,即（劭）皿=、.

0

11.（2018•河南郑M三模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的

“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的

小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：

7

2456T89

MT?

IIIIIIlr

-=-

-__L=三

L_

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码

的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示,

以此类推，例如GG13用算筹表示就是：±T_II,则5288用算筹式可表示为（）

A•三=工/B-Hill=If工

C三II三HTI）,milIITITTIT

答案c

解析由题意可知，5288川算筹式表示，从左到右依次是横式5,纵式2,横式8,纵

式8.故选C.

⑵（20包甘例调研）若正数小方满足则£+普的最小值为（）

A.16B.25C.36D.49

答案A

解析因为a,力0,所以所以一彳+^^=

abct—1b—1警(a—1)(〃一1)

48+16a-20=4/?+16a—20.又46+16a=4(6+4a)=4(b+4a)•(；+：)=20+4

ah一(z?+/))+1衿）

220+4X2第・8当且仅当即a,,Q3时取等号.所以日

16

~b-1236—20=16.

第II卷（非选择题，共9（）分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2017-天津高考）己知a®R,i为虚数单位，若公为实数，则a的值为—

/I1

答案一2

版M(4_i)(2_i)2a_]—(a+2)im+2

解析因为2+「(2+i)(2-55为实数，所以-^=0,解得a=-2.

14.（2018•长春质检二）更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序

框图是依据更相减损术写出来的，若输入a=91,匕=39,则输出a的值为________.

答案13

解析第一次循环得：a=91—39=52；第二次循环得：a=52-39=13；第三次循环得:

8=39—13=26；第四次循环得：426—13=13,此时a=。，所以输出13.

19

15.（2018•大庆质检一）若fix）=e'lna+e-】nb为奇函数，则一+彳的最小值为

ab

答案2^2

解析由/（*）的定义域为R,且/'（X）为奇函数，则有/1（0）=1na+ln〃=（）,即ab=\.从

吟*2\/1=2的当且仅当济，即a=坐2g时，取等号.

>+y—120,

16.(2018•豫南九校联考)已知不等式组<x-y+120,表示的平面区域为〃，若

l2x-y-2W0

对任意的(My)£〃，不等式£一4</一2夕+6<£+4恒成立，则实数t的取值范围是.

答案(3,5)

解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得力(3,4),8(0,1),

C(l,0).设z=x—2y+6,平移直线可知z=x—2y+6在1(3,4)处取得最小值1,

t-4<l,

在C(l,0)处取得最大值7,所以解得3"<5.故实数£的取值范围是(3,5).

什4>7,

x-v+l=O

x+y-1=0

三、解答题(本大题夫6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.本(小题满分10分)已知好数©满足(©—2)(l+i)=l—i(i为虚数单位)，复数Z2

的虚部为2,且©•及是实数，求zz.

解由(ZL2)(l+i)=l—i,得ZL2=皆1，

即Z,=T+T+2=(l+i)(l-i)+2=2-i，

设Z2=a+2i(a£R),

则Zi•Z2=(2—i)(a+2i)=(2a+2)+(4—a)i.

乂Z、•Z2是实数，

・・・4一々=0,・・・a=4.・・・Z2=4+2i.

18.(2018•湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知1g(3x)+lgy=lg(x+y+D.

(1)求孙的最小值；

(2)求x+y的最小值.

解由1g(3%)+lgy=lg(x+y+1),

\r>0,

得，y>0,

.3盯=叶y+1.

(1)*.*x>0,y>0,/.3xy=x-\-y+12y[xy-i1.

3%y—1^0,BP3(y[xy)'~2y[xy—1>0.

/.(3^xy+1)(y[xy—1)20.

••・6八••・町21・当且仅当x=y=l时，等号成立.

，盯的最小值为1.

(2)Vx>0,y>0,x+y+1=3•(“；.

.•.3(x+y)2—4(x+y)—420.

/.[3(x+y)+2][(x+y)—2]20.x+y22.

当且仅当x=y=l时取等号，，x+y的最小值为2.

19.(本小题满分12分)关于x的不等式组

Z—%—2>0,

的整数解的集合为{一2},求实数片的取值范围.

29+(2衣+5)才+54<0

解不等式彳2—万一2>0的解集是（-8,-1）U（2,+8）.

不等式+（24+5）x+5K0,

即为（2x+5）（x+Q<D,（*）

5F5

当TV—亍即Q加，住）的解集是i,一力此时一2不在不等式组的解集中,所

5

以不符合题意；

当一女=一5,即4=£时，（*）无解，也不符合题意；

当一〃>_*即衣|时，（*）的解集是一|，-k.

要使不等式组的整数解的集合为{—2},

借助数轴可得一2<一4<3,解得一3WK2,

5

又丐，所以一人

乙3W2.

综上，实数左的取值范围是［—3,2）.

20.（本小题满分12分）先阅读卜.列不等式的证法，再解决后面的问题:

已知句，续£乩句+比=1,求证：a；十/2；

证明：构造函数fa)=(x-a)2+(x-&2,

则f(x)=2^—2(句+加x+ai+/=2f—2x+a：+a"

因为对一切x£R,恒有f(x)20,

所以4=4-8(3+疝WO,从而得才+湛2)

(1)若a,金,…，a£R,a+&H---ka0=1,请写出上述结论的推广式；

(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明.

解(1)若a"&,…，a”£R,a1+a2H---Fat,=1>

则at4-<32H----F点

(2)证明：构造函数

2

f(x)=(x—aM+(x—全>H---F(A—afl),

贝Uf[x)=〃/-2(国+包-I---1-8)x+aj+a：H----1-岌=/?f-2x+a：+/d----卜益,

因为对一切x£R，恒有/'J)》。，

所以/=4—4〃(#+>+…+W)W0,

从而得4+a；H----F■

21.(本小题满分12分)首屈世界低碳经济大会在南昌召开，本屈大会以“节能减排，

绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二

氧化碳转化为•种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600

吨，月处理成本“元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=1?-200^+

80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利涧；如果不获利，则国家至少需要补

贴多少元才能使该单位不亏损？

解(】)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

y1,80000…、c打~80000…

-=~x-\--------20022、-x---------200

x2xY2x

=200(400^x^600).当且仅当晒”，

乙A

即x=400时等号成立.

故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200

元.

(2)不获利.设该单位每月获利为S,则

S=\OOx—y

=100x—(*—200x+80000)

=+300^-80000

=-1(^-300)2-35000.

V400<A<600,

:.(400-300)2-35000=一40000.

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.

22.(2018•江苏高考)(本小题满分12分)设｛&｝是首项为m，公差为d的等差数列，

｛ZU是首项为加公比为？的等比数列.

(1)设8=0,6=1,q=2,若|a-bjWb对〃=1,2,3,4均成立，求”的取值范围;

⑵若创=仇》0,初SN,q£(l,5],证明：存在相R,使得|为一4|W力对〃=2,3,­••,

勿+1均成立，并求d的取值范围(用勿，g表示).

解(1)由条件知&=(〃-1)d,b,—2!'~\

因为Ia一WZh对。=1,2,3,4均成立,

即|(〃一1)日21|W1对〃=1,2,3,4均成立.

即1(1,1W底3,3W24W5,7W3庐9,

7R

得鼻或四成.

J乙

7R

因此，d的取值范围为不，彳.

O乙

(2)由条件知:&=队