第30章 直线与圆的位置关系 综合与实践 第1课时 教学课件2026-2027学年九年级数学人教版九上

第三十章直线与圆的位置关系

综合实践《生活中的优化问题》

第1课时

快递货车与最大射门角度

学习目标：1.读懂递推类数量变化、最大角度优化的实际情境，能把生活问题抽象成数学模型，用代数推理、圆的相关知识求解最优结果。2.经历小组合作探究，掌握“现实情境→数学抽象→推理计算→解释结论”的综合实践研究流程。3.体会优化思想，感受数学在物流、体育场景的应用，提升合作探究能力。教学重点：从快递、射门的实际情境中提炼数学问题，建立模型开展探究。教学难点：最大射门角度问题转化为圆周角、圆外角模型，理解角度最大的几何原理。创设情景①物流场景：快递货车沿途装卸包裹，车上包裹数量动态变化，求车上包裹的最大值。②体育场景：足球带球射门，站在哪个位置，射门视角最大，更容易进球？本节课小组探究课本活动一、活动二两个真实优化问题。配图关键词：快递运输简约插画、足球射门简线图生活场景：货车穿行A、B两城，途经若干集散点；每抵达一个集散点，卸下发往后续各集散点包裹各1件，装上本站发往后面各集散点包裹各1件。任务1：A、B之间一共10个集散点（含A、B），货车最多装载16个包裹，能否完成任务？任务2：A、B之间有n个集散点，货车装载包裹箱数量如何变化？货车至少预留多大装载空间，才能顺利完成运输任务？货车行驶到哪一个集散点时，车上包裹数量达到最多？探究新知探究新知活动一任务1分步推理：

一共n=10个集散点（包含A、B）。货车从A出发，A需要给后面9个站点各寄出1件包裹，初始装车9件。每抵达一个集散点，包裹先卸载、再装载，逐步计算车上包裹数量变化。经推理，行驶途中车上包裹峰值为25件。大于货车最大装载量16件，这辆货车不能完成本次快递任务。探究新知

探究新知探究新知活动二寻找最大射门角度足球场上，球员进行直线带球过程中的射门训练，射门时球员与球门两端会形成一个角度，什么时候这个射门角度最大？我们把这个问题简化，只考虑足球沿草坪直线运动的情况。射门角度最大的问题可以简化为“直线上的点在什么位置时，其与线段两个端点的连线形成的角度最大？”的问题。探究新知任务1.如图1，当球员带球行进的路线l与球门（线段AB）所在的直线平行时，直线l上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？任务2.如图2，当球员带球行进的路线m与球门所在的直线垂直时，直线m上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？提示：要考虑直线m与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形。任务3.如图3，当球员带球行进的路线n与球门所在的直线相交但不垂直时，直线n上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？探究新知任务1.如图1，当球员带球行进的路线l与球门（线段AB）所在的直线平行时，直线l上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？解答：存在这样的点C。作法：过A、B两点作圆，使圆与直线l相切，切点即为点C。理由：同弧所对的圆周角大于圆外角。直线l上除切点C外任意点，和AB连线形成的角都是圆外角，角度更小。所以切点C处∠ACB最大。请同学们自己在图中作出C点探究新知任务2.如图2，当球员带球行进的路线m与球门所在的直线垂直时，直线m上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？提示：要考虑直线m与线段AB相交、与线段AB的延长线相交两种情形。解答：存在这样的点C。作法：过A、B两点作圆，使圆与直线m相切，切点即为点C。分两种情况讨论：①直线m与线段AB相交；②直线m与线段AB的延长线相交。理由：同弧所对的圆周角大于圆外角，切点位置对应的∠ACB最大。请同学们自己画出点C探究新知任务3.如图3，当球员带球行进的路线n与球门所在的直线相交但不垂直时，直线n上是否存在点C，使∠ACB最大？为什么？如果存在这样的点C，如何确定点C的位置？解答：存在这样的点C。作法：过A、B两点作圆，使圆与直线m相切，切点即为点C。分两种情况讨论：①直线n与线段AB相交；②直线n与线段AB的延长线相交。理由：同弧所对的圆周角大于圆外角，切点位置对应的∠ACB最大。请同学们自己画出点C探究新知任务4.你还能够提出类似以上问题的其他现实问题吗？答：能。如看画展时，站在墙上一幅画前方直线上哪个位置，观赏这幅画的视角最大。寻找最大射门角度问题小结：无论行进直线是平行、垂直、斜交，过线段AB的两个端点A、B两点作圆，圆和直线的切点C，就是使得∠ACB最大的位置。课堂小结分层练习1.若A、B两城之间一共有6个集散点（含A、B），货车行驶途中车上包裹数量的最大值为______。2.A、B之间有7个集散点（含A、B），包裹数量达到最大值时，车辆到达第几个站点（

）A.3B.4C.5D.69B3.球员沿直线带球，过球门两端A、B作圆，当圆与球员行进直线______时，射门角度∠ACB最大。4.关于最大射门角度原理，说法正确的是（

）A.圆外角大于同弧对应的圆周角B.同弧所对圆周角大于圆外角C.离球门越远，射门角度一定越大D.离球门越近，射门角度一定越大

相切B分层练习5.A、B两城之间有5个集散点（包含A、B），求货车车上包裹数量的最大值