高中数学必修一“函数的单调性与最值”第二课时教学设计

高中数学必修一“函数的单调性与最值”第二课时教学设计教学目标1.理解函数最大（小）值的概念，掌握求函数最值的常用方法，能结合函数图象与单调性解决简单的最值问题。2.经历从实际问题抽象为数学问题、借助图象直观感知、再用代数推理验证的过程，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。3.体会数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，感受数学在优化问题中的价值。教学重点函数最大（小）值的概念辨析，利用函数的单调性求闭区间上函数的最值。教学难点用符号语言刻画最大（小）值的定义；含参数函数最值问题的分类讨论。学情分析学生已具备函数单调性的概念及其代数证明方法，能识别常见函数的图象特征，但对“最值”的理解多停留在图象观察层面，尚未形成严格的符号化定义。同时，高一学生在含参问题的分类讨论上经验不足，需通过具体实例引导其逐步建立讨论的框架。教学准备多媒体课件（含动态函数图象）、几何画板演示素材、学生学案（含探究任务单）、课堂实时反馈系统（用于选择题即时作答）。课时安排1课时（40分钟）教学过程一、情境导入，唤醒经验上课伊始，请学生观察本班教室内灯管的亮度调节旋钮。旋钮向右旋转，灯光逐渐变亮；向左旋转，灯光变暗。教师提问：“这个过程中，亮度随旋钮位置的变化而变化。如果把这个关系看成一个函数，那么旋钮在什么位置时灯光最亮？在什么位置时灯光最暗？”学生结合生活经验，自然说出“最亮”和“最暗”对应旋钮的两端位置。教师顺势指出：生活中许多函数关系，我们不仅关心它“如何变化”（对应单调性），还关心它在某个范围内“最好”或“最差”的取值。这个“最好”或“最差”的取值，就是今天要研究的函数的最大值或最小值。接着，出示一个具体的函数图象：f(x)=x²，x∈[2,1]。请学生在学案上画出图象，并观察：在定义域内，函数值有没有最大或最小的情况？分别在哪里取得？学生观察后回答：图象在x=0处最低，函数值最小为0；图象在x=2处最高，函数值最大为4。教师追问：“图象上有没有比4更高的点？有没有比0更低的点？”学生思考后确认没有。教师板书两个具体的数值，为下面给出严格定义做铺垫。二、问题驱动，生成概念教师给出三个函数，请学生分别说出它们在指定区间上有无最大值、最小值，并说明理由：(1)f(x)=x+1，x∈(0,1]；(2)g(x)=1/x，x∈(1,+∞)；(3)h(x)=x²+2x，x∈R。学生小组合作，借助画图或取值观察。第(1)题中，函数在x=1处取到最大值2，但没有最小值，因为0取不到，且函数值可以无限接近1但始终大于1。第(2)题中，函数在x=1处取到最大值1，但没有最小值，因为当x无限增大时，函数值无限趋近于0但始终大于0。第(3)题中，函数在x=1处取到最大值1，没有最小值，因为开口向下，函数值可以趋近于负无穷。教师组织全班交流，重点讨论第(2)题。学生容易误以为0是最小值，教师引导辨析：“0这个数值真的取到了吗？请你在图象上指出一个点，使得该点的函数值等于0。”学生无法指出，意识到“无限接近”不等于“取到”。教师由此强调：最值首先必须是一个函数值，即在定义域内存在某个自变量使得函数值等于这个数。接着，教师引例：观察f(x)=x²的图象，如何用准确的数学语言说明“0是它的最小值”？学生尝试表述：“对于定义域内任意一个x，都有x²≥0，而且存在x=0使得x²=0。”教师提炼关键条件，并进一步追问：“为什么必须强调存在一个x取到等号？如果去掉这个条件，会出现什么情况？”学生讨论后体会到，去掉“存在”条件，只能说明0是函数值的一个下界，但未必是最小值。在此基础上，师生共同总结函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M，那么称M是函数f(x)的最大值。同样，如存在实数m满足：(1)对任意x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=m，那么称m是函数f(x)的最小值。教师引导学生对比定义中的两个条件，指出第一个条件是“恒成立”，刻画的是“上界”或“下界”性质；第二个条件是“存在性”，保证这个界确实被取到。两个条件缺一不可。教师再举反例：函数y=x²，x∈(0,1)，虽然有下界0，但0不是最小值，因为不存在x∈(0,1)使得x²=0。三、方法探究，典例精析教师组织学生完成探究任务一：已知函数f(x)=2x1，x∈[0,3]，求这个函数的最大值和最小值。学生根据一次函数的单调性，直接判断f(x)在[0,3]上单调递增，所以最小值在x=0处取得，最大值为f(3)=5。教师追问：“如果不告诉单调性，还能怎么做？”学生想到可以画出图象，从图象上观察最高点和最低点的纵坐标。教师由此总结两种基本方法：图象法——画出图象，找最高点和最低点的纵坐标；单调性法——利用函数在区间上的增减性，在端点处取得最值。教师特别说明：对于连续函数，如果函数在闭区间上单调，则最值一定在端点处取得；如果函数在区间内有转折，则最值可能在极值点处取得，这在后续课程中还会深入研究。接着，教师出示典例1：求函数f(x)=x²2x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值。学生尝试化归为顶点式：f(x)=(x1)²+2。由图象可知，函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，因此最小值在x=1处取得，最小值为2。最大值需要比较端点f(0)=3与f(3)=6，较大的6为最大值。教师引导学生总结：求二次函数在给定区间上的最值，第一步先配方或确定对称轴，第二步判断对称轴与区间的位置关系，第三步结合单调性确定最值。如果对称轴在区间内，则顶点处可能是最值，同时还需比较两个端点值的大小。教师再出示典例2：求函数f(x)=1/(x1)在区间[2,4]上的最大值和最小值。学生判断该函数在(1,+∞)上单调递减，因此区间[2,4]上也是单调递减，最大值在x=2处取得，最大值为1；最小值在x=4处取得，最小值为1/3。教师强调：在利用单调性求最值前，必须先确认函数的定义域与给定区间的关系，以及函数在区间内是否单调。随后，教师组织学生完成探究任务二（分组讨论）：已知函数f(x)=x²2ax+3在区间[0,2]上有最小值，记为m(a)，求m(a)的表达式。学生先配方：f(x)=(xa)²+3a²。此时对称轴为x=a，但a的位置关系不确定，需要分三种情况讨论：(1)当a≤0时，对称轴在区间左侧，函数在[0,2]上单调递增，最小值在x=0处取得，m(a)=f(0)=3；(2)当0<a<2时，对称轴在区间内部，最小值在x=a处取得，m(a)=f(a)=3a²；(3)当a≥2时，对称轴在区间右侧，函数在[0,2]上单调递减，最小值在x=2处取得，m(a)=f(2)=74a。教师引导学生在小组内讨论如何确定分类的临界点，并请三个小组各展示一种情形的推理过程，全班订正后形成完整的结论。教师强调：含参问题的关键是抓住对称轴与区间端点的大小关系进行分类，分类必须做到不重不漏。四、联系实际，升华认识教师出示生活中的实例：某公司生产一种电子产品，每日产量为x百件，每日总成本C(x)=x²+20x+100（单位：万元），产品售价为每件100元。假设每日产量不超过10百件，试问每日产量定为多少时，该公司日利润最大？最大利润是多少？学生分析：日销售总收入R(x)=100x（万元），日利润L(x)=R(x)C(x)=100x(x²+20x+100)=x²+80x100，其中定义域为1≤x≤10（产量为正数且不超过10百件）。配方得L(x)=(x40)²+1500。由于定义域为[1,10]，对称轴x=40不在区间内，因此函数在[1,10]上单调递增。所以当x=10时，利润最大，最大利润为L(10)=100+800100=600（万元）。教师追问：“如果定义域为全体正数，结果会有变化吗？”学生发现若定义域为(0,10]，则结论相同，因为对称轴超出定义域，函数一直递增。教师再举一个对比案例：企业每日广告投入为x万元，利润函数P(x)=x(10x)，x∈[0,5]。求最佳广告投入和最大利润。学生配方P(x)=(x5)²+25，对称轴x=5在区间右端点处，最大利润为25万元。教师引导学生总结：两个实际问题虽然背景不同，但本质上都是求二次函数的最值，关键步骤相同——用配方法确定对称轴，再结合定义域范围判断。教师进一步说明：在经济管理、工程优化等问题中，常常需要寻找某个变量的最优取值，这本质上就是求函数的最大值或最小值。建立函数模型，再借助单调性或二次函数的性质求最值，是解决这类问题的重要数学工具。五、练习反馈，即时巩固教师利用课堂实时反馈系统推送如下三道题目：1.函数f(x)=x²+4x在区间[1,4]上的最大值是（）A.0B.3C.4D.52.函数f(x)=2/x在区间[1,2]上（）A.有最大值2，有最小值1B.有最大值1，有最小值2C.有最大值2，无最小值D.有最小值1，无最大值3.已知函数f(x)=x²2x+3，x∈[a,a+2]（a为常数），当a=1时，求函数的最大值和最小值。学生独立作答并在系统中提交，教师根据正确率情况，选择正确率低的题目进行精讲。第1题中，部分学生选C是因为只看到对称轴处函数值，未比较端点f(4)=0与对称轴处f(2)=4的大小；第2题中，部分学生混淆了反比例函数的单调区间，实际在(0,+∞)上单调递减，最大值和最小值分别位于左端点和右端点。第3题中，a=1时定义域为[1,1]，对称轴x=1恰好落在区间右端点，故最小值在x=1处取得，最小值为2；最大值在x=1处取得，最大值为6。教师展示规范书写格式，强调及时检验“自变量的取值是否在定义域内”这一步骤。六、总结反思，建构网络教师请学生闭上眼睛，在脑海中回顾本节课的探究路径：从生活实例出发，观察函数图象上的最高点与最低点；然后提炼出严格的符号定义，区分“恒成立”与“存在性”两个条件；接着学习两种求最值的方法——图象法和单调性法；最后通过二次函数在闭区间上的最值问题，掌握分类讨论的基本策略。教师引导学生自主梳理知识结构，并在学案上填写完成表格（见下表）。项目最大值最小值定义条件1对任意x∈I，都有f(x)≤M对任意x∈I，都有f(x)≥m定义条件2存在x0∈I，使得f(x0)=M存在x0∈I，使得f(x0)=m几何意义图象最高点的纵坐标图象最低点的纵坐标常用求法图象法、单调性法、配方法图象法、单调性法、配方法教师布置分层作业：基础题：教材课后习题第1、2、3题。提高题：已知函数f(x)=x²2ax+1在区间[1,3]上有最大值4，求实数a的值。拓展题（选做）：查阅资料，了解“函数的最值”在优化问题（如材料最省、利润最大）中的典型应用，写一段简要的阅读笔记。七、教学反思本节课的设计思路是以问题情境为起点，以概念生成为核心，以方法掌握为目标，以实际应用为升华。在概念建构环节，通过正反例的对比，学生对“存在性”条件的理解更加深刻。在典例讲解中，从一次函数逐步过渡到二次函数，再到含参问题，难度螺旋上升，符合学生的认知规律。需要特别关注的是，部分学生在判断反比例函数、一次分式函数在闭区间上的单调性时仍存在困难，后续应通过变式训练加以巩固。在含参问题中，学生分类讨论的完整性还有待提高，需要教师在今后的学习中不断渗透分类讨论的思想方法。八、教学评价设计评价方式采用过程性评价与终结性