线性代数与线性规划

第一章行列式行列式第一章第一章行列式

行列式的概念是由解线性方程组引入的，是线性代数中最基本的内容，也是学习矩阵与线性方程组的理论基础。本章主要包括行列式的概念、性质、展开及应用——克莱姆法则。目录1第一节二阶、三阶行列式2第二节n阶行列式3第三节行列式的性质4第四节行列式的展开5第五节行列式的应用第一节二阶、三阶行列式

第一章行列式hanglieshi二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。一、二阶行列式对于二元线性方程组由消元法得当时，方程组仅有唯一解第一章行列式hanglieshi

为了进一步分析研究线性方程组解的规律，引入新的符号表示代数和，此符号由未知量的系数排成二行二列，称为二阶行列式，其中，构成行列式的各个量称为行列式的元素。元素的第1个脚标表示其所在的行数，称为行标；元素的第2个脚标表示其所在的列数，称为列标；元素的一般形式可记为，i为行标，ｊ为列标。行列式的左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线，右上角到左下角的对角线称为行列式的次对角线。第一章行列式hanglieshi

二阶行列式的计算，可用图线的方法表示和记忆。如图1-1所示，二阶行列式的计算方法为：主对角线（实线）上两元素之积减去次对角线（虚线）上两元素之积。

图1-1另外，由二阶行列式的定义知，代数和

与也可用二阶行列式的形式表示为

第一章行列式hanglieshi显然，

可看作是以

为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。于是，方程组的解可表示为由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式计算求解。第一章行列式hanglieshi

例1

求解

解系数行列式为以常数项－４,１为一列，分别取代Ｄ中第1列，第2列得所以，方程组的解为第一章行列式hanglieshi例2设，问（1）当ｋ为何值时，Ｄ＝０；（2）当ｋ为何值时，Ｄ≠０。解因为第一章行列式hanglieshi二、三阶行列式考察三元线性方程组（１－２）用消元法消去得（１－３）显然，的系数只与方程组（1-2）未知量系数及其排列顺序有关。于是，为研究问题的简捷，引入记号第一章行列式hanglieshi来表示变形方程（1-3）中的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，称为三阶行列式，即由此，变形方程（1-3）右端的代数和也可记为第一章行列式hanglieshi它是以为一列取代Ｄ中第1列得到的。因此，方程组（1-3）可写成同理，由方程组（1-2）可得因此，方程组（1-2）可写成当Ｄ≠0时，方程组（1-2）仅有唯一解第一章行列式hanglieshi由此可知，三元线性方程组可通过三阶行列式计算求解。三阶行列式的计算，也可用图线的方法表示、记忆，如图1-2所示。实线联结的三个元素之积取正，虚线联结的三个元素之积取负。

图1-2第一章行列式hanglieshi例3

求方程组的解。解

系数行列式为以常数项1,2，-1分别取代D中第1，第2，第3列得第一章行列式hanglieshi所以，方程组的解为例4讨论的充分必要条件。解因为，所以，即，。因此，或是D>0的充分必要条件。第二节n阶行列式第一章行列式hanglieshi为了讨论四元、五元以及元线性方程组，需要将行列式的概念推广到四阶、五阶及任意n

阶。在讨论任意阶行列式定义之前，先来明确两个概念——排列与逆序。一、排列与逆序定义1

由1,2,3,…,n

组成一个不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n

级排列。第一章行列式hanglieshi例如：12，21为2级排列。

1234，4321为4级排列。

n(n-1)(n-2)…21为n级排列。在n级排列中，1,2,3…,

n是唯一按自然顺序（即递增顺序）构成的排列，称为n级顺序排列（或称n级标准排列）。例如：123为3级顺序排列。

12345为5级顺序排列。第一章行列式hanglieshi定义2在一个n

级排列中，若有较大的数排在较小的数前面

，则称与构成一个逆序。一个排列中逆序的总个数，称为它的逆序数，记为。例如：N(32

1)=3,N(1

2

3

4)=0，N(1

2

53

4)=2。定义3如果偶数（或零），则称排列为偶排列；如果

奇数，则称排列为奇排列。例如，上面的排列1234，12534为偶排列；321为奇排列。第一章行列式hanglieshi二、n

阶行列式的定义有了排列、逆序，二阶、三阶行列式的预备知识，不难给出n

阶行列式的定义。为了给出n阶行列式的定义，先来考察一下二阶、三阶行列式的构成规律。（1）行列式中元素个数：二阶行列式：由个元素构成，排成2行2列。三阶行列式：由个元素构成，排成3行3列。第一章行列式hanglieshi（2）行列式展开中的项数：二阶：项的代数和。三阶：项的代数和。（3）展开式中每一项的特点：二阶：每一项均为来自不同行不同列两个元素的积。三阶：每一项均为来自不同行不同列三个元素的积。也就是说，每一项中各元素的行标、列标分别不会重复，否则，不是行列式中的项。第一章行列式hanglieshi行列式展开的所有项中，前面取正号与取负号的项各占一半，当某一项中各元的行标按顺序排列时，相应列标的逆序数为零或偶数时，展开项前面取正号；相应列标的逆序为奇数时，前面取负号。例如：项，列标逆序数N(1

2)=0，前面取正号； 项，列标逆序数N(21)=1，前面取负号． 项，列标逆序数N(2

3

1)=2，前面取正号； 项，列标逆序数N(3

2

1)=3，前面取负号。由以上规律得n

阶行列式的定义：第一章行列式hanglieshi定义4由个元素排列成n行n

列（位于第i行第j列），在其两边各画一条竖线，即称为n阶行列式。

n阶行列式表示n！项的代数和，每一项都是由n个来自不同行不同列的元素之积构成，其中正、负项各占一半，即项。每一项的符号是：当这一项元素的行标顺序排列时，列标构成的排列逆序数为零或偶数（偶排列）时，取正号；奇数（奇排列）时，取负号。因此n阶行列式的一般项可表示为

。特别规定：一阶行列式。第一章行列式hanglieshi例1判断乘积是否为三阶行列式中的项。解在乘积中，元素与的列标同为2，说明这两个元素均来自第2列，因而乘积不是三阶行列式中的项。例2是四阶行列式中的项，判断其前面应取什么符号。解适当交换所给项中元素的次序，使得它们的行标按顺序排列，即为，则相应列标的逆序数为，是奇数，所以前面应取负号。第一章行列式hanglieshi例3

确定元素l,m

列标的值，使得是五阶行列式中前面取正号的项。解因为中，元素的行标各不相同，说明它们来自不同的行。适当交换各元素的次序，使行标按顺序排列，即为欲使此项为五阶行列式中的项，各元素必来自不同的列，即l=2,m=5或L=5,m=2。当l=2,m=5

时，所给项为，相应的列标逆序数为N(21453)=3，是奇数，所以该项前面取负号。当L=5,m=2

时，所给项为，相应的列标逆序数为N=(51423)=6，是偶数，所以该项前面取正号。因此，

L=5,m=2时，为五阶行列式中前面取正号的项。第一章行列式hanglieshi例4计算行列式解因为行列式D中不为零的元素有：根据行列式的构成规律，行列式每一项中各元素应来自不同行不同列，所以D中只有与两项不为零，且项列标逆序数N=（2314）=2为偶数，前面取正号；项列标逆序数N(2341)=3为奇数，前面取负号。因此，第一章行列式hanglieshi三、特殊行列式（一）转置行列式定义5将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为或。如果，则。第一章行列式hanglieshi

D与的值满足什么关系呢？由下面的三阶行列式来考察：显然，D=。这个结论对n

阶行列式同样成立。第一章行列式hanglieshi定理1转置行列式的值与行列式D的值相等，即=D。由此得知，在行列式中，行与列的地位是同等的。凡对行（列）有的性质，对列（行）必然成立。所以，后面讨论行列式的性质时，以行为主进行讨论。第一章行列式hanglieshi（二）三角形行列式定义6若行列式D主对角线以上或以下的元素全为零，则称行列式D为三角形行列式。例如：为下三角形行列式；为上三角形行列式。第一章行列式hanglieshi三角形行列式的值如何？下面以下三角形行列式为例进行分析。我们知道，n阶行列式的项数应为n!项，但中许多元素为0，而含0元素的项皆为0，所以，只要考虑不为0的项即可．在不为0的项中，必有一个元素来自第1行，第1行只有不为0，于是只能含；其他元素中必有一个是第2行的，第2行有，而与同一列，则只能含；同理，依次类推，分别来自第行的元素只能分别是。第一章行列式hanglieshi因此，只有一项不为0，即。同理可得结论：三角形行列式的值等于主对角线上各元素之积。第一章行列式hanglieshi（三）对角形行列式定义7若行列式D主对角线以外的元素全为零，则称D为对角形行列式，即实际上，对角形行列式是特殊的三角形行列式，它的值为主对角线上元素之积，即第一章行列式hanglieshi例5

已知行列式D=2，求的值。解因为，所以，例6

计算。解因为D为上三角形行列式，所以。例7计算。解因为D为对角形行列式，所以。第一章行列式hanglieshi例8

已知n

阶行列式D中有个以上的元素为零，证明：D=0。证明因为n阶行列式中的元素共有个，又知其中有个以上的元素为零，则不为零的元素少于个，而D展开式中每一项均为n

个元素之积。这表明，即使所有不为零的元素在D的展开式中为一项时，这一项中仍然有零元素，即这一项的值也为零。所以，行列式D的值必为零，即

D=0。第三节行列式的性质行列式第一章行列式的性质

由行列式的定义知，一个n

阶行列式展开共有n!项，而每一项都是个元素的积，同时还要确定其正负号，因此，除二阶、三阶行列式外，直接用定义来计算行列式的值是较困难的。为了能够简便地计算行列式，我们在这里将介绍行列式的主要性质，以便将复杂行列式的计算化为简单行列式的计算。第一章行列式hanglieshi性质1

交换行列式的任意两行（列），行列式变号。例如：将D中第1行与第2行交换，得到这一性质对阶行列式也成立。第一章行列式hanglieshi性质2

如果行列式中任意两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。由性质1知，行列式中相同的两行（列）互换后要变号，但值保持不变．所以有D=-D，即D=0。性质3行列式任意一行（列）的公因子可提到行列式的外面。例如，将前例的行列式D中第1行乘以数k

，得

同样，此性质对n阶行列式仍然成立。第一章行列式hanglieshi性质4

行列式中任意两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值为零。此性质可由性质3与性质2证明（证明略）。由此性质很容易得到下面的推论。推论行列式中任意一行（列）元素都为零，则行列式的值为零。第一章行列式hanglieshi性质5

行列式中任意一行（列）的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。例如，

n

阶行列式同样有此性质（读者可自己验证）。第一章行列式hanglieshi性质6

行列式任意一行（列）的k倍加到另外一行（列）上去，行列式的值不变。由性质5与性质4可证明（证明略）。有了行列式的性质及特殊行列式的运算，就可以较方便地计算出一些行列式的值。注意：行列式中记表示第i行，表示第

i列，那么第i行与第j行互换可记为,第i列与第j列互换可记为。行列式的第j行乘以常数k后加至第i行的对应元素上时，记作。第一章行列式hanglieshi例1

将下列行列式补充完整：第一章行列式hanglieshi第一章行列式hanglieshi第一章行列式hanglieshi例3求n

阶行列式的值：解根据n阶行列式的结构特点，可化为三角形行列式计算。依次将第n列换至第1列，所换次数为(n-1)；第n列换至第2列，所换次数为(n-2)；…；第n列换至第(n-2)列，所换次数为2；第n列换至第(n-1)列，所换次数为1。换列的总次数为第一章行列式hanglieshi于是有本例也可用换行的方法化D为三角形行列式，计算出相同结果。第一章行列式hanglieshi例4

计算行列式解本行列式D要直接由性质化为三角形行列式较困难，但据其结构特点，每列均有一个a

和三个

b。故将各行都加到第1行上去，有第一章行列式hanglieshi例5

计算n

阶行列式解同例4，各行均加到第1行，有由以上例题可知，利用行列式的性质计算高阶行列式时，一个基本思路是：设法将给定的行列式化成三角形行列式。第一章行列式hanglieshi例6

计算行列式解第一章行列式hanglieshi由本例可知，化一般行列式为三角形行列式的具体方法步骤如下。①如果行列式第1列第1个元素为0，先将第1行与其他行交换，使第1列第1个元素不为0。②把第1行分别乘以适当的数加到其他各行，使第1列除第1个元素外其余元素全为0。③用同样的方法将第2列第2个元素以下各元素化为0，第3列第3个元素以下各元素化为0，依次变换下去，直到使行列式成为上三角形行列式，则其值为主对角线上各元素的积。第一章行列式hanglieshi例7

计算行列式解提示：计算行列式时，关键是：观察行列式中元素的结构规律。第一章行列式hanglieshi例8

计算行列式解根据行列式中元素的构成规律，由性质5将其拆为两个行列式得第一章行列式hanglieshi例9

已知152，209，399都是19的倍数。证明：也是19的倍数。证明则该行列式是19的倍数，证毕。例10已知，求a

的值。解因为所以有6a=1，则。第四节行列式的展开行列式第一章行列式的展开高阶行列式的运算，除特殊结构与较简单的行列式可由定义、性质计算外，一般计算都很繁杂。因此，这就需要讨论新的行列式的计算方法，即通过恒等变形降低行列式的阶数计算——行列式的展开。首先应明确余子式与代数余子式这两个概念。第一章行列式hanglieshi一、余子式与代数余子式定义1

在n

阶行列式中，划去元素所在的第i行与第

j列元素后，剩余元素按原排列顺序构成的(n

-1)阶行列式称为元素的余子式，记作，即称为元素的代数余子式，记作，即显然，

n阶行列式有个元素，每个元素均有一个代数余子式，所以，共有个代数余子式。第一章行列式hanglieshi例1

已知行列式，写出的余子式及代数余子式。解由定义得那么，行列式的值与代数余子式满足怎样的关系呢？下面进行相应的讨论。第一章行列式hanglieshi二、行列式的值与代数余子式的关系考察三阶行列式，第2行各元素的代数余子式。

的代数余子

的代数余子式为的代数余子式为第一章行列式hanglieshi而行列式D的值等于第2行各元素与其代数余子式乘积之和，称为三阶行列式按第2行展开。也就是说，三阶行列式可通过降阶化为二阶行列式计算例如，上例中，第一章行列式hanglieshi按第2行展开求解为同理，由类似方法可以推导，三阶行列式可以按第1行或第3行展开，也可按第1列或第2列或第3列展开。总之，三阶行列式D的值等于任意行（列）各元素与其代数余子式乘积之和。可以证明，这个结论对n

阶行列式同样成立。于是有以下定理：定理1n

阶行列式D等于它的任意一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和，即

显然，共有2n

个等式，分别称为行列式D按第行或第

列展开。第一章行列式hanglieshi例2

分别按第1行、第3列展开计算行列式解按第1行展开，得按第3列展开，得显然，0元素与其代数余子式之积为0，此项可以省掉。所以，展开行列式时按含“0”元素较多的行（列）展开，计算较简单。第一章行列式hanglieshi例3计算解因为第2列“0”元素较多，按第2列展开得提示：如果行列式本身“0”元素并不多，我们可以根据行列式的性质作恒等变形，使行列式某行（列）元素仅有一个非零元素。然后，按这一行（列）展开。这样继续下去，就可以把一个较高阶的行列式变成一个三阶或二阶行列式计算。这是一种计算行列式行之有效的方法。第一章行列式hanglieshi例4

计算行列式解为了尽量避免分数运算，应选择1或-1所在的行（列）进行变换，或把1，-1元素换至位置，然后变换。因此，我们首先选第3列。第一章行列式hanglieshi例5设是关于x的一次多项式，求一次项x的系数。解因为行列式D按第2行或第3列展开时，前面的倍数为，即为一次项的系数x。而。所以，一次项的系数为2。例6已知，求a的值。解行列式D按第四列展开为于是有-6a=24，则a=-4。第一章行列式hanglieshi例7已知四阶行列式D中第3列的元素依次为1，3，2，1，它们的余子式分别为4，7，8，5，求D的值。解由题知：由得行列式D按第3列展开得第一章行列式hanglieshi例8

讨论：当k为何值时，解当时，得到k=1或k

=±2。因此，

k=1或k

=±2时，D=0.第一章行列式hanglieshi例9

计算n

阶行列式解由行列式的展开计算，按第1列展开，有另外，容易证明：行列式中任意行（列）各元素与另一行（列）各对应元素的代数余子式乘积之和等于零。证明略。例如，第五节行列式的应用第一章行列式hanglieshi一、克莱姆法则行列式的概念是从解线性方程组引入的，而行列式的一个重要应用就是解线性方程组。克莱姆法则是解线性方程组的方法之一。在第一节中讨论二元、三元线性方程组的解时，我们已经知道：由未知量系数构成的行列式（称为系数行列式）D≠0时，方程组有唯一解其中，是以方程组的常数项为一列取代D中第j列得到的行列式。可以证明这一结论对n元线性方程组同样成立，并有以下定理：第一章行列式hanglieshi定理1

（克莱姆法则）n

元线性方程组如果系数行列式则方程组有唯一解或第一章行列式hanglieshi其中第一章行列式hanglieshi例1

解线性方程组解系数行列式因此，方程组有唯一解。又因为所以，线性方程组的解为第一章行列式hanglieshi例2

解线性方程组解因为所以，方程组有唯一解。又因为第一章行列式hanglieshi所以，方程组的解为注意：求出线性方程组的解后，应像解方程一样代入原方程组进行检验，判断是否为原方程组的解。第一章行列式hanglieshi二、行列式在齐次线性方程组中的应用由以上例题可知，即使有了克莱姆法则，解线性方程组还是很繁杂。因为解n元线性方程组时，需计算n

+1个n阶行列式，计算量很大。所以，第三章将讨论更一般的解法。本节将讨论行列式在一种特殊方程组中的应用。第一章行列式hanglieshi定义1常数项皆为零的线性方程组，即称为n

元齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组一定有解，至少有零解，称为齐次线性方程组的零解。此外，齐次线性方程组是否有非零解，在什么情况下有非零解，进一步分析可以证明如下结论：第一章行列式hanglieshi定理2

对n元齐次线性方程组，如果系数行列式D≠0，则方程组仅有零解（由克莱姆法则即可得此结论）；如果系数行列式D=0，则方程组有非零解，反之亦然。第一章行列式hanglieshi例3

已知齐次线性方程组判断此方程组有无非零解。解系数行列式所以，方程组无非零解。第一章行列式hanglieshi例4

齐次线性方程组当k为何值时，方程组有非零解。解系数行列式若D=0，即，则k

=1。所以，

k

=1时，方程组有非零解。第一章行列式hanglieshi小结行列式作为线性代数的基础知识，从明确理解概念入手，掌握重要性质，以灵活应用、解决具体问题为目的。本章基本要求：1．理解行列式、排列与逆序诸概念，会判断行列式中的项及其符号。2．掌握行列式的性质，会计算简单行列式．3．理解余子式和代数余子式的概念，并会求解．4．掌握行列式展开的有关定理，并能与行列式的性质结合起来计算行列式。5．掌握克莱姆法则，会求解简单线性方程组，能讨论元齐次线性方程组解的情况。第二章矩阵

矩阵是线性代数中的重要内容，也是经济研究和经济工作中处理线性经济模型的有力工具。本章内容主要包括：矩阵的概念、矩阵的运算及相关矩阵。目录CONTENTS1第一节矩阵的概念3第三节矩阵的初等变换2第二节矩阵的运算4第四节矩阵的秩5第五节逆矩阵目录第一节1

矩阵的概念第二章矩阵线性代数与线性规划一、矩阵的定义

矩阵的概念同其他数学概念一样，也是从实际问题中抽象出来的。先看以下实例：，第二章矩阵线性代数与线性规划例1

甲、乙、丙三个生产不同种类砖的工厂，向A，B，C，D四个工地供应产品（单位：万块）。运送方案如表2-1所示。表2-1第二章矩阵线性代数与线性规划这个排成三行四列的运量阵列表为

它反映出各砖厂向各工地的运量及各砖厂的总运量、各工地的总消耗量等情况，进而可分析研究砖厂的生产、运量状况、工地的消耗情况等。第二章矩阵线性代数与线性规划例2设国民经济中有个生产部门，每个部门在生产过程中需要消耗其他生产部门的产品（当然也消耗自身的产品），因此，一个生产部门同时也是一个消耗部门。如果在一个计划期内，以表示第个部门消耗第个部门的产品数量，则个部门之间的产品消耗量如表2-2所示。第二章矩阵线性代数与线性规划第二章矩阵线性代数与线性规划这个由行列构成的消耗量阵列表为它反映了生产过程中各个部门的生产量、消耗量及总产量、总消耗量等情况，以便于分析个部门的生产消耗状况。第二章矩阵线性代数与线性规划例3线性方程组其解完全由未知量系数、常数项及其排列顺序决定，即由阵列表来决定。因此，研究此阵列表对解线性方程组十分必要。第二章矩阵线性代数与线性规划以上不同的阵列表在实际中会遇到很多，尽管实际意义各不相同，但反映在数学上，均有共同特点，即都为矩形阵列表，称之为矩阵。定义1由个数排成行列矩形表，则称其为行列矩阵，记作其中，称为矩阵第行第列的元素。第二章矩阵线性代数与线性规划通常矩阵用大写字母A,B,C，…表示。有时为了表明矩阵的行数和列数，也用或表示。明确以下概念。零行：矩阵中元素皆为零的行。非零行：矩阵中元素不全为零的行。首非零元素：矩阵非零行中，从左往右数第1个不为零的元素。第二章矩阵线性代数与线性规划例如，在这个矩阵中，第1行和第2行为非零行，第3行为零行。其中，画下划线的1，2为首非零元素。第二章矩阵线性代数与线性规划二、特殊矩阵（一）零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵，记作。例如：第二章矩阵线性代数与线性规划（二）非负矩阵所有元素皆为非负数的矩阵称为非负矩阵。例如：第二章矩阵线性代数与线性规划（三）行（列）矩阵1．行矩阵（行向量）只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量）。例如，。2．列矩阵（列向量）只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量）。例如：。行向量、列向量有时也用小写黑体字母表示。例如，上面矩阵B，C可用或表示。第二章矩阵线性代数与线性规划（四）n阶方阵若矩阵中，记为或，称为阶方阵。例如：为二阶方阵；为阶方阵。第二章矩阵线性代数与线性规划

阶方阵中，个元素排列成行列。从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。矩阵与行列式的区别：行列式表示一个数，行数与列数必相同；矩阵仅仅是一个数表，行数与列数可以不同。第二章矩阵线性代数与线性规划（五）三角形、对角形及单位矩阵1．三角形矩阵主对角线以下或以上元素全为零的方阵称为三角形矩阵。例如：为上三角形n阶方阵；为下三角形n阶方阵。第二章矩阵线性代数与线性规划2．对角形矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角形矩阵。例如：为阶对角形矩阵。它实际上是一种特殊的三角形矩阵。第二章矩阵线性代数与线性规划特别地，主对角线上元素皆相同的对角形矩阵称为数量矩阵。例如，，即，即第二章矩阵线性代数与线性规划3．单位矩阵主对角线上元素全为1的对角形矩阵，称为单位矩阵，记作第二章矩阵线性代数与线性规划（六）阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵1．阶梯形矩阵若矩阵满足：①各非零行的首非零元素分布在不同列；②如果有零行在矩阵的最下端，则称为阶梯形矩阵。第二章矩阵线性代数与线性规划例如：为阶梯形矩阵；为阶梯形矩阵；为非阶梯形矩阵；为非阶梯形矩阵。第二章矩阵线性代数与线性规划2．简化阶梯形矩阵若阶梯形矩阵A还满足：①各非零行首非零元素皆为1；②各非零行首非零元素所在列中其他元素皆为零，则称A为简化阶梯形矩阵．第二章矩阵线性代数与线性规划例如：为简化阶梯形矩阵；为非简化阶梯形矩阵。目录第二节2

矩阵的运算第二章矩阵线性代数与线性规划

矩阵的意义不仅在于将一些数值排列成阵列形式，还在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力数学工具。一、矩阵相等定义1如果矩阵与有相同行数和相同列数，而且所有对应位置上的元素皆相等，则称A与B相等，记为A=B。第二章矩阵线性代数与线性规划例1

已知，，且A=B，求的值。解

由定义1得即第二章矩阵线性代数与线性规划二、矩阵的和、差定义2如果

行列矩阵与对应位置上的元素相加、减后得到的行列矩阵，称为矩阵A与B的和、差。记为。第二章矩阵线性代数与线性规划例2

已知，，则，。第二章矩阵线性代数与线性规划例3设甲、乙两用户第一、第二季度的水、电、煤消耗量分别可用矩阵A与B表示，即水电煤水电煤，第二章矩阵线性代数与线性规划则甲、乙两用户第一、第二季度水、电、煤的总消耗量可用矩阵表示为第一、第二季度乙户比甲户水、电、煤多消耗量可用矩阵表示为第二章矩阵线性代数与线性规划例4拟自三个产地调往四个销地的两种货物量分别为，，现已运走的货物量为，则待运货物量。第二章矩阵线性代数与线性规划而，则第二章矩阵线性代数与线性规划

另外，若将矩阵A中每个元素都变号，得到的矩阵称A为的负矩阵，记为-A，有，即矩阵减法包含在矩阵加法中。显然，两个矩阵相加减时必须满足两个矩阵的行、列数分别相同。第二章矩阵线性代数与线性规划三、矩阵的数乘定义3以任意常数乘矩阵的每个元素，所得矩阵称为数与矩阵A的乘积，即矩阵的数乘，记为。第二章矩阵