江苏省盐城市东台市第一中学2025-2026学年高二（下）学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省盐城市东台市第一中学高二（下）学情调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量，，若，则x=（）A.-2 B.-1 C.0 D.12.已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＜1）=P（X＞5），则μ=（）A.0 B.1 C.2 D.33.从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（）种.A.9 B.36 C.54 D.184.设随机变量，则D（2X+1）=（）A.1 B. C. D.5.已知空间向量，若点C在平面PAB内，则k=（）A. B. C.-1 D.06.（x2-4x+3）5展开式中含x项的系数为（）A.5 B.-1620 C.1620 D.-207.设A，B为两个事件，已知=，，则P（A|B）=（）A. B. C. D.8.甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且丙和丁相邻的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知随机变量X的分布列为X13579P0.10.1m0.40.2则下列结论正确的是（）A.m=0.2 B.P（3≤X＜7）=0.7

C.E（X）=6 D.D（X）=710.已知函数，则（）A. B.

C. D.11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，E分别为棱AD，DD1的中点，G为线段B1C上的一个动点，则（）A.三棱锥D-EFG的体积为定值

B.存在点G，使得平面EFG∥平面AB1D1

C.当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为

D.当G为B1C的中点时，三棱锥A1-EFG的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，则n=

.13.已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是

.14.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知的展开式中共有6项.

（1）求展开式中x的系数；

（2）求展开式中二项式系数最大的项.16.(本小题15分)

（请写出式子在写计算结果）

有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：

（1）共有多少种方法？

（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？

（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？17.(本小题15分)

从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量X表示抽到的卡片是奇数的个数.

（1）求在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率；

（2）求随机变量X的分布列和数学期望.18.(本小题17分)

一个研究性学习小组为了了解某市市民2026年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的100名市民2026年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：组别（支出费用）[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）[10，12）[12，14）[14，16]频数4310183212129（1）从这100位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于10000元的概率；

（2）若市民2026年旅游支出费用X近似服从正态分布N（μ，σ2），μ近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），σ近似为样本标准差s,并已求得s≈3，利用所得正态分布模型解决以下问题：

（i）假定该市2026年常住人口为1000万人，试估计有多少市民2026年旅游支出费用在15000元以上；

（ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中2026年旅游支出费用在9000元以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

附：若X∼N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.19.(本小题17分)

如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，O是CD的中点，△PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD.

（1）证明：BO⊥PA；

（2）求二面角C-BP-O的余弦；

（3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】5或3

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）的展开式中共有6项，则n=5，

所以二项式的通项公式为Tk+1==（0≤k≤5，k∈N），

令=1，解得k=1，所以该二项式的展开式中的x的系数为=-240．

（2）因为n=5，易知展开式中第三项和第四项二项式系数最大，

即T2+1==，T3+1==-1080x-2，

所以展开式中二项式系数最大的项是T3=，T4=-1080x-2．

16.【答案】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4=256种，

（2）每个盒子不空，共有A44=24不同的方法，

（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，

从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43=144种不同的放法．

17.【答案】解：（1）1，2，3，4，5的五张卡片中奇数卡片3张，偶数卡片2张，

第一次抽到偶数后，剩余4张卡片：3张奇数，1张偶数，

所以第二次抽到奇数的概率为：．

（2）已知随机变量X表示抽到的卡片是奇数的个数，则X的取值可能为0，1，2，

；

；

；

X的分布列为：X012P．

18.【答案】解：（1）由频数分布表知，旅游支出不低于10000元的市民人数为：12+12+9=33人，

则从100人中随机抽取2人的总情况数为：；

符合条件的情况数为：；

所以符合条件的概率为：；

（2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：1，3，5，7，9，11，13，15，

则样本平均数为，

已知σ=s≈3，则X∼N（9，32）；

（i）15000元即为15千元，则15=9+2×3=μ+2σ，

由正态分布的性质：P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，

则，

该市1000万市民中，支出在15000元以上的市民人数约为：

1000×0.02275=22.75万人；

（ii）9000元即9千元，正态分布关于μ=9对称，则P（X＞9）=0.5，

随机变量ξ表示支出在9000元以上的人数，则ξ～B（3，），

所以随机变量ξ的分布列为：P（ξ=k）==，k=0，1，2，3，

所以E（ξ）==．

19.【答案】解：（1）证明：因为△PCD是正三角形，O是CD中点，所以OP⊥CD，

以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，垂直于CD方向的直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

因为，

所以BO⊥PA．

（2），

设平面BCP的法向量为，

则，，所以，

令