人教版数学八年级上册 13.2.1三角形的边 学案 含答案

13.2.1三角形的边（导学案）【学习目标】1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。【学习重点】三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。【学习难点】灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.三角形三边的关系(1)任意两边之和第三边：_____________________(2)任意两边之差第三边：_____________________2.三角形的稳定性三角形具有，四边形【课堂探究】探究一、三边的关系1.三边满足的关系“哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题：

【提问】：哪条路最短？为什么？引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC，【提问】由“AC是最短路径”能得到什么不等式？

同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？

【归纳总结】：___________________________。【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。AB+AC>BCBC+AB>ACAC+BC>AB→__________________________________

2.新知应用1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，3，6（2）2，5，6（3）15，16，2（4）3，8，202.三条线段a,b,c分别满足下列条件，其中能构成三角形的是()A.a+b=4,a+b+c=5B.a:b:c=1:2:3C.a:b:c=2:3:4

D.a:b:c=2:2:43.从长为9，6，4.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边长a的取值范围为【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。探究二、三角形的稳定性1.探究三角形的稳定性【演示实验】

（1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？

（2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？

（3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？【总结】：2.针对训练1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是()A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角是直角2.下列不是利用三角形的稳定性的是（）A.自行车的三角形车架B.三角形房梁C.四边形活动挂架D.长方形门框的斜拉条3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？(2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性典例分析例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为__________(2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为__________(3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为_______【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形例2.如果a,b,c是△ABC的三边，满足b(1)求a的取值范围；(2)若a为偶数，求三角形的周长.例3.已知△ABC的三边长分别为m−3,2m+1,10,求m例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？（3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？（4）假设等腰三角形的腰长为acm,求a的取值范围？（5）假设等腰三角形的底边长为bcm,求b（6）假设等腰三角形的最长边为ccm,求c的取值范围？（7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长变式训练1.已知三角形的三边长分别为3,2a−1,4，求a的取值范围2.已知三角形三条边的长分别为a+4，a+5，a+6，求a的取值范围3.若a,b,c是△ABC的三边，化简：(a+c−b)4.若等腰三角形的三边长分别为a，2a−1，5a−3，求三角形的周长5.如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB＝80cm，BC＝60cm，CD【课堂总结】1.三角形的三边关系（核心考点）(1)任意两边之和大于第三边：______________________________(2)任意两边之差小于第三边：______________________________2.判断三条线段能否围成三角形最快方法：最短两边之和>最长边​只要这一条成立，其余自动成立。3.已知两边，求第三边的取值范围设已知两边为a、b(a≥b)，第三边为x，则：__________4.三角形具有稳定性，四边形没有稳定性【课堂练习】1．下列图形中，不具有稳定性的是()2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条()A．0根B．1根C．2根D．3根3.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边可能是()A.1B.2C.5D.64.三角形ABC中，三边均为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形可能最长边是（）A.7B.6C.5D.45.若一个三角形有两边长为5和2，第三边长为奇数，则此三角形的周长为________6.在三角形ABC中，AB=7,BC=3，并且AC为奇数,那么三角形ABC的周长______________。【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

13.2.1三角形的边（导学案）【学习目标】1、理解并掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。2、能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形，会求已知两边时第三边的取值范围。3、理解三角形的稳定性，能识别生活中利用三角形稳定性的实例。4、会解决等腰三角形边长、周长的相关计算问题，掌握分类讨论和检验构三角形的解题规范。【学习重点】三角形三边关系的探究与应用；三角形的稳定性的理解。【学习难点】灵活运用三边关系解决含参数的边长、等腰三角形周长问题；理解“任意”的含义，养成解题时验证三角形的习惯。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.三角形三边的关系(1)任意两边之和大于第三边：a+b>c,a+c>b,b+c>a(2)任意两边之差小于第三边：∣a−b∣<c,∣a−c∣<b,∣b−c∣<a2.三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性【课堂探究】探究一、三边的关系1.三边满足的关系“哪吒从家到太乙真人洞府的三条路线”问题：

【提问】：哪条路最短？为什么？线段BC，两点之间线段最短引导推导：结合路线问题，给出△ABC的三边AB、AC、BC，【提问】由“AC是最短路径”能得到什么不等式？

同理，BC+AB和AC是什么关系？AC+BC和AB呢？AB+AC>BCBC+AB>AC【变形推导】：引导学生利用不等式性质，对上述三个式子进行变形，得出“三角形任意两边之差小于第三边”。AB+AC>BCBC+AB>ACAC+BC>AB→AB>AC−BC/BC>AC−AB只需验证“较短两边之和大于最长边”即可，简化判断方法2.新知应用1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，3，6（2）2，5，6（3）15，16，2（4）3，8，20解：(1)∵3+3=6，∴这三条线段不能组成一个三角形.(2)∵2+5>6，∴这三条线段能组成一个三角形.(3)∵15+2>16，∴这三条线段能组成一个三角形.(4)∵3+8<20，∴这三条线段不能组成一个三角形.【注意】：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.2.三条线段a,b,c分别满足下列条件，其中能构成三角形的是(C)A.a+b=4,a+b+c=5B.a:b:c=1:2:3C.a:b:c=2:3:4

D.a:b:c=2:2:43.从长为9，6，5，4的四根本条中选出其中三根组成三角形，可以选94.若三角形的两边分别为2和3，则第三条边长a的取值范围为1<a<5【方法总结】:已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。探究二、三角形的稳定性1.探究三角形的稳定性【演示实验】

（1）拿出预先做好的三角形木架，扭动它，提问：形状改变吗？不会

（2）拿出四边形木架，扭动它，提问：形状改变吗？不会

（3）在四边形木架上钉一根木条，连接一对顶点，再扭动，提问：现在形状改变吗？不会【总结】：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。2.针对训练1.如图，在建筑工地我们常看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情形，这种做法的根据是(C)A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．三角形的稳定性D．矩形的四个角是直角2.下列不是利用三角形的稳定性的是（C）A.自行车的三角形车架B.三角形房梁C.四边形活动挂架D.长方形门框的斜拉条3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性4.(1)在如图所示的图形中，哪些具有稳定性？(2)对上图中不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．解(1)1，4，6具有稳定性2，3，5不具有稳定(2)如图所示【规律与方法】怎样判断一个图形是否具有稳定性从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性典例分析例1(1).已知等腰三角形的腰等于7，底边等于8，则它的周长为____22______(2).已知等腰三角形的一边等于7，另一边等于8，则它的周长为___22或23___(3).已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于8，则它的周长为19【易错题型】：必须验证是否能够构成三角形例2.如果a,b,c是△ABC的三边，满足b(1)求a的取值范围；(2)若a为偶数，求三角形的周长.解(1)由题意可得：b2−36=0将b=6代入b2−36∵6−3<a<6+3∴3<a<9(2)∵a为偶数∴a=4或a=6或a=8当a=4时，三角形的周长为：13当a=6时，三角形的周长为：15当a=8时，三角形的周长为：17综上所述：三角形的周长为13，15或17.例3.已知△ABC的三边长分别为m−3,2m+1,10,求m解：由三角形三边关系定理得到：m−3+2m+1>10①解①得m>4，解②得m<6，解③得m>−14，∴不等式组的解集为4<m<6．例4.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？（3）能围成有一边的长为9cm的等腰三角形吗？为什么？（4）假设等腰三角形的腰长为acm,求a的取值范围？（5）假设等腰三角形的底边长为bcm,求b（6）假设等腰三角形的最长边为ccm,求c的取值范围？（7）三角形每条边的长度都是整数，最多可以围出几个满足条件的等腰三角形？请分别写出各等腰三角形的边长解（1）：设等腰三角形底边长为xcm,则腰长为2xcm∴x+2x+2x=18解得x=3.6∴此时各边的长为3.6，7.2，7.2(2)能围成，理由如下：当4cm为腰长时：底边长为：18−4∵4+4<10∴不能围成三角形，因此腰长不能为4cm.当4cm为底边时：腰长为：(18−4)÷2=7∵7+4>7∴能围成底边长4cm的等腰三角形综上所述：能围成底边长4cm的等腰三角形。(3)不能围成一边长是9cm的等腰三角形，理由如下：分两种情况讨论，如下：①当长为9cm的边为腰时，设底边长为dcm,根据题意，得d+9×2=18，解得d=0，所以腰长为9cm时，不能围成等腰三角形；②当长为9cm的边为底边时，设腰长为kcm,根据题意，得2k+9=18，解得k=4.5,由4.5+4.5=9，可知两条线段的和等于第三条线段，所以以9cm为底边长不能组成三角形.故不能围成一边长是9cm的等腰三角形；（4）由题意可知三边长为a,a,18−2a当腰为短边时：a+a>18−2a解得a>当腰为长边：a+18−2a>a解得a>9∴a的取值范围为（5）由题意可知三边长为18−b2,18−b2,则有0<b<18−b解得：0<b<9∴b的取值范围为（6）由题意可知183解得：6≤c<9∴c的取值范围为（7）设等腰三角形的腰长为ycm,则等腰三角形的底边长为(18−2y)cm,由题意得：y+y>18−2yy−y<18−2y解得：4.5<y<9∵y取整数，∴y=5，6，当y=5时，18−2y=8;当y=6时，18−2y=6;当y=7时，18−2y=4;当y=8时，18−2y=2;∴最多可以围出4个满足条件的等腰三角形，等腰三角形的边长分别为5cm,5cm,8cm或6cm,6cm,6cm或7cm,7cm,4cm或8cm,8cm,2cm.变式训练1.已知三角形的三边长分别为3,2a−1,4，求a的取值范围解：由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边则：4−3<2a−1<4+3即2.已知三角形三条边的长分别为a+4，a+5，a+6，求a的取值范围解：由题意可得a+4+a+5>a+6a+4>0∴3.若a,b,c是△ABC的三边，化简：(a+c−b)解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴a+c−b>0,c−a−b>0,a+b+c>0∴原式=a+c−b4.若等腰三角形的三边长分别为a，2a−1，5a−3，求三角形的周长解①当底边长为a时，2a−1=5a−3，解得a=2此时三边长分别为23，13，②当底边长为2a−1时，a=5a−3，解得a=3此时三边长分别为34，12，③当底边长为5a−3时，a=2a−1，解得a=1，此时三边长分别为1，1∴三角形的周长为345.如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB＝80cm，BC＝60cm