人教版数学八年级上册 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学案 含答案

13.2.2三角形的中线、角平分线、高（导学案）【学习目标】理解三角形中线、角平分线、高的定义；掌握它们的画法；了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。【学习重点】三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作，和之间的线段叫三角形的高。★三角形的高是，而垂线是几何语言：∵_______________________________(已知)∴_____________________________________(三角形高的定义)2.三角形的中线定义：三角形中，连结一个和它对边的线段叫三角形的中线。★三角形的中线是几何语言：∵______________________________(已知)∴_____________________________(三角形中线的定义)3.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的与之间的线段叫三角形的角平分线.★角平分线是，三角形的角平分线是几何语言：∵_______________________________________(已知)∴____________________________________________________________________(三角形角平分线的定义)【课堂探究】探究一、三角形的高1.锐角三角形的高问1.请画出锐角三角形的三条高边BC边上的高是;边AB边上的高是;边AC边上的高是;问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?问3.这三条高之间有怎样的位置关系2.直角三角形的高问1.请画出直角三角形的三条高边BC边上的高是;边AB边上的高是;边AC边上的高是;问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?问3.这三条高之间有怎样的位置关系3.钝角三角形的高问1.请画出钝角三角形的三条高边BC边上的高是;边AB边上的高是;边AC边上的高是;问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?问3.这三条高之间有怎样的位置关系【归纳总结】：三角形的三条高的特性三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的.新知应用一1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高()2.若AH⊥BC于H，以AH为高的三角形有个，它们分别_________________________。3.如图所示AC⊥BC,DE⊥BC,CD⊥AB,点D、E分别在△ABC的边AB和BC上，下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD5.如图,AD、CE是△ABC(1)若AD=10,CE=9,AB=12.则S∆ABC=______;BC若AC=8,则AC上的高为________(2)若AB:BC=4:5，则CE:AD=______.探究二、三角形的中线1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的________.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心2.中线分周长问题问1.观察图形C∆ABD与C∆ACD之差与AB,3.中线分面积问题问2.观察图形S∆ABD与S新知应用二1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BCA.DE是△BCD的中线B.BD是△ABCC.AD=DC,BD=ECD.BE=2.已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB(1)若AB=6,AE=2.5

，则BF=_____,AC=_____(2)若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，BC边上的高为4，3.如图，已知AD是△ABC的BC边上的中线，且AB=3,AC=7，BC=9,AD=2.5,则C∆ABD为__________4.如图，在△ABC中，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成25和40两部分，AC=30,则AB=5.在△ABC中,AC=5cm，AD是△ABC的中线，AD把6.若AD是△ABC的中线，若BE是△(1)如图1若△ABD的面积为12,则△ABC的面积为(2)如图2若△ABC的面积是32，则△ABD的面积为则△ABE的面积为；△BCE(3)如图3，若DH⊥AB于点H,DG⊥AC于点G,AB=7cm,AC=6cm,DH=3cm，则DG的长是_______cm.探究三、三角形的角平分线1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的______.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.新知应用三1.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H①AD是△ABE的角平分线.()②BE是△ABD边AD③BE是△ABC边AC上的中线.()④CH是△ACD边AD上的高.()2.如图，在△ABC中，BD(1)若∠ABC＝50°(2)若∠ABD＝20°3.如图，AD是△ABC的角平分线．DE//AC，DE交AB于点E，DF//AB，DF交AC于点F典例分析例1.如图所示，已知AE分别是△ABC的中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm(1)求作BC边的高AD，并求AD的长；(2)△ABE(3)△ACE和△(4)∠B=50°，例2.已知：如图△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．求证：CD=PE+PF；例3.在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为9cm变式训练1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AB=10，AC=6.若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE−AE2.如图，在△ABC中(AB＞BC)，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC3.如图，△ABC的面积是18，点D,E分别位于AB,BC上，DE//AC，且AD=4，DB=5，求△ABE

的面积【课堂总结】【课堂练习】1.下列说法中正确的是（）A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离B.三角形的角平分线是射线C.三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外D.任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线2.如图.(1）若AM是△ABC的中线，BC=12cm，则BM=CM=(2)若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=____；若∠BAC=106°，则(3）若AH是△ABC的高，则△ABH3.在△ABC中,AB=AC,AC边上的高BD=10cm,则AB边上的高CE=结论：等腰三角形两腰上的高相等4.如图，AD,CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm,CE=6cm，则AD5.在△ABC中，AC=AB,周长为16cm，AC边上的中线BD将△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

13.2.2三角形的中线、角平分线、高（导学案）【学习目标】理解三角形中线、角平分线、高的定义；掌握它们的画法；了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高（或其所在直线）交于一点的性质。【学习重点】三角形中线、角平分线、高的概念及其画法。【学习难点】1.钝角三角形高的画法：特别是两条较短边上的高是三角形外部的线段，需要延长对边，这是学生认知的难点。2.概念辨析：区分“三角形的角平分线”（线段）与“角的平分线”（射线）；区分“三角形的高”（线段）与“点到直线的距离”。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：1.三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。★三角形的高是线段，而垂线是直线几何语言：∵AD是△ABC中BC边上的高∴AD⊥BC

或∠ADB=90°或∠ADC=902.三角形的中线定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。★三角形的中线是线段几何语言：∵CD是△ABC中AB边上的中线∴AD=DB=123.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段几何语言：∵AD是△ABC中∠A的平分线∴∠BAD=∠CAD=

12∠BAC【课堂探究】探究一、三角形的高1.锐角三角形的高问1.请画出锐角三角形的三条高边BC边上的高是AD;边AB边上的高是CF;边AC边上的高是BE;问2.锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部.问3.这三条高之间有怎样的位置关系锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；2.直角三角形的高问1.请画出直角三角形的三条高边BC边上的高是AB;边AB边上的高是BC;边AC边上的高是BD;问2.直角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?直角三角形的两条高在三角形的两直角边上,另一条高在三角形内部问3.这三条高之间有怎样的位置关系直角三角形的三条高交于直角三角形直角顶点处；3.钝角三角形的高问1.请画出钝角三角形的三条高边BC边上的高是AD;边AB边上的高是CE;边AC边上的高是BF;问2.钝角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?钝三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部.问3.这三条高之间有怎样的位置关系钝角三角形的三条高不交于某一点；钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点【归纳总结】：三角形的三条高的特性三角形的三条高所在直线的交点叫作三角形的垂心.新知应用一1.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC的高(D)【方法总结】：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．2.若AH⊥BC于H，以AH为高的三角形有3个，它们分别∆ABH,∆ADH,∆ACH。3.如图所示AC⊥BC,DE⊥BC,CD⊥AB,点D、E分别在△ABC的边AB和BC上，下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高；③△ABE中，DE是BE边上的高；④4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点5.如图,AD、CE是△ABC(1)若AD=10,CE=9,AB=12.则S∆ABC=54;BC=10.8若AC=8,则AC上的高为13.5(2)若AB:BC=4:5，则CE:AD=5：4.探究二、三角形的中线1.画一画：分别画出下列三角形的所有中线【归纳总结】：三角形的三条中线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心2.中线分周长问题问1.观察图形C∆ABD与C∆ACD之差与AB,∵C∆ABD=AB+BD+AD,C∴C∆ABD规律与方法：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差.3.中线分面积问题问2.观察图形S∆ABD与S∵S∆ABD=12∴S规律与方法:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分新知应用二1.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(CA.DE是△BCD的中线B.BD是△ABCC.AD=DC,BD=ECD.BE=2.已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB(1)若AB=6,AE=2.5

，则BF=3,AC=5(2)若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，BC边上的高为4，则BC的长为53.如图，已知AD是△ABC的BC边上的中线，且AB=3,AC=7，BC=9,AD=2.5,则C∆ABD为10C∆ACD

为4.如图，在△ABC中，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成25和40两部分，AC=30,则AB=5.在△ABC中,AC=5cm，AD是△ABC的中线，AD把△ABC的周长分成两部分，若其差为3cm规律与方法：无图时，注意分类讨论6.若AD是△ABC的中线，若BE是△(1)如图1若△ABD的面积为12,则△ABC的面积为24(2)如图2若△ABC的面积是32，则△ABD的面积为16则△ABE的面积为8；△BCE的面积为(3)如图3，若DH⊥AB于点H,DG⊥AC于点G,AB=7cm,AC=6cm,DH=3cm，则DG的长是__72探究三、三角形的角平分线1.画一画：分别画出下列三角形的所有角平分线归纳总结：三角形的三条角平分线会相交于一点,交点在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内心.新知应用三1.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H①AD是△ABE的角平分线.(错)②BE是△ABD边AD上的中线.(错③BE是△ABC边AC上的中线.(错④CH是△ACD边AD上的高.(对2.如图，在△ABC中，BD(1)若∠ABC＝50°，则∠ABD＝_(2)若∠ABD＝20°，则∠ABD＝__3.如图，AD是△ABC的角平分线．DE//AC，DE交AB于点E，DF//AB，DF交AC于点F解：∠1=∠2．理由：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD．∵DE∥∴∠1=∠FAD．∵DF∥∴∠EAD=∠2，∴∠1=∠2．典例分析例1.如图所示，已知AE分别是△ABC的中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm(1)求作BC边的高AD，并求AD的长；(2)△ABE(3)△ACE和△(4)∠B=50°，∠解（1）作图如下高线AD即为所求，∵∠CAB=90°∴△ABC∵AB=6cm，AC=8∴S△∵AD是边BC上的高，BC=10cm∴S△∴5AD=24，即AD=4.8cm即AD的长度为4.8（2）∵AE是中线，∴BE=CE=1∴根据高相同，面积之比等于底之比，有S△（3）∵AE是中线，∴BE=CE，∵△ACE的周长与△AC+AE+CE−∵AB=6cm，AC=8∴AC+AE+CE−（4）：∵∠BAC=90°,∠B=50°∴∠C=∠EAC=40°∵AD是△ABC∴∠ADC=90°∴∠DAC=180°∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=50°例2.已知：如图△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F求证：CD=PE+PF；证明：如图，连接PA，∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∵S△ABCS△又∵S∴1∵AB=AC例3.在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为9cm和解：如图，∵BD是AC边上的中线∴AD=CD，设AD=CD=x,则AB=AC=2x①当AB+AD=12时，2x+x=12，解得x=4,∴2x=8∵中线BD将△ABC周长分成9cm和12cm∴△ABC的周长为当AB=AC=8cm时，BC=5cm，能构成三角形。∴△ABC各边长依次是：8cm,8cm,②当AB+AD=9时，2x+x=9，解得x=3∴2x=6，当AB=AC=6cm

时，BC=9cm

，能构成三角形∴△ABC的三边依次为：6cm,6cm,综上所述：△ABC的各边长分别为：8cm,8cm,5cm或6cm,6cm,9cm.变式训练1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AB=10，AC=6.若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE−AE解：∵D为BC的中点，∴BD=CD.∵△BDE与四边形AEDC∴BE+DE+BD=AE+DE+CD+AC,∴BE=AE+AC,∴BE−AE=AC.∴AC=6，∴BE−AE=6.2.如图，在△ABC中(AB＞BC)，AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求解：设BD=CD=x,则AC=2BC=4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,AB>BC①当AC+CD=60,AB+BD=40时，4x+x=60,解得：x=12,∴AC=4x=48,BD=CD=12,∴AB=40−BD=40−12=28,∴AB=28>BC=24，满足条件;∵BC+AB=28+24=52>AC=48,满足三边关系，∴AC=48,AB=28;②AC+CD=40,AB+BD=60时，4x+x=40,解得：x=8,∴AC=4x=32,∴BD=CD=8,AB=60−BD=60−8=52,∵AC+BC=32+16=4