人教版数学八年级上册 13.3.2三角形的外角 学案 含答案

13.3.2三角形的外角（导学案）【学习目标】1.理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。

2.掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。【学习重点】三角形外角的概念及三角形外角的性质。【学习难点】1.准确理解“不相邻”的含义；

2.运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：定义：三角形的与另一边的组成的角，叫做三角形的外角。构成外角的三个条件：角的顶点是；②角的一边是；角的另一边是性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角。性质2（核心）：三角形的一个等于与它。性质3（大小关系）：三角形的一个大于任何一个与它。【课堂探究】情景导入观看视频《初识外角》提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究一下内角与外角之间的奥秘吧新知探究一、三角形的外角1.定义建构：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

2.辨析条件：强调构成外角的三个要素：

①__________________；②___________________；③____________________________.3.数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶角相等的外角。思考：问1.延长线段AC至E，以点C为顶点新增的角有哪些？问2.这两个新增角是∆ABC的外角吗？为什么？问3.由上可知，以C为顶点的∆ABC的外角有几个？问4.以C为顶点的∆ABC的外角∠ACD和外角∠BCE之间有什么关系？问5.你还能画出∆ABC的其他外角吗？结论（1）每一个三角形都有6个外角．（2）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.【针训一】1.下图中∠1是三角形一个外角的是（

）2．如图，下列说法错误的是()A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是D．∠C是△ABC的一个内角，也是二、三角形的外角的性质问6.△ABC的外角∠ACD问7.△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B你能证明这个的结论吗？如图，在∆ABC中，∠ACD为∆ABC的外角求证：∠ACD=∠A+∠B三角形内角和定理的推论三角形的一个______等于与它_______的两个内角的_____几何语言∵_______________.∴________________.问8.∠ACD与∠A或∠B有怎样的数量(大小)关系？结论：三角形的一个________大于任何一个与它________的内角针训二、1.判断题：(1)一个三角形有三个外角。（）(2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（）(3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（）(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）(5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（）(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）2.如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（

A．∠1<∠2<∠3 B．∠3<∠1<∠2C．∠3<∠2<∠1 D．∠2<∠1<∠33.如图，根据图形回答问题(1)∠1=_______+_________(2)∠2=_______+_________(3)∠2_______∠3

4.求下列各图中∠α典例分析例1.如图，已知△ABC的角平分线为AD，若∠B=50°，∠C=30°例2.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是例3.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC变式训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F(1)求∠CBE的度数；(2)若∠F=20°，求证：BE2.AB和AC相交于点A，BO和CO相交于点O，(1)已知∠B=10°，∠C=20°,∠B0C=110°，求(2)探究∠BOC与∠B、∠C、∠A的关系．3.(1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A=80°，则∠P=__________(2)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．请探索∠A与∠P(3)如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，请探索∠A与∠M之间的数量关系(4)如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；【课堂总结】【课堂练习】1.如图,在△ABC中,点D在CB的延长线上,∠A＝70°,∠ABDA．40°B．50°C．60°2.如图,在△ABC中,点D，E分别在AB，AC上，F为BC延长线上的一点,若∠A=70°,∠ACF=140°，3．如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝254.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是________5.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线6.如图，已知D是△ABC的边BC的延长线上一点，DF交AC于点E，∠A(1)求∠B(2)若∠D＝42【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

13.3.2三角形的外角（导学案）【学习目标】1.理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。

2.掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。【学习重点】三角形外角的概念及三角形外角的性质。【学习难点】1.准确理解“不相邻”的含义；

2.运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。【自主预习】阅读教材，完成以下问题：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。构成外角的三个条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③角的另一边是三角形中一边的延长线。性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（和为180°）。←性质2（核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。←性质3（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。【课堂探究】情景导入观看视频《初识外角》提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究一下内角与外角之间的奥秘吧新知探究一、三角形的外角1.定义建构：结合PPT演示，明确三角形外角的定义——三角形的一边与另一边的延长线组成的角。

2.辨析条件：强调构成外角的三个要素：

①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③角的另一边是三角形中一边的延长线.3.数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶角相等的外角。思考：问1.延长线段AC至E，以点C为顶点新增的角有哪些？∠BCE和∠DCE问2.这两个新增角是∆ABC的外角吗？为什么？∠BCE是∆ABC的一个外角，因为∠BCE是边BC与AC延长线所组成的角∠DCE不是∆ABC的一个外角，因为∠DCE是边BC的延长线与AC问3.由上可知，以C为顶点的∆ABC的外角有几个？有2个问4.以C为顶点的∆ABC的外角∠ACD和外角∠BCE之间有什么关系？∠ACD

与∠BCE为对顶角，∠ACD

=∠BCE；问5.你还能画出∆ABC的其他外角吗？结论（1）每一个三角形都有6个外角．（2）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.【针训一】1.下图中∠1是三角形一个外角的是（

D

）2．如图，下列说法错误的是(C)A．∠ADC是△ABD的一个外角，也是B．∠AEB是△AEB的一个内角，也是C．∠ABF是△ABF的一个内角，也是D．∠C是△ABC的一个内角，也是二、三角形的外角的性质问6.△ABC的外角∠ACD内角∠ACB有什么关系？互补,∠ACD+∠ACB=180°问7.△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A，∠B猜想：∠ACD=∠A你能证明这个的结论吗？如图，在∆ABC中，∠ACD为∆ABC的外角求证：∠ACD=∠A+∠B法一、证明：∵∠∴∠又∵∠∴∠∴∠A+

∠B=

∠ACD法二、证明：过C作CE//AB∵CE//AB∴∠1=∠B

，∠2=∠A∴∠1+∠2=∠A+∠B即∠ACD=∠A+∠B三角形内角和定理的推论三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和几何语言∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=

∠A+

∠B.问8.∠ACD与∠A或∠B有怎样的数量(大小)关系？∵∠ACD=∠A∴∠ACD>∠A,∴∠ACD>∠B,结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角针训二、1.判断题：(1)一个三角形有三个外角。（×）(2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（√）(3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（×）(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（√）(5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（×）(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（√）2.如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（

A

A．∠1<∠2<∠3 B．∠3<∠1<∠2C．∠3<∠2<∠1 D．∠2<∠1<∠33.如图，根据图形回答问题(1)∠1=__∠DAC_____+___∠ACD______(2)∠2=___∠3____+____∠4_____(3)∠2___>____∠3

4.求下列各图中∠α的度数典例分析例1.如图，已知△ABC的角平分线为AD，若∠B=50°，∠C=30°解：在△ABC中，∠B=50°∴∠BAC=180∵AD是△ABC∴∠CAD=∴∠例2.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是解：∵BD是高，∴∠∵CE是高，∴∠∴∠例3.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC解：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.∴∠BAE+∠CBF∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360归纳总结三角形的外角和为360°（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）变式训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F(1)求∠CBE的度数；(2)若∠F=20°，求证：BE解（1）：∵∠ACB=90°，∠A=50°，∠CBD是∴∠CBD=∠ACB+∠A=140°∵BE平分∠CBD，∴∠CBE=1证明（2）：∵∠ACB=90°∴∠BCE=180°∵∠CBE=70°∴∠CEB=90°∵∠F=20°∴∠CEB=∠F，∴BE//2.AB和AC相交于点A，BO和CO相交于点O，(1)已知∠B=10°，∠C=20°,∠B0C=110°，求(2)探究∠BOC与∠B、∠C、∠A的关系．解：【方法一】延长BO交AC于点D.∵∠BOC=∠ODC+∠C,∴∠ODC=∠BOC−∠C=90°又∵∠ODC=∠A+∠B，∴∠A=∠ODC−∠B=80【方法二】如图，连接BC.在△BOC中，根据三角形内角和求出∠1+∠2=70再由∠ABO=10°，求出∠ABC+∠ACB=100°从而得到∠A=180【方法三】如图，连接A0并延长至点D.易得∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C，故∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.再由∠B0C=110°，∠B=10°得出∠A=80解(2)如图，连接A0并延长至点D.易得∠BOD=∠BAO+∠B，∠COD=∠OAC+∠C，∵∠BOC=∠BOD+∠COD.∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.归纳总结(1)燕尾模型结论∠BOC(2)通过添加辅助线将问题转化为三角形内角和三角形外角的问题是解决此类问题的常用方法，体现了数学的转化思想3.(1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A=80°，则∠P=____130________(2)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．请探索∠A与∠P(3)如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，请探索∠A与∠M之间的数量关系(4)如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；解(2)如图①，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABP=∠CBP=∠ACP=∠BCP=1∵∠ABC+∠ACB=180°∴∠P=180°解(3)如图②，∵BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，∴∠CBM=∠ABM=∠DCM=∠