2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第53讲　离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

第十章第53讲离散型随机变量及其概率分布、期望与方差计数原理、概率及其分布知识整合·体系建构1．(教材经典题)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝_____．【解析】

因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0．02．(教材经典题)已知随机变量X的分布列为【解析】

E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4．则E(X)＝_______，E(3X＋2)＝________．X12345P0.10.30.40.10.12.810.43．(教材经典题)已知随机变量X的分布列为【解析】则D(X)＝________，σ(2X＋7)＝__________．X1234P0.20.30.40.10.844．(教材经典题)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝_______，b＝_______．【解析】0.60.25．(教材经典题)现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是_______．【解析】所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1000×0.0005＝2，即1张彩票中奖金额的均值是2元．X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005【答案】2元1．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi______0(i＝1，2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝_____．2．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为≥Xx1x2…xnPp1p2…pn1x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平标准差偏离程度3．均值与方差的性质(1)E(X1＋X2)＝________________；(2)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝________________；(3)E(aX＋b)＝_____________(a，b为常数)；(4)D(aX＋b)＝__________(a，b为常数)；(5)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2；(6)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．E(X1)＋E(X2)E(X1)·E(X2)aE(X)＋ba2D(X)题型突破·思维拓展目标1离散型随机变量的分布列的性质

(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为1X01P9a2－a3－8a则常数a的值为 (

)【解析】A(2)设离散型随机变量ξ的分布列为【解析】则下列各式正确的是 (

)C离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”求相关参数．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．【解析】变式1

(2)设随机变量X的分布列为【解析】则P(|X－3|＝1)＝______．目标2离散型随机变量的分布列及数字特征视角1

求离散型随机变量的分布列及数字特征2－1【解析】【答案】AC求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．视角2

期望、方差的性质及应用

(1)(多选)已知随机变量ξ的分布列为2－2【解析】【答案】ABD

(2)(多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列为2－2【解析】【答案】AC目标3期望与方差的决策应用某市举行射击比赛，每个参赛队由两名选手组成，比赛分为两个阶段．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名选手射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名选手射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名选手组成，甲每次射中靶子的概率为p，乙每次射中靶子的概率为q，各次射击中靶与否均相互独立．(1)若p＝0.5，q＝0.6，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．3【解答】

甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，所以比赛成绩不少于5分的概率P＝[1－(1－0.5)3]×[1－(1－0.6)3]＝0.819．某市举行射击比赛，每个参赛队由两名选手组成，比赛分为两个阶段．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名选手射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名选手射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名选手组成，甲每次射中靶子的概率为p，乙每次射中靶子的概率为q，各次射击中靶与否均相互独立．(2)假设0＜p＜q＜1．①在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位选手参加第一阶段比赛？②在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位选手参加第一阶段比赛？3【解答】

①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3；若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3．因为0＜p＜q，P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]＞0，所以P甲＞P乙，所以应该由甲参加第一阶段比赛．若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，所以E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)．因为0＜p＜q＜1，所以p－q＜0，p＋q－3＜1＋1－3＜0，则(p－q)pq(p＋q－3)＞0，所以应该由甲参加第一阶段比赛．(1)决策问题一般有三种途径：①利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定．②利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好．③利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近．(2)在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差)．变式3

(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7．①求测试结果为语音识别成功的概率；②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率．【解答】变式3

(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．(2)已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？【解答】

设方案一和方案二的测试次数分别为X，Y．方案一：E(X)＝4．方案二：Y的可能取值为3，5，P(Y＝3)＝0.8×0.8×0.8＝0.512，P(Y＝5)＝1－P(Y＝3)＝0.488，随机变量Y的分布列为Y35P0.5120.488所以E(Y)＝3×0.512＋5×0.488＝3.976．因为E(X)＞E(Y)，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二．1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝ (

)A．－0.2

B．0.4C．0.2

D．0【解析】

依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4．Bξ0123P0.1mn0.12．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

则下列计算结果正确的是

(

)A．a＝0.2

B．P(X≥2)＝0.7C．E(X)＝1.4

D．D(X)＝6.3【解析】

因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．CX0123P0.20.30.4a【解析】【答案】B4．若p为非负实数，随机变量X的分布列如下表，则D(X)的最大值是_____．【解析】1配套精练一、单项选择题1．若随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)的值为 (

)【解析】A【解析】B【解析】B4．设0＜a＜1，随机变量X的分布列是【解析】则当a在(0，1)内增大时

(

)A．D(X)增大

B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大D【解析】AC6．袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是

(

)【解析】对于C，E(Z)＝3＋E(X)＝3＋1＝4，故C正确；【答案】ACD7．(2025·聊城一模)将四个不同的小球，放入四个编号为1，2，3，4的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设ξ表示空盒的个数，η表示1号盒子中小球的个数，则

(

)【解析】【答案】BCD三、填空题8．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝_____．【解析】49．已知随机变量X的分布列为【解析】

由E(X)＝1.2，得0×p＋1×0.6＋2×(0.4－p)＝1.2，解得p＝0.1．依题意E(X)＝1.4－2p，E(X2)＝02×p＋12×0.6＋22×(0.4－p)＝2.2－4p，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝2.2－4p－(1.4－2p)2＝－4(p－0.2)2＋0.4，则当p＝0.2时，D(X)取得最大值．若E(X)＝1.2，则p＝_______；当p＝_______时，D(X)最大．X012Pp0.6

0.10.210．(2025·新高考Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若每次取一个，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则数学期望E(X)＝___．【解析】四、解答题11．(2025·南昌期初)某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分(均为整数)都不超过5分，则该班级为“优秀班级”．(1)若A班5名同学失分分别为1，1，3，3，4，从这5个失分分数中随机抽两个分数，记这两个分数差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望；【解答】11．(2025·南昌期初)某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分(均为整数)都不超过5分，则该班级为“优秀班级”．(2)若B班中5名同学失分的平均数为2，方差为2，问：B班是否为优秀班级？请说明理由．【解答】12．(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：触发警报时状态分布未触发警报时状态分布正常25台正常450台故障475台故障50台处理单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：状态操作保持运行快速诊断深度检修正常013故障1046假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．(1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率．【解答】12．(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”