2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第52讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十章第52讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式计数原理、概率及其分布知识整合·体系建构1．(教材经典题)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为

(

)A．互斥

B．互为对立事件C．相互独立

D．相等【解析】

因为事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件也不是对立事件，故A，B错误；事件A与B不相等，故D错误．C2．(教材经典题)假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________．【解析】

因为P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94．0.560.943．(教材经典题)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝_____，P(A|B)＝______．【解析】14．(教材经典题)甲、乙两人同时向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5．若目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为________．【解析】0.755．(教材经典题)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______．【解析】1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝______________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．P(A)P(B)B2．条件概率②概率的乘法公式：P(AB)＝_______________．P(A)P(B|A)3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有______________________，我们称上面的公式为全概率公式．4．*贝叶斯公式题型突破·思维拓展目标1相互独立事件视角1

事件相互独立性的判断

(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则 (

)A．甲与丙相互独立

B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立

D．丙与丁相互独立1－1【解析】事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．【答案】B判断两个事件是否相互独立的策略(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立判断；(2)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．视角2

相互独立事件的概率

(多选)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是

(

)1－2【解析】【答案】ACD相互独立事件A，B有关的概率计算：【解析】ACD目标2条件概率视角1

条件概率的计算2－1【解析】【答案】D求条件概率的常用方法：变式2－1

(2025·汕头一模)设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以A1，A2和A3分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则

(

)【解析】【答案】C

视角2

条件概率性质的应用【解析】2－2B可用如图所示的Venn图来解决此类问题：变式2－2

已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是

(

)A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立

B．若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6C．若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25 D．若B⊆A，则P(B|A)＝0.8【解析】

对于A，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立，故A错误；D目标3全概率公式

(2025·新余二模)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；3【解答】

(2025·新余二模)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．3【解答】

记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件C，由已知得P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p，所以由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.8(1－p)＋0.4p＝0.7，解得p＝0.25．若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式．变式3

(2025·天津卷)小桐操场跑圈，每星期2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐每星期跑11圈的概率为_______；若每星期至少跑11圈为运动量达标，连续跑4星期，记合格星期数为X，则期望E(X)＝_______．【解析】0.63.21．(2025·济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为 (

)【解析】C2．(2025·石家庄一检)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为 (

)【解析】【答案】B【解析】

对于A，若B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.3，A正确；【答案】ABD4．(2025·南通一调)(多选)口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则 (

)C．A与B为互斥事件

D．A与B相互独立【解析】对于C，因为A，B能同时发生，所以A与B不是互斥事件，故C错误．【答案】AB配套精练一、单项选择题1．(2023·全国甲卷理)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 (

)A．0.8

B．0.4 C．0.2

D．0.1【解析】A【解析】C3．(2025·赣州一模)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为 (

)【解析】

分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球．B【解析】【答案】D

5．(2025·漳州三模)设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，则下列说法正确的是 (

)A．P(AB)＞P(B|A)【解析】对于D，P(AB)≠0，不能说明P(AB)＝P(A)P(B)成立，故D不正确．【答案】C二、多项选择题6．(2026·南通期初)设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则 (

)A．A与B互斥

B．B与C相互独立C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) D．P(A|C)＝P(C|A)【解析】

对于A，因为A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A∩B＝{1}≠∅，所以A错误．【答案】BD7．(2025·厦门二模)某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生、4位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A＝“第一位出场的是女生”，事件B＝“第二位出场的是女生”，则 (

)【解析】【答案】BCD8．(2025·马鞍山一模)已知甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”．再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则 (

)【解析】【答案】AD三、填空题9．若有A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，则甲选到A的概率为______；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______．【解析】10．(2025·宿州期末)两批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为5%；第二批占75%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为_____