2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第54讲　二项分布与超几何分布、正态分布

第十章第54讲二项分布与超几何分布、正态分布计数原理、概率及其分布知识整合·体系建构1．(教材经典题)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E(X)＝_____，D(X)＝_____．【解析】212．(教材经典题)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝___________．【解析】

由题可得身高X作为变量符合μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827．0.68273．(教材经典题)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是______．【解析】4．(教材经典题)若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是____________．【解析】0.29165．(教材经典题)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________．【解析】

设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率约为95.45%．95.45%一、二项分布1．伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为__________________．两个n重伯努利试验2．二项分布3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝___________．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_______，D(X)＝_____________．X～B(n，p)pp(1－p)npnp(1－p)二、超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．超几何分布的均值与方差(*)X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．4．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______，D(X)＝______．μσ2题型突破·思维拓展目标1二项分布

(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)．(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；1【解答】

该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为p＝0.53＋C×0.52×(1－0.5)＝0.5．

(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)．(2)在该攻关研究小组进入第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；1【解答】X0123P0.2160.4320.2880.064其数学期望E(X)＝3×0.4＝1.2．

(2026·南昌期初)某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设该小组在第一阶段内解决每个基础问题的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，该攻关研究小组能解决每个应用问题的概率均为0.4(假设各个阶段的每个问题均相互独立)．(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得1亿元启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5亿元费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y(单位：亿元)．求随机变量Y的期望值．1【解答】

记进入第二阶段前提下，获得的费用为随机变量Z(单位：亿元)，则Z＝5X，所以E(Z)＝5E(X)＝6，所以E(Y)＝1＋p·E(Z)＋(1－p)×0＝4．(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定n和k的值，再准确利用公式求概率；(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．(1)求初学者滑雪入门的概率；【解答】(2)现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令X为滑雪入门的人数，求E(X)及这30人中滑雪入门概率最大的人数．【解答】目标2超几何分布

(2025·石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．

2(1)估计这100名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；【解答】由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为20×0.01×10＋30×0.015×10＋40×0.035×10＋50×0.03×10＋60×0.01×10＝41.5．故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5．

(2025·石家庄三模)某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如图所示的频率分布直方图．

2(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在[25，35)的志愿者人数，求X的分布列及期望．【解答】

由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25，45)的有20×(0.015＋0.035)×10＝10人，其中年龄在[25，35)的有20×0.015×10＝3人．目标3二项分布与超几何分布的识别

(2026·南京期初)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球，5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)；3【解答】

(2026·南京期初)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球，5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望．3【解答】在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布目标4正态分布

(1)(2025·青岛二测)(多选)若随机变量X服从正态分布N(0，22)，随机变量Y服从正态分布N(2，32)，则

(

)A．E(2X＋1)＝1 B．D(2Y＋1)＝12C．P(X≤－2)＋P(X≤2)＝1 D．P(|X|≤2)＞P(|Y|≤2)4【解析】

对于A，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝1，故A正确；对于B，D(2Y＋1)＝4D(Y)＝4×9＝36，故B错误；ACD

(2)(2025·湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(50，4)，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过52g的草莓有

(

)附：见聚焦知识A．228个

B．456个C．1587个

D．3174个4【解析】C解决正态分布问题有三个关键点：(1)正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在μ＝0时正态密度曲线的对称轴才为x＝0．变式4

(2025·宣城期末)(多选)宣城市开展国家体育健康测试抽测工作，某校高三年级甲、乙两个班级被抽中，甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且X～N(120，100)，Y～N(140，160)，则

(

)A．E(X)＝120B．D(Y)＝40C．P(X＜80)＋P(X≤160)＝1D．P(X＜160)＞P(Y＜160)【解析】

对于A，由X～N(120，100)，得E(X)＝120，故A正确；对于B，由Y～N(140，160)，得D(Y)＝160，故B不正确；对于C，由于随机变量X服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线X＝120，所以P(X＜80)＋P(X≤160)＝P(X＞160)＋P(X≤160)＝1，故C正确；【答案】ACD

1．(2025·九江一模)教育局准备了9个教育相关问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)＝ (

)【解析】D2．根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：μg/m3)在35以下，空气质量为一级；在35～75，空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(25，35](35，45](45，55]频数311PM2.5日均值(55，65](65，75](75，85]频数113从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是

(

)【解析】A3．(2026·蚌埠期初)(多选)已知随机变量X～N(μ，σ2)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≤1)＝0.5，E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)，则下列说法正确的是 (

)【解析】

对于A，因为随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤1)＝0.5，所以结合正态曲线的对称性可得μ＝1，故A正确；【答案】ACD【解析】1配套精练一、单项选择题【解析】B2．(2025·邵阳联考)为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品．若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为

(

)【解析】B3．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率是 (

)【解析】C【解析】A【解析】C【解析】【答案】ACD7．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有

(

)【解析】【答案】ABD三、填空题8．已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝______．【解析】9．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_________．【解析】0.648【解析】四、解答题11．(2026·漳州一检)2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个．(1)为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入x(单位：万元)和最终得分y(单位：分)，数据如下表：研发投入x2030405060最终得分y6669767984【解答】11．(2026·漳州一检)2025年某市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个．(2)从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】12．(2026·唐山期初)甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球，6个白球，两人从各自袋中摸球．(1)甲无放回摸出两个球，用X表示摸出黄球的个数，求X的分布列和数学期望；【解答】12．(2026·唐山期初)甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球，6个白球，两人从各自袋中摸球．(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由．【解答】【解析】D2．数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为 (

)【解析】A3．(2025·厦门一模)已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤a)＝0.3，且P(a≤X≤a＋2)＝0.4，则a＝ (

)【解析】

由题意知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤a)＝0.3，如图所示，结合P(a≤X≤a＋2)＝0.4，得P(X≥a＋2)＝0.3，可知a，a＋2关于x＝1对称，所以a＋a＋2＝2×1，解得a＝0．C【解析】D5．(2025·清远二模)已知随机变量X服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中正确的是

(

)A．P(X＜9.9)＋P(X≤10.1)＞1B．当σ＝0.1时，D(2X＋1)＝0.4D．随机变量X落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)的概率相等【解析】

对于A，P(X＜9.9)＋P(X≤10.1)＝P(X＞10.1)＋P(X≤10.1)＝1，故A错误；对于B，当σ＝0.1时，D(2X＋1)＝4D(X)＝0.04，故B错误；对于C，由正态分布密度曲线可知E(X)＝μ＝10，故C错误；对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量X落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)的概率相等，故D正确．【答案】D二、多项选择题6．(2025·潍坊期末)为了解某地区推广新农业技术后的农作物亩产量(单位：千克)情况，从该地区抽取样本，得到推广新技术后农作物的平均亩产量为510，样本方差为4．已知该地区以往农作物的平均亩产量为500，样本方差为36，假设以往农作物的亩产量X和推广新技术后的亩产量Y都服从正态分布，则 (

)A．X～N(500，362) B．Y～N(510，22)C．P(X≤510)＞P(Y≤510) D．P(X≤514)＜P(Y≤514)【解析】

由题意得X～N(500，62)，Y～N(510，22)，故A错误，B正确；因为P(X≤510)＞0.5，P(Y≤510)＝0.5，所以P(X≤510)＞P(Y≤510)，故C正确；因为P(X≤514)＞P(X≤512)＝P(X≤μ＋2σ)，P(Y≤514)＝P(Y≤μ＋2σ)，所以P(X≤514)＞P(Y≤514)，故D错误．BC7．(2025·保定二模)若0＜p＜1，随机变量X～B(6，p)，Y～N(6，p2)，则(

)【解析】【答案】ACD【解析】【解析】【解析】四、解答题11．(2026·丽水、湖州、衢州检测)已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回地摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．(1)按照上述规则摸球3次，当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望E(X)；【解答】故X的分布列为11．(2026·丽水、湖州、衢州检测)已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回地摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球