4.1 二次函数 教学教学课件湘教版九年级数学上册

第4章二次函数4.1二次函数思路一下列式子是函数吗？如果是，是什么函数呢？(1)y＝10x；(2)2y＝4(2y＋1)；(3)y＝－2x＋1.(1)(3)是函数，(2)不是函数；(1)是正比例函数，(3)是一次函数.什么叫函数？什么叫一次函数？一次函数的一般形式是什么？学习函数应从哪几个方面进行探究呢？导入新课思路二问题：如图，一块矩形田地长为100m，宽为80m，现计划在田地中修两条互相垂直且宽度均为

xm的小路，剩余面积种植庄稼.设剩余面积为

ym2，求

y

关于

x

的函数表达式.它与以前学过的函数模型有什么区别？y＝100×80－100x－80x＋x2，化简整理可得y＝x2－180x＋8000.它是二次函数.那什么是二次函数？导入新课活动一：通过实例引入二次函数问题1：已知一矩形的长为200cm，宽是150cm，从中挖去一个圆(如图所示)，设挖去的圆的半径为

xcm，剩余部分的面积为

Scm2，如何写出

S

与

x

之间的关系式？高效课堂矩形面积公式为S矩形＝长×宽，圆的面积公式为S圆＝πr2.先计算矩形的面积(200×150cm2)；再计算挖去的圆的面积(πx2cm2)；最后用矩面积减去圆的面积，得到剩余面积

S.S＝200×150－πx2，化简为

S＝－πx2＋30000.高效课堂x

可以取任意的实数吗？

如果不能，能写出

x

的取值范围吗？x

不能取任意的实数，0＜x≤75.请判断，S＝－πx2＋30000，0＜x≤75是否为函数？因为对于

x

的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，所以S

是

x

的函数.高效课堂问题2：某型号笔记本电脑之前的售价为6000元，经过两次降价，现在的售价为

y

元，若每次的降价率为

x，能写出

y

与

x

之间的关系式吗？笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1－x)倍，于是，第二次降价后的售价＝原售价×(1－x)2.因此，经过两次降价后售价

y

与降价率

x

之间的关系是y＝6000(1－x)2，0＜x＜1，即y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1.高效课堂式子y＝6000x2－12000x＋6000，0＜x＜1是函数吗？上式表示两年后的售价

y

与降价率

x

之间的关系，而且对于

x

的每一个取值，y

都有唯一确定的值与它对应，即

y

是

x

的函数.高效课堂活动二：归纳二次函数的概念问题1：上述两个问题中的函数表达式有什么共同点？

它们与一次函数的表达式有什么不同？两个函数表达式均有两个变量

x，y，y

随

x

的变化而变化；自变量

x

的最高次数是2；等号右边是整式.它们与一次函数的表达式相比，自变量最高次数不同，表达式结构不同.高效课堂上述两个问题中的函数表达式都是关于自变量

x

的二次多项式，把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数.其中

x

是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为二次函数的一般形式.高效课堂问题2：观察二次函数的一般形式，能说说二次函数的特点吗？

如何判断一个函数是否为二次函数？判断一个函数是二次函数必须满足以下三个条件：①含有自变量的代数式是整式；②自变量的最高次数是2；③函数表达式中二次项系数不等于0.高效课堂问题3：当常数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2＋bx＋c为一次函数？

为正比例函数？当a＝0，b≠0时，为一次函数；当a＝0，c＝0，b≠0时，为正比例函数.高效课堂强调：二次函数自变量的取值范围是所有实数，但实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制.活动三：巩固函数的概念练习：m

取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以

x

为自变量的二次函数？若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0且m≠1.因此，当m≠0且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数.高效课堂探索：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m

取哪些值？若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以

x

为自变量的一次函数，则m2－m＝0且m≠0，解得m＝1.因此，当m＝1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是一次函数.高效课堂活动四：二次函数的应用例

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图所示.已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙垂直的一边篱笆的长度为

xm，矩形植物园的面积为

Sm2，求

S

与

x

之间函数表达式.解

由于与围墙垂直的一边篱笆的长度为

xm，因此，与围墙平行的一边篱笆的长度为(100－2x)m.于是面积

S

与

x

之间有如下函数关系：S＝x(100－2x)，0＜x＜50.即S＝－2x2＋100x，0＜x＜50.高效课堂课堂评价C课堂评价D课堂评价y＝4x2－96x＋572(0＜x＜11)通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？

还有哪些