1.1.2空间向量的数量积运算(讲义)(解析版)

第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算课标要点1.理解空间向量夹角、垂直、投影向量的教材定义，牢记夹角取值范围，能准确区分向量夹角与几何体内角。2.熟记空间向量数量积定义式与三条运算律，会借助基底拆分向量完成无坐标形式的数量积计算。3.掌握数量积五条核心性质，能运用性质求解向量模长、夹角，证明空间两向量互相垂直。4.能结合立体图形分析投影向量几何意义，灵活利用数量积解决线段长度、空间垂直类几何问题。学习重难点重点：1.空间向量数量积定义、三大运算律，熟练运用公式完成向量化简、数量积基础计算。2.数量积核心性质，利用性质求向量模、夹角，借助证明空间线线垂直。3.投影向量的几何定义，理解投影向量与原向量的共线关系，能简单分析投影的正负含义。难点：1.在立体图形中找准向量夹角，区分向量夹角与几何体表面角，避免夹角取值符号计算出错。2.灵活拆分空间基底向量，结合运算律化简复杂向量式，处理多向量混合数量积运算。知识点一空间向量数量积定义已知两个非零空间向量a→，b→，过空间任意一点O作OA→=a→，OB→=b→，则∠AOB1.当⟨a→,2.空间两个非零向量a→，b→规定：零向量与任意向量的数量积为0。数量积几何意义a→·b→等于a→的模|a→b→在a→方向上的投影向量：即学即练1．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】，.故选：B2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【详解】，．故选：C．知识点二空间向量数量积运算律设a→,b1.交换律：a2.数乘结合律：(λ3.分配律：a常用公式：1.(a→+3.(易错提醒易错提醒（1）数量积结果是实数，不是向量，不能写(a（2）由a→·b→=a→即学即练3．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，即，所以，解得.知识点三空间向量数量积的应用1.求向量模长：|a→|=a2.求两向量夹角余弦：cos⟨a3.判定向量垂直：a→⊥b→⟺4.立体几何应用：证明线线垂直、求异面直线夹角、计算线段长度、求解空间距离与最值。易错提醒易错提醒（1）判断夹角时，仅a→·b→>0不能判定为锐角，需排除⟨即学即练4．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为是空间两两垂直的单位向量，所以，故.5．正四面体的棱长为2，设，，，则________.【答案】【详解】在正四面体中，，又，，，所以.故答案为：题型01求空间向量的数量积解题贴士解题贴士1.定义法核心解题：求解空间向量数量积统一使用定义公式a→2.运算律化简技巧：熟练运用数量积的运算性质，对向量和、差形式的复杂式子提前展开化简，例如(a典｜例｜精｜析【例1】如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【详解】.故选：B.【例2】已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，设，由题意知，且三向量两两夹角均为，，．故选：B.变｜式｜巩｜固【变式1-1】如图，在正方体中，为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，易知，且，.故选：C【变式1-2】如图，在三棱锥中，平面，则_______．【答案】【详解】因为平面，面，所以，所以，又，所以，.故答案为：.【变式1-3】在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________.【答案】【详解】.故答案为：.题型02空间向量中的模（距离，长度）解题贴士解题贴士1.模长核心转化思想：空间向量模长求解全部依托数量积转化，固定公式为|a2.几何长度转化技巧：空间立体几何中的线段长度、棱长、空间两点距离、折线长度等几何量，都可以对应转化为空间向量的模长，通过向量数量积运算替代传统几何证明与勾股定理计算，解题更加通用简便。典｜例｜精｜析【例3】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【详解】因为，，，所以.又，所以.因为，，，，，由，所以.所以.故选：B【例4】设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如下图所示：因为二面角的大小为，，，、是垂足，由图可知，，又因为，，且，所以，，故.故选：D.变｜式｜巩｜固【变式2-1】在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；【答案】【详解】，则，，所以.故答案为：【变式2-2】如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（

）

A．1 B． C．3 D．【答案】A【详解】设，因为，且，平面，可得，，且，可得，，，根据向量的线性运算，可得，则.即，解得（舍）或，故.故选：A【变式2-3】如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.【答案】或2【详解】依题意，，而，，由AB，CD所在直线所成角为60°，得或，所以，当时，；当时，.故答案为：或2题型03空间向量的投影（投影向量）解题贴士解题贴士公式记忆错位：求a→在b→上的投影，分母固定为被投影向量的模长|b典｜例｜精｜析【例5】在正方体中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在正方体中，,所以正三角形，过点作，垂足为.则，所以向量在上的投影向量为.故选：B【例6】在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如下图所示：因为平面，是棱上任意一点，所以在平面上的投影向量为.故选：A.变｜式｜巩｜固【变式3-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下，为，故C正确.故选：C【变式3-2】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设正方体棱长为，且为中点，并以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为：.故选：D.【变式3-3】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得，则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，则，所以在上的投影向量为.故选：C.题型04利用数量积求夹角解题贴士解题贴士1.对于任意两个非零空间向量，利用数量积变形公式cos⟨a2.空间向量夹角的取值范围为[0,π]，根据余弦值的正负可以快速区分夹角类型，余弦值大于0为锐角，等于0为直角，小于、典｜例｜精｜析【例7】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为；又，所以，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B【例8】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（

）A． B． C． D．90°【答案】C【详解】设，，,，,所以和的夹角为.故选：C变｜式｜巩｜固【变式4-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设与的夹角为，由得，两边平方得，所以，所以，所以.故选：D.【变式4-2】如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.【答案】【详解】正三棱锥中，设,且侧棱长相等，因为，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值为.故答案为：【变式4-3】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．(1)用表示，并求；(2)求与的夹角．【答案】(1)，(2)【分析】【详解】（1）因为，且，所以，又因为底面ABCD是边长为1的正方形且，所以．（2）因为底面是边长为1的正方形，且，，又由，所以，所以，故与的夹角为．题型05利用数量积证明垂直问题典｜例｜精｜析【例9】在平行六面体中，，，，，．(1)求；(2)求证：；(3)求的长．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】【详解】（1）.（2）证明：因为，所以.（3）因为，所以，.所以.【例10】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.

(1)若对角线的长度为时，求的值.(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底，且，，则，故.（2），则.故.变｜式｜巩｜固【变式5-1】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；(2)求证：，．【答案】(1)；(2)证明见解析。【分析】【详解】（1），，所以；（2），所以，所以，同理可证，所以。【变式5-2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．

(1)求的值；(2)求证：；【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）正方体中，，，有，，所以.（2）证明：正方体中，，，有，，因为M和N分别是和的中点，则N为的中点，所以且，即，则有，所以．【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为．(1)求的长；(2)求证：，，两两垂直．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】【详解】（1）解：解法1：因为为的重心，所以，所以，所以；解法2：因为为的重心所以，在中，由勾股定理可得：．（2）证明：证法1：因为，所以，同理可得,所以，所以，即，同理可证，，所以，，两两垂直．证法2：因为为正三角形的重心，所以，其中为正三角形边上的中线(高)，在中，，所以，在中，可得，同理可得，所以可得，所以，同理可证，，所以，，两两垂直．题型06求空间向量的数量积的最值或范围典｜例｜精｜析【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取的中点，由题意则，所以，又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立；，当且仅当方向相反时等号成立，因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，，所以，即，所以，，又，所以，即，所以的最大值为,故选：B【例12】如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】，当且仅当与重合时，等号成立，故的最小值为12.故选：D变｜式｜巩｜固【变式6-1】（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（

）A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为【答案】BC【详解】设的中点为，连接，则，则，即点在以为球心，以1为半径的球面上．如图，因为，所以．因为正四面体的棱长为，所以，，又，所以．设，则．因为，所以．故选：BC【变式6-2】在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．【答案】/【详解】如图，设，，在中，，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【变式6-3】已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______.【答案】18【详解】设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为，则，,因为是正方体内切球的一条直径，所以，，所以．又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为，所以，所以最大值为18．故答案为：18

基础通关1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．C． D．若，则【答案】C【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，

满足，，此时，故A说法错误；选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误；选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确；选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误；故选：C2．已知空间单位向量的夹角为，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则，所以，故选：D.3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【详解】在正方体中，，所以.故选：B4．在三棱锥中，若，，，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】B【详解】因为，，，所以.故选：B5．在空间四边形中，，，则的值是（

）A． B． C． D．0【答案】D【详解】由题意，又，即，得，所以．故选：D．6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【详解】由正八面体的性质可得，，则，．故选：D.7．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则与的夹角是钝角C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量D．若对空间中任意一点，有，则四点共面【答案】ACD【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的，故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误；对于C，若是共面的向量，则存在实数使得，即，则向量是共面的向量，故C正确；对于D，因为，，所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确.故选：ACD8．（多选）已知正方体的棱长为1，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对A，由图可知，，A正确．对B，，B正确．对C，，C错误．对D，因为侧面，则易知，D错误．故选：AB.9．已知是两两垂直的单位向量，则________________．【答案】3【详解】解：因为是两两垂直的单位向量，所以，所以故答案为：3．10．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量______．【答案】1【详解】设中点为，正方形的中心为.∵且又∵，∴.故答案为：1.【点睛】11．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点，则.（2）.（3）.12．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）在四面体中，，，.（2）如图所示：

因为，则，因为F是CD中点，则，于是.，所以.素养提升13．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（

）A．3 B． C． D．7【答案】B【详解】由图可知，且；所以.所以.故选：B.14．三棱锥中，，点是的重心，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】点是的重心，以为起点，则，，，故选：D．15．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】如图所示，取的中点，连接，则，，两式平方后相减可得，即，其中，故，故当取得最小值时，取得最小值，当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即，故.故选：B16．若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为空间向量、满足，所以，故，故在方向上的投影向量为，故在方向上投影向量的长度为，当且仅当时，即当时，等号成立，故在方向上投影向量的长度的最小值是.故选：B.17．在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，则，，故.故选：A.18．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【详解】

设，，，则，，由，因，，则，代入整理得，，显然，故，因，故当时，取得最大值，此时取得最小值为36，故的最小值为6.故选：B.19．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（

）

A．B．C．D．长方体的体积【答案】BCD【详解】选项A：向量同时与向量垂直，且向量三个向量构成右手系，，，所以，故A不正确，选项B：由，，所以，故B选项正确，选项C：因为，且与同向共线，又，且与同向共线，又因为与同向共线，所以，故C选项正确，选项D：长方体的体积为：，，故，所以D选项正确，故选：BCD.20．已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【详解】设，因为四边形为正方形，所以，所以，所以，，又，又异面直线与所成角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.21．已知异